Lista de Exercícios: Diferenciabilidade de Funções de Várias Variáveis

ee TRO DE MATEMATICA COMPUTAGAO E COGNICGAO Universidade Federal do ABC Lista 3 Funcoes de Varias Variaveis Diferenciabilidade 6 Encontre o ponto onde o plano tangente a su perficie de equacgao z e no ponto 111 corta o 1 Determine of e a para as seguintes fungoes de gixg 7 duas varidveis a fxy xcosxcosy 7 D I da f 72 2 2 2 Determine a aproximacao linear da fungao b flay OO yljinx y fxy 20 x 7y em 21 e usea para cal c fxy arctg cular aproximadamente f195 108 y d fxy x 33443 e fxy Vx iY 3 8 Encontre uma aproximacao linear para xseny f F060 cospettye a 0 99028 b 099 2 01 60 992 01 2 Determine of ee e at para as seguintes fun c 401 3 98 202 coes de trés varidveis a fxyz xy 3xy 2yz 05 y2 5 4 9 Sejam z ye xe y sent x cost b fy Zz O ye 2 Determine 42 de dois modos fs yz yersenxz a Usando a regra da cadeia b Determinando a fungaéo composta zt e deri 3 Encontre as derivadas parciais indicadas vando em relagao a t a zMmyV1xy 12 2 00 ax b z ecosbx y zy27b 0 10 Suponha que z fxy seja diferencidvel no ponto 4 8 com f48 3e fy48 1 Sex t ey t encontre 2 para t 2 4 Seja fxy x y77 Mostre que y at P 4x Wav se xy F 00 fx xy 3x y7179 we 11 Sejam xy xy xy 2 x rcos8 0 xy 00 SE GY Wy y rsen Encontre go e oe 5 Verifique se as funcdes abaixo sao diferencia 12 Sejam fxy xyx2y x Vu veis em 00 y uv Encontre xy a Foy f E se we af a se xy 0 0 Ou ulv2 ov uslv2 b fxy xcosy S35 se xy 00 c fxy o 00 se xy 00 13 Seja f uma funcao diferencidvel de uma varia x 2 2 d fxy Zip se xy A 0 0 vel e seja z fx y Mostre que yz xzy 0 0 se xy 00 14 Seja f uma função de uma variável e seja w fu em que u x 2y 3z Mostre que w x w y w z 6dw du 15 Seja z fxy yx Mostre que z x z y 0 16 Seja φ R R uma função diferenciável tal que φ1 4 Seja gx y φ x y Calcule g x1 1 e g y1 1 17 Determine uma função fx y tal que f x 3x2y2 6y e f y 2x3y 6x y y21 18 A função y fx é denida implicitamente pela equação Fx y 0 se para todo x Dom f temos Fx fx 0 Mostre que se f e F são diferen ciáveis então dy dx Fx Fy se F y 0 19 Seja z fx y denida implicitamente pela equação Fx y z 0 para todo x y Dom f Mos tre que se f e F são diferenciáveis então z x Fx Fz e z y Fy Fz se F z 0 20 Use o exercício anterior para determinar a equação do plano tangente no ponto 1 3 2 à super fície denida implicitamente pela equação Fx y z z3 x yz2 x2 y2 34 2 Respostas dos Exercicios 1a 4 f cosxcosy xsenxcosy 5 a Nao é diferencidvel fy xcosx seny b Nao é diferenciavel b c Diferencidvel fy 2x1 Inx y 2 d Nao Diferenciavel fy 2yl1 Inx y 6 P 00 1 y 7 f x y x 8 a 108 fy x2 y b 285 d c 6 0066 fy yx fy xlnx 9 e 10 f Vx y3 43F 11 23 3 fy u y 33 e 3rcos6sen0 T f 4rcos8sen6 f senycosx y 2xsenx y oe rrsen 2cos0sen6 x 2x2 442 00 ce ey cos40 3rcos8sen28 xcosycosx y 2xysenysenx y cos nos sen yo cos2x2 y2 12 2 a af 351 b du u1v2 2 0 x 168 62 y2 4232 OV 12 Y V2 yy tee 18 f 14 x2 y 2732 15 fx y exp xsenxz yz exp xcosxz 16 ag ag fy exp xsenxz ax bV4 ga f xy exp xcosxz z xy exp xz 7 3 a 18 b 19 2m 3