Lista 2: Funções de Várias Variáveis - Limites e Continuidade

eae TRO DE MATEMATICA COMPUTACGCAO E COGNICGAO Universidade Federal do ABC Lista 2 Funcoes de Varias Variaveis Limites e Continuidade Exercicios marcados com asterisco sao desafios com um grau mais alto de dificuldade k xy 1 1 Determine o limite se existir ou mostre que o a lim 41 Vxyl limite nao existe justifique um a 1 lim xeyt xy 4 1 xy 21 lim xsen53 xy 00 xy b eu lim xy 00 x 1 2 3 a Mostre que o valor de yeryz tende a 0 quando c i xy tende a 00 ao longo de qualquer reta in mx ou ao longo de qualquer parabola xy 00 x7 y 2 a BO OE BIE y kx d b Mostre que 442 lim x yy lim x3y xy00 x y xy 200 2x y2 e nao existe tomando x y 00 ao longo da xy curva y x lim yx aye xy 00 X Y f 3 Utilize coordenadas polares para determinar os i ety limites Dica note que se r 0 sao as coordenadas xy 200 rye polares do ponto xy x rcos0 g a r00 027 i cosx 1 x y Tsen 1m ry ry xy 00 x4 y4 entao r 0 quando xy 00 pois x y 1 h x 3443 9 000 xt y xy 00 x7 y i b 2 lim Xtal i 1 cosx y xy900 X Y xy00 x yr j c lm Yt3 v3 lim e710 xy00 XY x xy00 d 8 E possivel definir a funcdo sentry no ponto lim yt y7Inx yu 00 de tal modo que ela seja continua Justifique XY 9 Idem para a funcao aye 4 Esboce 0 maior conjunto no qual a fungao é continua b fxy Vxy i fx hy k fxy 2xhk Su nyk200 Vh2 2 c fxy Jeo hk00 h k d fxy nx 4 onde fxy x y e fxy arcsenxy SY se x 00 f fuy Bene 86 04 Y 00 seny se xy 00 se xy 00 11 Sejaf xy xr 1 se xy 00 Mostre que f é continua em 00 5 Encontre o valor de a para que a funcao dada j ti 00 1 seja continua em i 12 Seja fxy 2 a fxy yrjsen x5 se xy 00 a Verifique que as curvas y tgax com a a se xy 00 72 72 sao curvas de nivel de f x2y2 se xy 00 b E possivel definir f na origem de modo a torna b fxy Vurttl we la continua Justifique a4 se xy 00 y2senxcosy c fxy tye se xy 00 13 Denotamos por a4a5 se xy 00 BrxoYo xy R x x0 y yo 17 x2x i berto de raio r 0 centrado no ponto x9 yg FE 1 sen2x2 Y 9 Justifi o disco a p 05 a res a Ey 00 ety need Seja f D C R R definida por fxy 1 onde Posee D B00 U10 Mostre usando a definicao de limite que 7 M li senxy lim fxy 1 ostre que lim y 00 sy OI xy 10 2 Respostas dos Exercícios 1 a 8 b 1 c 0 d Não existe e Não existe f Não existe g Não existe h 0 i 0 j 1 2 3 k 2 3 l 0 2 3 a 0 b 0 c 0 d 0 4 a Dom f x y R2x 1 b Dom f x y R2x y c Dom f x y R2x2 y2 25 d Dom f x y R2x2 y2 4 e Dom f x y R2 1 xy 1 f Contínua para todo x y R2x y 0 0 5 a a 0 b a 4 c a 1 ou a 5 6 Não 7 8 Sim O limite em 0 0 vale 1 por quê 9 Não 10 O limite vale 0 11 12 13 3