Métodos Matemáticos para Engenharia - Interpolação de Deslocamentos e Velocidades

5 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL ALUNO JÚLIO CÉZAR DE MENDONÇA UCHÔA DISCIPLINA MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ENGENHARIA DOCENTE EDUARDO NOBRE LAGES N10 0 2 v3 u3 u2 N2x1 0 v1 u1 N3x1 y1 N40 y1 1 N10 0 2 v32 u32 u22 N2x1 0 v12 u12 N3x1 y1 N40 y1 1 N10 0 v3 u3 N2x1 0 v2 u2 N40 y1 1 2 v3 u3 u2 N1x1 0 v1 u1 N2x1 y1 N30 y1 v1 u1 v2 N10 0 v32 u32 N2x1 0 v22 u22 N40 y1 1 2 v32 u32 u22 N1x1 0 v12 u12 N2x1 y1 N30 y1 v12 u12 v22 SISTEMA GLOBAL DESLOCAMENTO SISTEMA GLOBAL VELOCIDADE SISTEMA LOCAL VELOCIDADE SISTEMA LOCAL DESLOCAMENTO LETRA A LETRA B 4 4 1 1 5 5 7 7 2 2 3 3 6 6 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL ALUNO JÚLIO CÉZAR DE MENDONÇA UCHÔA DISCIPLINA MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ENGENHARIA DOCENTE EDUARDO NOBRE LAGES 1 Letra C Interpolação cartesiana dos componentes de deslocamentos e de velocidade a partir dos respectivos graus de liberdade do sistema local c1 Interpolação cartesiana dos componentes de deslocamentos horizontal u e vertical v Elemento 1 u1 v1 u2 v2 u3 v3 Pontos no cartesiano N100 N2x10 N30y1 K K K K K K K K 10 10 9 9 14 14 15 15 13 13 12 12 8 8 11 11 Equações gerais do deslocamento na horizontal e na vertical K K K K K K K K K K K K K K K K c11 Campo de deslocamento Elemento 1 K K K K K K K K K K K K K K K K c2 Interpolação cartesiana dos componentes de deslocamentos horizontal u e vertical v Elemento 2 u1 v1 u2 v2 u3 v3 Pontos no cartesiano N1x10 N2x1y1 N30y1 18 18 19 19 21 21 16 16 20 20 17 17 K K K K K K K K Equações gerais da velocidade na horizontal e na vertical K K K K K K K K K K K K K K K K K K c21 Campo de deslocamento Elemento 2 K K K K K K K K K K K K K K K K c3 Interpolação cartesiana dos componentes de velocidade horizontal u e vertical v Elemento 1 u1 v1 u2 v2 u3 v3 Pontos no cartesiano N100 N2x10 N30y1 22 22 27 27 28 28 25 25 16 16 29 29 23 23 30 30 26 26 24 24 K K K K K K K K Equações gerais da velocidade na horizontal e na vertical K K K K K K K K K K K K K K K K c31 Campo de Velocidade K K K K K K K K K K K K K K K K c4 Interpolação cartesiana dos componentes de velocidade horizontal u e vertical v Elemento 2 u1 v1 u2 22 22 39 39 16 16 32 32 38 38 33 33 37 37 36 36 34 34 35 35 31 31 v2 u3 v3 Pontos no cartesiano N1x10 N2x1y1 N30y1 K K K K K K K K Equações gerais da velocidade na horizontal e na vertical K K K K K K K K K K K K K K K K K K c41 Campo de Velocidade K K K K K K K K 22 22 42 42 41 41 16 16 40 40 K K K K K K K K Letra D Matriz de rigidez no sistema local d1 Determinação da matriz constitutiva do material d11 Vetor das Tensões Principais d12 Modelo de Elasticidade Transversal exx K eyy K K eyy exx K K exx eyy K K exx K eyy K eyy K exx K K K K 22 22 43 43 44 44 45 45 16 16 40 40 K K K K d2 Elemento 1 d21 Vetor de Deformação e exx eyy e K K K K K K K K K K K K K K K K e K K K K K K K K d22 Energia Especifica de Deformação e e K K K K K K K K K K K K K K K K 22 22 47 47 43 43 45 45 46 46 16 16 40 40 48 48 K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K d23 Energia de Deformação Para conseguir a energia de deformação se faz necessário integrar U0 no dominio do Elemento 1 w espessura da placa K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K 22 22 43 43 45 45 16 16 49 49 40 40 48 48 K K K d24 Matriz de rigidez Passos Elemento 1 d241 Elaborar a Matriz A K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K 22 22 43 43 45 45 16 16 49 49 50 50 40 40 48 48 K K K K K K K K d242 Encontrar a Matriz de Rigidez K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K d243 Vetor dos Graus de Liberdade d3 Elemento 2 d31 Vetor de Deformação 22 22 52 52 43 43 45 45 16 16 53 53 49 49 51 51 40 40 48 48 e exx eyy e K K K K K K K K K K K K K K K K e K K K K K K d32 Energia Especifica de Deformação e e K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K 22 22 55 55 43 43 45 45 16 16 53 53 49 49 40 40 54 54 48 48 K K K d33 Energia de Deformação Para conseguir a energia de deformação se faz necessário integrar U0 no dominio do Elemento 2 w espessura da placa K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K 22 22 56 56 43 43 45 45 16 16 53 53 49 49 40 40 48 48 d34 Matriz de rigidez Passos Elemento 2 d341 Elaborar a Matriz A K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K 22 22 43 43 58 58 45 45 16 16 57 57 53 53 49 49 59 59 40 40 48 48 d342 Encontrar a Matriz de Rigidez K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K d343 Vetor dos Graus de Liberdade Letra e Montagem da Matriz de Massa do Sistema Local e1 Elemento 1 e11 Expansão das equações de velocidade Horizontal e Vertical K K K K 22 22 61 61 43 43 45 45 16 16 53 53 63 63 49 49 60 60 62 62 40 40 48 48 K K K K K K K K K K K K e12 Calculo da Matriz de Massa K K K K K K K K K K K K 22 22 43 43 45 45 16 16 53 53 63 63 49 49 40 40 48 48 K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K 22 22 64 64 43 43 45 45 16 16 53 53 63 63 49 49 40 40 48 48 K K K K K K K K K K K K K K e2 Elemento 2 22 22 68 68 69 69 16 16 53 53 70 70 49 49 66 66 40 40 43 43 45 45 65 65 67 67 63 63 48 48 e21 Expansão das equações de velocidade Horizontal e Vertical K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K e22 Calculo da Matriz de Massa K K K K K 22 22 43 43 45 45 16 16 53 53 63 63 70 70 49 49 40 40 48 48 K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K 22 22 43 43 45 45 16 16 71 71 53 53 63 63 70 70 49 49 40 40 48 48 K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K Letra f Matriz de incidência cinemática 22 22 72 72 73 73 16 16 53 53 70 70 49 49 74 74 40 40 43 43 45 45 63 63 48 48 f1 Elemento 1 f2 Elemento 2 g1 Determinação da Matriz de Rigidez e de Massa do sistema global a partir da Matriz de Incidência Cinemática g11 Matriz de Rigidez Global Elemento 1 K K K K K 22 22 75 75 16 16 53 53 70 70 49 49 74 74 40 40 43 43 76 76 45 45 63 63 48 48 K K K K K g12 Matriz de Rigidez Global Elemento 2 K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K g13 Matriz de Rigidez Geral da Chapa K K K K K K K K K K K K K K 22 22 16 16 78 78 53 53 70 70 49 49 74 74 40 40 77 77 43 43 76 76 45 45 63 63 48 48 K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K g14 Matriz de Massa Elemento 1 g15 Matriz de Massa Elemento 2 K K K K g16 Matriz de Massa da Chapa 22 22 79 79 43 43 76 76 45 45 16 16 53 53 63 63 70 70 49 49 74 74 40 40 48 48 K K K K Letra H Calculo das Frequencias e modos naturais de vibração