Prova Discursiva Metodos Numericos Aplicados

QUESTÃO 1\n\nTsunami - Em 25 de dezembro do 2004, um forte terremoto ocorreu, na costa das Sumatra e provenç...\nV = 2·L·T\nf: frequência\np: período\nV: 800 km/h = 800 Km/h\nh: \nV: 80000 m = 200 m/s\n3,600s\n\nA velocidade dessas ondas eram iguais a 800kmt e 200m/s. QUESTÃO 3\n\nConsiderando a tabela de dados. Calcule ∫(f(x)dx) em relação dos trabalhos, regra 1/8 de Simpson.\n\nη = 7, n = 5, h = 0.5\n3/8-simpson: (n - 1)-h/2\n∫(0 a 7)p(x)dx = 12/2. {f(a) + f(b) + 2·(f(x1) + f(x2) + f(x3)) - (f(v0))}\n= 0.5/2·[2,3,1,2,12(2,8,3,4,3,5)] = 11,125 QUESTÃO 1\n\nCalcule a integral ∫_1^2 \u221a(2+x^3) dx pelo método dos trapézios, considerando 8 subdivisões na sua avaliação.\n\nh = (b−a)/n = (2−1)/8 = 4/925\n=∫[1,5(x) + 1,6(x) + 2,1,2,1,4,2,6,9,1,5,7,8,5] + ...\n= (1,55382 - 2,1733782 Questão 2/5\nConsidere a tabela de dados. Calcule \\int_{0}^{3.5} f(x)dx escolhendo entre os métodos dos trapézios, regra 1/3 de Simpson e 3/8 de Simpson.\n\nx1 f(x)\n0 2,3\n0,5 2,8\n1 3,1\n1,5 3,7\n2 4\n2,5 3,5\n3 3\n3,5 2\n\nn = 7 : Não pode ser Regra 1/3 Simpson (n=par) e Regra 3/8 Simpson (n=múltiplo de 3) – h=0,5\n\n\\int_{0}^{3.5} f(x)dx = \\frac{h}{2} [f(x_0) + f(x_1) + 2(f(x_2) + ... + f(x_n))]\n= 0,5/2 [2,3 + 2 + 2(2,8 + 3,1 + 3,7 + 4 + 3,5 + 3)] = 11,125 Questão 3/5\nDetermino o volume de água de uma piscina, com profundidade constante do 1.50m com um contorno irregular conforme figura, onde as distâncias entre bordas opostas foram tomadas com espaçamento de 1m, e os valores são apresentados na tabela. Utilize o método dos trapézios.\n\nX Distância\n0 1\n1 2,8\n2 2,8\n3 3,4\n4 3,7\n5 2,9\n6 0,8\n\nV = profundidade x área\n\nV = 1,5 . h/2 (1 + 0,8 + 2(2,8 + 3,4 + 3,7 + 2,9))\n\nV = 1,5 . 1/2 (1,8 + 2(15,6)) = 24,15m³ Calcule a integral I = \\int_{2}^{4} \\frac{\\sqrt{5x + 2}}{3} dx pela regra 1/3 de Simpson e n=8.\n\nResposta:\n\nh = \\frac{b-a}{n} = \\frac{4-2}{8} = \\frac{2}{8} = \\frac{1}{4} = 0,25\n\n\\int_{2}^{4} \\frac{\\sqrt{5x + 2}}{3} dx = \\frac{h}{3} [f(x_0) + 4(f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4) + f(x_5) + f(x_6) + 2(f(x_7) + f(x_8)))]\n\n= \\frac{0,25}{3} [1,154701 + 1,563472 + 4(1,213352 + 1,322876 + 1,424001 + 1,518406) + 2(1,262996 + 1,374369)]\n= 0,25/3 [1,154701 + 1,563472 + (1,213352 + 1,322876 + 1,424001 + 1,518406) + 2(1,262996 + 1,374369)] = 2,738664 Considere os sistemas dados a seguir. Escolha o que pode ser resolvido pelo método de Gauss-Seidel. Faça seus cálculos com 6 casas decimais e indique os resultados após 5 iterações com ε = 10^{-3}.\n\n(3x1 + 2x2 + 3x3 = 7 \n8x1 + x2 + 2x3 = 16 \n2x1 + 8x2 + x3 = 2 \n\nx1 - 3x2 + 6x3 = 13 \n3x1 + 2x2 + 2x3 = 4 \n3x1 + 7x2 + 2x3 = 17)\n\nSomente o sistema II.\n\nOrganizado:\n\n(8x1 + x2 + 2x3 = 16 |8| > |1| + |2| \n2x1 + 8x2 + x3 = 2 |6| > |2| + |1| \n|6| > |3| + |1|)\n\nCritérios das linhas - ok\n\nx1 = (16 - 2x2 - 3x3)\n\nx2 = (17 - x1 - 3x3) / 8\n\nx3 = (13 - 3x1 - 2x2) / 2\n\nUtilizando x^(0) = (0, 0, 0)' \n\n________________________________\n\nx^(1) x^(2) x^(3) x^(4) x^(5) \n\nx1 = 2.666667 x1 = 0.999999 x1 = 0.995628 x1 = 0.998855 x1 = 1.000000 \nx2 = 2.318809 x2 = 1.999999 x2 = 1.999952 x2 = 1.999998 x2 = 1.999998 \nx3 = 2.916667 x3 = 3.006945 x3 = 3.005578 x3 = 3.000000 x3 = 2.999998 \n\nAtendida precisão de 10^{-3}. \n\nx = \n[1.000006] \n[1.999998] \n[2.999998] Estimar o valor da seguinte integral: ∫_{0}^{1} 6 x ^{4} / (1 + x ^{2}) dx pelo Método do Retângulo com altura tomada pelo centro considerando n = 10.\n\nI = 1 / 10 = 1 - 0 = 0.1 \n\nx_{c} = 0\n\n|x_{nc} |f(x_{nc}) |x / (1 + x^{2})| \n\n0.05 0.049875 \n0.1 0.146699 \n0.15 0.235894 \n0.25 0.311804 \n0.35 0.371250 \n0.45 0.422265 \n0.55 0.456402 \n0.65 0.480890 \n0.75 0.494869 \n0.85 0.493943 \n0.95 0.499343 \n\n∫_{0}^{1} (1 + x^{2})^{-1} dx = h Σ f(x_{nc}) = 0.1(0.049875 + 0.146699 + 0.235894 + 0.311804 + 0.371250 + 0.422265 + 0.456402 + 0.480890 + 0.493943 + 0.499343) ≈ 0.346991 \n\nQuestão 1/5 - Métodos Numéricos Aplicados \n\nDeterminar a matriz inversa de \n[1 3] usando Gauss-Jordan. \n[2 3] \n[3 1] \n\nm_{21} = 2 - 1 = 2 \n\nm_{31} = 3 - 1 = 3 - 0 - 3 = 0 \nm_{22} = -8 - 4 = -8 + 3 \n\nm_{22} = 3 - 4 = 0 - 1/6 \n\nm_{13} = 2 0 - 4 / 7 - 8 / 3 \n\nm_{12} = 3 - 3 = -1 \n\n# Resposta: a matriz inversa é \n[ -5/12 1/3 1/4 ] \n[ 1/12 -1/3 -1/4 ] \n[ 7/12 -2/3 1/4 ] Sabendo que a dependência funcional entre a carga Q de um condensador e o tempo t é do tipo \nQ = α . 10^{kt}, determine \"a\" e \"k\" a partir da tabulação \nQ = α . 10^{kt} \n\nt (seg) 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 \nQ (Coulomb) 4.78 3.97 3.20 2.75 2.29 1.9 \n\nz = log Q \n\nz = α + Bt \n\nQ = α . 10^{kt} \n\nlog Q = log(α . 10^{kt}) \n=> log Q = log(α) + log(10^{kt}) \n=> log Q = log(α) + kt log 10 \n\nz = A + Bt \nA = log(α) \nB = k \n\nΣti = 6 \nΣti^{2} = 4.5 \nΣti = 3.55 \nΣzi = 2.874655 \nΣtiZi = 2.016020 \n\nL2 = 0.75L2 - 0.75L2 \na = log(α) ≈ 10^{0.079109} ≈ 12\n\nEntão, Q = 12 . 10^{-0.6t} Pregunta 1/5\n\nResuelva o PVI pelo método de Euler, com h = 0,25, para estimar, y (1).\n\n(PVI) y' = \\frac{2y}{x + 1} + (x + 1)^3 = f (x,y)\\ny(0) = 3\n\n▶ y = 3 qdo x = 0.\n\ny_{x+1} = y_k + hf(x_k,y_k)\n\ny_{k+1} = y_k + h \\cdot \\frac{2y_k}{x_k + 1} + (x_{k+1})^3\n\ny_1 = 3 + 0,25 \\cdot \\frac{2 \cdot 3}{0 + 1} + (0 + 1)^3 = 4,75 qdo x = 0,25\n\ny_2 = 4,75 + 0,25 \\cdot \\frac{2 \cdot 4,75}{0,25 + 1} + (0,25 + 1)^3 = 7,138281 qdo x = 0,5\n\ny_3 = 7,138281 + 0,25 \\cdot \\frac{2 \\cdot 7,138281}{0,5 + 1} + (0,5 + 1)^3 = 10,361458 qdo x = 0,75\n\ny_4 = 10,361458 + 0,25 \\cdot \\frac{2 \\cdot 10,361458}{0,75 + 1} + (0,75 + 1)^3 = 14,661718 qdo x = 1\n\nEntão: y = 14,661718 qdo x = 1.\n\nQuestão 3/5 - Métodos Numéricos Aplicados\n\nUma bola é solta de uma altura de 5 metros. Bate no chão e volta a subir até 80% da altura anterior, voltando a descer até o solo, e assim sucessivamente. Qual a distância total percorrida pela bola até parar? 2)\nBola descendo: 5 + 80% + 80% \cdot 5 + ...\n\nSérie 1: 1 + 0,8 + 0,8^2 + ... Série geométrica: C = 5, r = 0,8\n\nBola subindo: 0,8 + 0,8^2 + 0,8^3 + ...\nSérie 2.\n\nS_1 + S_2 = 5 + 4 = 5 + \n\\frac{1}{1 - 0,8} = 5 + 5 + 25 + 0,2 = 25 + 20 = 45m\n\nResposta: