Lista de Exercícios Resolvidos - Integrais Duplas e Teorema de Fubini

Problema 1 Sejam Da x y x2 y2 a2 o disco centrado na origem de raio a e ainda Qa x y a x a a y a a região quadrada também centrada na origem de lado 2a respectivamente Sejam IDa Da ex2y2 dA e IQa Qa ex2y2 dA i Mostre que para qualquer região retangular R a b c d R fxgydA ab fx dxcd gy dy ii Mostre que para todo a 0 IDa IQa IDa2 iii Mostre que lima IDa lima IDa2 π iv Mostre que lima IQa π v Finalmente conclua que ex2 dx π Problema 1 Sejam Da x y x2 y2 a2 o disco centrado na origem de raio a e ainda Qa x y a x a a y a a região quadrada também centrada na origem de lado 2a respectivamente Sejam IDa Da ex2y2 dA e IQa Qa ex2y2 dA i Mostre que para qualquer região retangular R a b c d R fxgydA ab fx dxcd gy dy ii Mostre que para todo a 0 IDa IQa IDa2 iii Mostre que lima IDa lima IDa2 π iv Mostre que lima IQa π v Finalmente conclua que ex2 dx π Solução item i Com efeito para qualquer região retangular R e uma função hx y fxgy o Teorema de Fubini nos dá que R hx ydA ab cd hx ydydx ab cd hx y dy dx ab cd fxgy dy dx ab fx cd fx dy dx cd gy dy ab fx dx ab fx dx cd gy dy e logo temos que vale o seguinte resultado ab cd fxgydydx ab fx dxcd gy dy como desejado Solução item ii Mostraremos que para todo a 0 IDa IQa IDa2 Com efeito veja que a região quadrada Qa e os círculos C1 e C2 correspondentes as regiões Da e Da2 respectivamente podem ser representadas por Agora note que disso é imediato que temos a seguinte relação entre as áreas das regiões ADa AQa ADa2 onde A denota a área da região especificada como rótulo inferior Assim visto que fx y ex2y2 é uma função estritamente positiva segue que de imediato que temos a seguinte desigualdade entre as integrais IDa IQa IDa2 No entanto vamos fazer uma demonstração mais explícita que usará o fato de que a integral da função fx y é estritamente positiva em qualquer região avaliada De fato isso segue pois a região de integração tomada em cada caso pode ser decomposta com relação aos conjuntos complementares De fato veja que podemos expressar o conjunto Qa como sendo Qa Da QaDa onde QaDa é o conjunto complementar da região entre Qa e Da Desse modo a integral de IQa nos dá o seguinte desenvolvimento IQa Qa ex2y2dA Da ex2y2dA QaDa ex2y2dA Da ex2y2dA IDa IDa IQa onde o sinal da desigualdade segue fato de que a integral da função fx y é estritamente positiva em qualquer região avaliada De igual modo podemos decompor a região Qa2 como sendo Qa2 Qa Qa2Qa onde Qa2Qa é o conjunto complementar da região entre Qa2 e Qa Desse modo a integral de IDa2 nos dá o seguinte desenvolvimento IDa2 Da2 ex2y2dA Qa ex2y2dA Da2Qa ex2y2dA Qa ex2y2dA IQa IQa IDa2 Daí obtemos que IDa IQa IQa IDa2 e combinando essas duas desigualdades obtemos IDa IQa IDa2 que é o resultado desejado e assim essa questão fica demonstrada Solução do item iii Agora basta avaliarmos os limites como pedido na questão Com efeito teremos usando coordenadas polares que IDa iintDa ex2y2 dxdy int02pi int0a rer2 drd heta int02pi leftfracer22right0a d heta int02pi frac1ea22 d heta frac1ea22 heta02pi pi1ea2 Analogamente podemos mostrar que IDasqrt2 iintDasqrt2 ex2y2 dxdy int02pi int0asqrt2 rer2 drd heta pi1e2a2 Assim segue que leftlima o infty IDa lima o infty pi1 ea2 pi lima o infty IDasqrt2 lima o infty pi1 e2a2 piright Uma vez que limx o infty exn 0 Assim os resultados pedidos ficam demonstrados isto é lima o infty IDa lima o infty IDasqrt2 pi Solução item iv Agora para a região quadrada nós usaremos os resultados dos itens ii e iii Com efeito do item ii nós temos que IDa leq IQa leq IDasqrt2 Então aplicando o limite com a o infty na desigualdade acima teremos que lima o infty IDa leq lima o infty IQa leq lima o infty IDasqrt2 implies pi leq lima o infty IQa leq pi implies lima o infty IQa pi e logo segue diretamente do Teorema do Confronto que lima o infty IQa pi e o resultado fica demonstrado Solução item v De fato veja que intinftyinfty ex2 dx sqrtintinftyinfty ex2 dx intinftyinfty ey2 dy sqrtintinftyinfty intinftyinfty ex2y2 dx sqrtlima o infty intaa intaa ex2y2 dxdy sqrtlima o infty iintQa ex2y2 dA sqrtlima o infty IQa sqrtpi Portanto obtemos e concluímos que intinftyinfty ex2 dx sqrtpi conforme desejado