Lista 1: Funções de Várias Variáveis - Domínios, Gráficos e Curvas de Nível

SS a ee TRO DE MATEMATICA COMPUTACAO E COGNICAO Universidade Federal do ABC Lista 1 Funcoes de Varias Variaveis Dominios Graficos e Curvas de Nivel a fx y x y k01 23 42 y2 1 Nos seguintes exercicios i encontre 0 dominio b f0sy x k 123 Domf ii encontre a imagem Imf e iii descreva as c fxy glnyx y k 0 12 3 curvas de nivel da funcao d fxy xyl k 124 a fxy x y wv b f0xy x4 5 Umacamada fina de metal localizada no plano c fxy xy tem temperatura Tx y no ponto xy As cur oy vas de nivel de T sao chamadas de isotérmicas porque d fxy V9xy todos os pontos em uma isotérmica tém a mesma tem e fxy Inx y7 peratura Faca o esboco de algumas isotérmicas se a f xy en 7 funcao de temperatura for dada por 100 T Mow Tryp Dy 2 Esboce o grafico das funcoes a seguir a fxy 3 b fOyy u 6 Se Vxy é 0 potencial elétrico de um ponto c fxy 1xy xy do plano xy as curvas de nivel de V sao chama d fxy cosx das curvas equipotenciais porque nelas todos os pon e fxy 1 x2 tos tém o mesmo potencial elétrico Esboce algumas f xy 3 a y curvas equipotenciais de g fxy 4x7 97 1 Vix4y h fxy 16 x2 16y2 vere sy i fxy Vx y onde c é uma constante positiva 3 Considere as funcées 7 Dada a fungao fxy zat pedese a fxy xy Para quais valores de x e y a As equacoes das curvas de nivel z 14 z4 temos fxy 2 Represente graficamente a ez resposta b A equacao e o esbocgo da curva de nivel que b fxy 2tY Para quais valores de x e y contém o ponto 0 2 temos fxy 1 Represente graficamente a c Um esboco do grafico da fungao resposta c fxy xy Para quais valores de x e y te mos fxy 1 Represente graficamente a 8 Seja fxy 10xy resposta a Represente o dominio de f no plano xy e deter mine a imagem de f 1 b Identifique as intersecdes do grafico de f com os 4 Desenhe as curvas de nivel fk xy planos z0z1z2y0ex0 R fxy k das funcdes de duas variaveis f a c Faca um esboco do grafico de f seguir para os valores de k dados 8 9 Associe a funcao i com seu grafico indicado a zsenx2 y por AF na Figura 1 e ii com suas respectivas curvas b zx2 2exty de nivel indicado por IVI na Figura 2 4 B c c z x4y2 d zx 3xy oS f zsen2x ly A Au 10 Na Figura 3 sao mostradas curvas de nivel aw ay para a funcao f Useas para estimar o valor de f3 3 y yx e f32 O que vocé pode dizer sobre a forma do er grafico de fxy Figura 1 y AC PS I ul z oaths M oT aN 7 Ee TAT we SS ie POAEEN AI IIx ar Wwe CER NCCI Co CoCo oe WS NAAR OTA ol Piel ee Ny INANE 50 Se ES SG SSS ae Zo Spe booo Tt AZ Figura 3 Figura 2 Fonte das figuras J Stewart Cdlculo 5a edicao vol 2 pag 899 Cengage Learning 2006 2 Respostas dos Exercícios 1 a Dom f R2 Im f R curvas de nível x2 y2 k b Dom f x y R2x 0 Im f R curvas de nível y kx2 c Dom f x y R2x2 y2 16 Im f 14 curvas de nível k2 1 16x2y2 k 0 d Dom f x y R2x2 y2 9 Im f 0 3 curvas de nível x2 y2 9 k2 e Dom f x y R2x2 y2 0 Im f R curvas de nível x2 y2 ek f Dom f R2 Im f 0 1 curvas de nivel x2 y2 lnk 2 3 4 5 Curvas de nível x2 100 kk y2 100 k2k 1 6 Curvas de nível x2 y2 r2 c2 k2 7 a z 1 4 x2 y2 4 z 4 x2 y2 1 4 z 9 x2 y2 1 9 b z 1 4 8 a Dom f x y R2x 10 y2 Im f 0 b z 0 x 10 y2 z 1 x 9 y2 z 2 x 8 y2 y 0 x 10 z2 x 0 z2 y2 10 9 a BIII b CII c FV d AVI e DIV f EI 10 f3 3 55 f3 2 35 3