Funções de várias variáveis: Pontos críticos, máximos e mínimos

Lista 5 Funções de Várias Variáveis Pontos Críticos Máximos e Mínimos Multiplicadores de Lagrange 1 Determine e classique os pontos criticos das funções abaixo relacionadas a fx y 2x2 y2 4x 4y 5 b fx y x3 y3 3xy 3 c fx y 2x3 3x2 y2 12x 10 d fx y xyex2y2 2 Encontre o máximo e mínimo globais de cada uma das seguintes funções a fx y senxsenysenxy 0 x π3 0 y π3 b fx y x3 y3 3xy na região triangular com vértices 0 0 0 1 e 1 0 c fx y ex2y2y x 1 y 1 3 Foi encomendado para sua empresa o projeto de um tanque para gas liquefeito de petróleo As espe cicações do cliente pedem um tanque cilindrico com extremidades hemisféricas que contenham 8000 m3 de gás O cliente também quer usar a menor quantidade possível de mateiral para construir o tanque Qual raio R e altura h da parte cilíndrica você recomendaria para o tanque 4 Determine o volume máximo V de uma caixa retangular inscrita no elipsóide x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 5 De uma folha de aluminio com 12cm de lar gura desejase construir uma calha dobrandose os la dos da folha para cima e formando duas abas de mesmo tamanho de modo que estas abas façam o mesmo ân gulo com a horizontal Qual a largura L das abas e que ângulo θ elas devem fazer com a horizontal para que a capacidade da calha seja máxima 6 Determine os valores máximo e mínimo se existirem das funções relacionadas sujeitas ao respec tivo vínculo indicado a fx y x2 y2 x2 y2 4 b fx y xy 4x2 9y2 36 c fx y x2 y2 z2 3x 2y z 6 d fx y x y z x2 4y2 9z2 36 7 A janela de uma casa tem a forma de um re tângulo com um triângulo isósceles no topo Se o pe rímetro da janela é 12m e esta deve coletar a maior quantidade de energia solar possível mostre que o ân gulo da base do triângulo é π 6 radianos 8 Determine a equação do plano que passa pelo ponto 1 2 1 e determina com os planos coordenados um tetraedro de volume máximo 9 Suponha que a temperatura em um ponto x y de uma placa de metal seja Tx y 4x24xy y2 Uma formiga andando sobre a placa percorre um círculo de raio 5 centrado na origem Qual é a maior e a menor temperaturas encontradas pela formiga 10 Considere a curva C dada pela intersecção do cilindro de equação x2 12 y2 16 1 com o plano 2x y z 12 Determine as distâncias máximas e mínimas dos pontos de C ao plano xy 11 Numa circunferência de raio R traçamse duas cordas paralelas uma acima e outra abaixo do centro e constroise um trapésio isósceles Determine as distâncias das duas cordas ao centro para que a área do trapézio seja máxima 12 Determine os valores máximo e mínimo se existirem da função fx y x2 y2 z2 sujeita aos vínculos x y z 1 e x 2x 3z 6 13 Se f for uma função contínua de uma variá vel com dois máximos locais num intervalo então deve haver um mínimo local entre eles Este resultado não se estende a funções de duas variáveis De fato mos tre que fx y 4x2ey 2x4 e4y tem dois máximos relativos mas nenhum outro ponto crítico 2 Respostas dos Exercicios 1 a Minimo global 1 2 b Maximo 3 em 28 V2 e 28 v2 minimo 3Vv3 3Vv3 b Maximo local 11 ponto de sela 3 em 333 V2 e 38 v2 c Ponto de sela 10 minimo local 2 0 c Minimo os em 2 8 3 d Ponto de sela 00 minimos locais 2 2 d Maximo 7 em 28 2 5 e minimo 7 em e 222 maximos locais x2 v2 e 8 35 9 2 2 7 2 a Maximo 3 em 44 minimo 0 em 00 2 33 8 2xy2z6 b Maximo em 01 e 10 minimo em 3 5 9 125 nos pontos 25 V5 e 2V5 V5 e 0 nos c Maximo e em 11 e 11 minimo e4 em pontos V52V5 e V5 2V5 0 z 10 20e4 3 h0ceR106n124m Babe 11 Distancias iguais a Rv2 4V 33 2 5 L4cme 0 3 radianos 12 6 a Maximo 4 em 20 minimo 4 em 0 2 13 3