Lista 7: Funções de Várias Variáveis e Aplicações de Integrais

SS a ee TRO DE MATEMATICA COMPUTACAO E COGNICAO Universidade Federal do ABC Lista 7 Funcoes de Varias Variaveis Aplicagoes de Integrais Duplas Integrais Triplas Exercicios e figuras adaptados do livro de J Stewart Cdlculo 5a edigao vol 2 Cengage Learning 2006 onde z fxy e supondo que nesse caso oF ey 0 no interior de R Determine a area das seguintes su 1 Lembrar que as coordenadas xy do centro perficies de massa de uma placa de formato dado pela regiao plana R C R e cuja distribuicdo de massa é dada pela a A parte do plano 3x 2y z 6 que esta no funcao densidade de massa uw R R é dada por primeiro octante b A parted ficie z ta dentro d My M parte a super cle z xy que esta dentro do My YM cilindro x y 1 onde c A parte da esfera x y z 4z que esta dentro do paraboloide z x u M Hix y dA d A parte da esfera x7yz a que esta den R tro do cilindro x y ax e acima do plano My yetay dA My xictxy aA xy R R sao respectivamente a massa e os momentos de massa 3 Calcule as seguintes integrais triplas iteradas em relagao aos eixos x e y Calcule as coordenadas lextez XcYc do centro de massa da placa homogénea ie a JJ J oxy dy dx dz u constante indicada na figura um circulo de 10m 00 0 2 Tlzy de raio do qual foi removido um circulo de 05m de b ff fze dx dy dz raio com uma separacao de 0 25m entre os centros O 000 e O dos dois circulos c fffy dV onde R é a regiao limitada pelos planos Ym R x0y0z0e2x2y42z24 Ce d fffydV onde R é a regiao limitada pelo cilindro 05 R SOL im yz e pelos planos x 0 y 3xez0 LT no primeiro octante 4 Esboce o sélido cujo volume é dado pelas inte Figura 1 grais iteradas dadas abaixo e reescreva a integral como uma integral equivalente de dois modos diferentes 1 1x 22 2 A drea de wma superficie determinada pelo gra a Jf Jf f dydzdx fico de uma funcgao de duas varidveis z fxy defi 0 0 0 nida numa regido R C R é dada pela formula 2 2y4y b J ff dxdzdy A Vi Vtx y7dA oo 0 1 1x 1x R c Jf f J dydzdx Se f é dada implicitamente pela equacao Fx y z 0 0 0 0 entao A IFRS Zl dA 5 Faca um esboco do sdlido cujo volume é dado D Seg pelas integrais abaixo e calcule tais integrais m2 2 9r2 3 9a 18x22 a rdzdrdé a J f Jf G2 ty 27 dzdx dy 0 0 a2 n6n2 3 ety b J Jf Josing dp dd do b 0 00 If ve FyedV R 6 Utilize coordenadas cilindricas onde R é a regiao hemisférica que esta acima do x Tcos0 244242 plano xy e abaixo da esfera x y 27 1 y rsen0 c ZzZ VJ xety224 r 0 0 0 27m e calcule as integrais dadas a lle dV seguir usando a formula de mudanga de variaveis R iI fxy z dV iI frcos rsen zrdV onde R esta delimitada pela esfera xyz7 9 no primeiro octante R R onde R x rcos0 y rsen0z Rr0z R 8 Determine o determinante Jacobiano de trans formacao 1 VI 2xy a f f J 8 y78 dz dy dx a xwvyw4w 132 x2 2 b x ys c xasenf y xcosB Jvereev Ph v acosih d xe ye zerrw R onde R é a regiao contida dentro do cilindro 2442 4 xy 16 e entre os planos z 5 ez 4 9 Determine a imagem do conjunto S pela trans c formacao dada feav a Suv0u30v2x 2ut3v R yuVv onde R esta delimitada pelos planos z 0 b S éaregiao triangular com vértices 00 11 zxyt3e pelos cilindros x y 4 e 01 x u2 y v e x2 4 y 9 Y c S 60 disco dado por uaw 1 x au y bv 7 Utilize coordenadas esféricas x rsenOcos 10 Utilize a transformacao dada para calcular a y rsen0sen integral z rcos0 a r000 70 2n calcule as inte 3 dA grais dadas a seguir usando a formula de mudanga de variaveis R toow2 dv iI frsen0cos rsensen onde R é a regiao triangular de vértices 00 F i 21 e 12x 2uv yut2Vv 2 b rcos9rsen8 dV Ife dA onde R R x rsen8cos y rsen8sen onde R é a regiao limitada pela elipse 9x zrcos8 ER r6 ER 4y 36x 2u y 3 2 c onde R é 0 paralelogramo delimitado pelas retas fevaa x2y 0x2y 4 3xyl1e3xy 8 R b onde R é a regiao do primeiro quadrante limi yx tada pelas retas y x e y 3x e pelas hipér eos dA boles xy 1exy3x uv y v R onde R é aregiao trapezoidal com vértices 1 0 20 02 e 01 11 Calcule a integral fazendo uma mudanga de varidveis apropriada c a ffew dA XY aa R xy onde R é dada pela inequacao x y 1 R 3 Respostas dos Exercícios 1 xc yc 0 1 12 2 3 4 5 6 8 9 10 11 4