Lista 4: Funções de Várias Variáveis - Gradiente, Derivada Direcional e Derivadas Parciais

A ee TRO DE MATEMATICA COMPUTACAO E COGNICAO Universidade Federal do ABC Lista 4 Funcoes de Varias Variaveis Gradiente Derivada Direcional e Derivadas Parciais de Ordem Superior Exercicios marcados com asterisco sao desafios com um grau mais alto de dificuldade c Conclua do item b a desigualdade de Cauchy Schwartz no caso Vv 0 Por que ela permanece t spose a curva e nivel is ie pasando valida se 0 Justifique pete pone he eeu mvs e desenhe d Dado D Cc R aberto seja f D R dife o vetor gradiente em P 7 5 oe rencidvel em Xo D Mostre que a direcao ao a fxy yo P 2 2 longo da qual a derivada direcional de f em Xo b fxy x 4y7 P 2 0 é maxima é ao longo de Vf Xo c fxy x y P 2 1 5 Determine a derivada direcional maxima de f 2 Considere a superficie xz yz yz 2 em P ea direcao em que isto ocorre a fxy 3xy 42 P 15 2 a Determine a equacao do plano tangente a su 7 perficie no ponto 21 1 b fxy 2 vxyez P 22 2 b Determine as equacgdes parametricas da reta que normal a superficie no ponto 2 1 1 6 Suponha que a funcao de duas variaveis f di ferencidvel no ponto 12 satisfaz Dgf12 5 e Dsf12 1 i 34 v 43 Deter 3 Determine a derivada direcional de f em P na vf 2 10 onde t 55 e 55 Deter mine direcao do vetor u 12 a fxy senxeosty P n32n3 2 Bb wi 23 b fy1 2 b fxy xyz P 21 2 u 12 2 c A derivada direcional de f em 12 ao longo floy 212 12 2 do vetor dado pelo segmento de reta orientado com ponto inicial 12 e ponto final dado pela 4 O objetivo deste exercicio 6 demonstrar a ongem desigualdade de CauchySchwarz dados dois vetores n uv R temos que 7 Determine fx fry fyx e fyy para cada uma yo ty yy d intes funcoes ii ii 7 as seguintes eee a fxy 3x 4 2y com igualdade se e somente se U e V forem colineares b fxy senx 3xy Le proporcionais lembrar que se U u Un c txy x2y2e29 eV v1Vn entao o produto escalar candénico uv de We Vea norma Euclideana t de u sao respectivamente dados por UV uwyvy UnVn 8 Seja e u Cu u a Mostre que CHt f20G 9 I9IFE gy xubdvPVOP 2 se Ogu 00 para todo uv R y 0 se xy 00 b Mostre que se Vv 0 0 polindmio de segundo grau Pt dado no item a possui no maximo a Se xy 00 calcule of of uma raiz real e que isso ocorre se e somente se ox dy ue V forem colineares b Mostre que 0f0x 00 0 0fdy 0 0 c Mostre que 0fdxdy00 1 e 13 A equacao 0Fdyax00 1 du du d O que aconteceu Porque as derivadas mistas a es nao sao iguais ot Ox onde c é uma constante positiva 6 chamada equacdao de onda Sejam f e g funcgoes duas vezes diferencidveis 9 Sejam z 3xy 4y x 2se y re de uma variavel Determine orf e ca de duas maneiras a Mostre que uxt fx ct e vxt dr Osdr gx ct satisfazem a equacao da onda a Expressando z em termos de r e s j b Mostre que uma fungao da forma xt b Usando a regra da cadeia fxct9xct satisfaz a equacdo da onda 10 Uma fungcao w fxy z com segundas de c Confirme que xt sentsenx sat stay a rivadas parciais continuas que satisfaz a Equacao de equacao da onda com cl entao use identi Laplace dades trigonométricas apropriadas para expres aw ew ew sar essa funcao na forma fx t gx t é dita harménica Qual das funcdes abaixo sao harm6 14 O capitdo Astro esta outra vez em perigo nicas perto da 6orbita de Merctrio Ele esté na posicado a xyz gxy x 3xy Po 111 e a temperatura da blindagem de sua b fxyz gxy eseny ecosy espaconave num ponto xyz dada por Tx yz c fxyz O y2427717 e 7u32 graus a Que direcao ele deve tomar para perder tempe ratura 0 mais rapido possivel 11 Determine o maior conjunto aberto no qual b Se a espaco nave viaja a e unidades de com fxy fyx nos seguintes casos primento por segundo com que taxa a tempe a fxy 4x3y 3x2y ratura ira cair quando ele seguir a diregao do b fxy x2 y21 item a c fxy senx c Infelizmente a blindagem da espaconave se da nificaré se a taxa de variacao da temperatura for inferior a V14e grauss Que conjunto de 12 Se o potencial elétrico em um ponto xy possiveis direcdes ele pode tomar sem causar do plano xy é Vxy entao o vetor campo elétrico danos a sua espagonave a partir de Po com a no ponto xy é E VV Suponha que Vxy velocidade do item b e cos2y a Determine o valor do campo elétrico em 7040 15 Se u e v sao fungoes das varidveis x Y de classe C e satisfazem as equagdes de Cauchy b Mostre que em cada ponto no plano o poten Riemann cial elétrico decresce mais rapidamente na dire du dv dus ov cao e sentido do vetor E dx dy dy ox mostre que u e v séo harmonicas 2 Respostas dos Exercícios 1 a f2 2 1 4 1 2 b f2 0 4 0 c f2 1 4 2 2 a x 3z 5 b x 2 t y 1 z 1 3t 3 a DufP 7 4 13 b DufP 1 6 4 a Use as propriedades uv v u e u tv w u w tv w do produto esca lar c Calcule o discriminante b2 4ac de Pt at2 bt c quando v 0 e os dois lados da desigualdade de CauchySchwarz quando v 0 5 a Duf 392 ocorre na direção de f b Duf 56 ocorre na direção de f 6 a fx1 2 5 b fy1 2 10 c u 1 2 Duf1 2 3 5 7 a fxx 6 fxy 0 fyx 0 fyy 4 b fxx 2cosx23xy4x212xy9y2senx2 3xy fxy 3cosx2 3xy 6x2 9xysenx2 3xy fyx 3cosx2 3xy 6x2 9xysenx2 3xy fyy 9x2senx2 3xy c fxx e2xy2y2 8xy3 4x2y4 fxy e2xy4xy 10x2y2 4x3y3 fyx e2xy4xy 10x2y2 4x3y3 fyy e2xy2x2 8x3y 4y2x4 8 9 10 11 12 13 14 15 3