Álgebra Linear

Aula 2: Inversa e cálculo de posto de uma matriz\nObjetivo desta Aula\nApós a leitura dessa aula, você:\n1- Determinar a inversa de uma matriz por dois tipos de métodos;\n2- Conhecer as propriedades das matrizes inversas;\n3- Escalar uma matriz e calcular o seu posto;\n4- Comparar os métodos de inversa de matrizes com objetivo de utilizar o mais adequado ao seu problema.\nA determinação da inversa de uma matriz torna-se necessária na simplificação de equações matriciais. O conhecimento prévio de algumas de suas propriedades muitas vezes evita cálculos matriciais dessensores que, em geral, são muito trabalhosos. Por fim, o conceito de posto de matriz terá uma grande influência nos nossos estudos futuros de discussão e resolução de sistemas de equações lineares.\nMatriz Inversível\nA inversa de uma matriz possui grande aplicabilidade na simplificação de equações matriciais. Em nossos estudos futuros veremos a sua influência nos processos de discussão e resolução de sistemas de equações lineares. Matriz inversível\nDiz-se que uma matriz quadrada A de ordem n é inversível se podemos encontrar uma matriz B também de ordem n, de tal modo que :\nAB = BA = I_n\nonde, I_n é a matriz identidade de ordem n. Neste caso, A é dita a inversa da matriz A, e geralmente, é denotada por B = A^{-1}. É importante ressaltar que a matriz B é a inversa de A, então a matriz A será a inversa de B.\nB = A^{-1} A = B^{-1}\nA seguir, vamos usar a definição para calcular a inversa de uma matriz A genérica de ordem (2 x 2).\nSeja a matriz A = \\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{pmatrix} Desejamos encontrar uma matriz B = \\begin{pmatrix} x & y \\\\ z & w \\end{pmatrix} tal que:\nAB = \\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} x & y \\\\ z & w \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix} \\Rightarrow (ax + bz \\quad ay + bw \\quad cx + dz \\quad cy + dw) = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix} Matriz inversível\nVeja os dois sistemas nas variáveis x, y e w que precisamos resolver:\n(I) \\begin{pmatrix} ax + bz = 1 \\\\ cx + dz = 0 \\end{pmatrix} e (II) \\begin{pmatrix} cx + dz = 0 \\\\ by + cw = 1 \\end{pmatrix}\nResolvendo (I) por substituição de variável, temos\nz = -\\frac{c}{d} ax + b \\left(-\\frac{c}{d} x\\right) = ax - bc x = (ad - bc) x \\Rightarrow x = -\\frac{c}{d} \\Rightarrow \\frac{d}{det A}\nLogo, z = -\\frac{c}{d} \\Rightarrow \\frac{d - bc}{ad - bc}\nResolvendo o sistema (II), de forma análoga obtemos:\ny = -\\frac{b}{det A} e w = \\frac{a}{det A}\nPor fim,\nA^{-1} = \\frac{1}{det(A)} \\begin{pmatrix} d & -b \\\\ -c & a \\end{pmatrix}\nObserve a relação existente entre os elementos da matriz A e sua inversa A^{-1}.\nSem efetuar muitos cálculos escreva a inversa da matriz A = \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 8 \\end{pmatrix} Matriz inversível\nGabartio\nA^{-1} = \\frac{1}{2} \\begin{pmatrix} 8 & -2 \\ -3 & 1 \\ \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3/2 & 1/2 \\ \\end{pmatrix}\nAula 2: Inversa e cálculo de posto de uma matriz\nEm geral, a determinação da inversa de uma matriz de ordem n requere muitos cálculos. É importante ressaltar que somente podemos calcular inversas de matrizes quadradas com determinantes não nulos.\nATENÇÃO!\nUma matriz quadrada de ordem n é inversível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero.\nPara estabelecermos a fórmula geral para cálculo da inversa de uma matriz de ordem n precisamos das definições a seguir. Matriz dos cofactores\nSeja A uma matriz quadrada de ordem n. Lembramos que o cofactor do elemento genérico a_{ij} da matriz A é definido pelo número\n\\Delta_{ij} = (-1)^{i+j} det(A_{ij})\nonde: A_{ij} é a submatriz obtida de A, retirando-se a linha i e a coluna j. A matriz dos cofactores de A, denotada por \\bar{A}, é formada calculando-se todos os cofactores de A, isto é,\n\\bar{A} = \\begin{pmatrix} \\Delta_{ij} \\end{pmatrix}\nPor exemplo, para A = \\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & 4 \\ 1 & 6 & 5 \\ \\end{pmatrix} os cofactores são dados por:\n\\Delta_{11} = (-1)^{1+1} \\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 5 \\ \\end{vmatrix} = -19; \\Delta_{12} = (-1)^{1+2} \\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \\ \\end{vmatrix} = 19;\n\\Delta_{13} = (-1)^{1+3} \\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 6 \\ \\end{vmatrix} = -19;\n\\Delta_{21} = (-1)^{2+1} \\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 5 \\ \\end{vmatrix} = -5;\n\\Delta_{22} = (-1)^{2+2} \\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 5 \\ \\end{vmatrix} = 10;\n\\Delta_{23} = (-1)^{2+3} \\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 6 \\ \\end{vmatrix} = 11;\n\\Delta_{31} = (-1)^{3+1} \\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 5 \\ \\end{vmatrix} = 4; \\Delta_{32} = (-1)^{3+2} \\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 5 \\ \\end{vmatrix} = -8;\n\\Delta_{33} = (-1)^{3+3} \\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \\ \\end{vmatrix} = 5; Matriz dos cofactores\nLogo:\n\\bar{A} = \\begin{pmatrix} -19 & 19 & -19 \\ -5 & 10 & -11 \\ 4 & -8 & 5 \\ \\end{pmatrix}\nMatriz adjunta de A\nDenotada por Adj(A), é definida como a transposta da matriz dos cofactores de A, isto é,\nAdj(A) = (\\bar{A})^T\nNo exemplo:\nAdj = \\begin{pmatrix} -19 & -5 & 4 \\ 19 & 10 & -8 \\ -19 & -11 & 5 \\ \\end{pmatrix} Matriz inversa de A\nApós a determinação da matriz adjunta da matriz A, podemos encontrar a inversa de A, usando o seguinte resultado:\nA^{-1} = \\frac{1}{det A} \\cdot adj(A)\nPor fim, a inversa da matriz A do exemplo será dada por:\nA^{-1} = \\begin{bmatrix}\n1 & 5 & 4 \\\n\\frac{1}{19} & \\frac{19}{19} & \\frac{-5}{19} \\\n-19 & -5 & -8 \\\n19 & 10 & 8 \\\n-19 & -11 & 5 \\\n1 & 11 & 5 \\\n\\frac{1}{19} & \\frac{19}{19} & \\frac{19}{19}\n\\end{bmatrix}\n\nExercício Proposto\nAche se possível a matriz inversa das seguintes matrizes:\nA = \\begin{bmatrix}\n2 & 4 & 0 \\\n0 & 2 & 1 \\\n3 & 0 & 2\\end{bmatrix}\n(1) A \nA = \\begin{bmatrix}\n4 & -1 & 2 \\\n3 & -1 & 0 \\ \n2 & 3 & 1 \\\n0 & 7 & 1 \\end{bmatrix}\n(4) A\n(2) A = \\begin{bmatrix}\n1 & 4 & 2 \\\n1 & 2 & 1 \\\n2 & 1 & 0 \\end{bmatrix}\n(2) A\n(3) A = \\begin{bmatrix}\n1 & -x_{2} & -x_{1} \\\nx & x_{2} & x\\end{bmatrix}\nPara x = 0,\n(3) A\n(5) A = \\begin{bmatrix}\n3 & 0 & 0\\\n18 & 18 & 0\\\n-6 & -5 & 0\\\n4 & \\sqrt{3} & 0\\\n8 & 3 & -1 \\end{bmatrix}\nGabarito Exercício Proposto - Gabarito\nAche se possível a matriz inversa das seguintes matrizes:\nGabarito (1)\n\\begin{bmatrix}\n1 & 2 & 1 \\\n5 & 3 & 5 \\\n5 & -5 & 10\\end{bmatrix}\nGabarito (2)\nA não é inversível, pois det(A) = 0\nGabarito (3)\n\\begin{bmatrix}\n1 & 2 & 1 \\\n- x_{2} & - x_{1} \\\nx & x\\end{bmatrix}\nGabarito (4)\n\\begin{bmatrix}\n-1 & -4 & -2 \\\n-3 & 4 & -1 \\\n11 & 14 & 22 \\\n10 & -41 & 21\\end{bmatrix}\n\nGabarito (5)\nA não é inversível, pois det(A) = 0.\nPropriedades da inversa\nSejam A e B matrizes quadradas de ordem n inversíveis.\n(1) A inversa da matriz identidade é a matriz identidade\n(2) (A^{-1})^{-1} = A\n(3) (kA)^{-1} = \\frac{1}{k}A^{-1}\n(4) (A^t)^{-1} = (A^{-1})^t\n(5) (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\n(6) det(A^{-1}) = \\frac{1}{det(A)} Exercício Proposto\nDadas as matrizes A = \\begin{bmatrix}\n2 & 3 \\\n1 & 0\\end{bmatrix}\ne B = \\begin{bmatrix}\n2 & 0 \\\n4 & 1\\end{bmatrix}, use as propriedades para calcular:\n(1) (3A)^{-1}\n(2) det(A^{-1})\n(3) (B^t)^{-1}\n(4) (B^{-1})^{-1}\n(5) (AB)^{-1}\n\nExercício Proposto - Gabarito\n(1) (3A)^{-1} = \\frac{1}{3}A^{-1} = \\begin{bmatrix}\n-1 & 3 \\\n3 & -2\\end{bmatrix}\n(2) det(A^{-1}) = 1/det(A) = -1\n(3) (B^t)^{-1} = (B^{-1})^t = \\begin{bmatrix}\n1/2 & -2 \\\n0 & 1 \\end{bmatrix}\n(4) B\n(5) (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} = \\begin{bmatrix}\n-1/2 & 3/2 \\\n3 & -8\\end{bmatrix} Os conceitos que apresentaremos a seguir não só viabilizarão o estudo de um novo processo para o cálculo da inversa de uma matriz como também estarão amplamente presentes nos processos de discussão e resolução de sistemas de equações lineares.\n\nOperações elementares com as linhas de uma matriz\nSão três as operações elementares possíveis com as linhas de uma matriz.\n\nTroca de linhas\nÉ descrita por uma permuta de duas linhas da matriz, isto é, a linha i troca com a linha j (L_i \\leftrightarrow L_j).\n\nExemplo:\n\n[ 1 3 4 ]\n[ 2 1 3 ]\n(L_1 \\leftrightarrow L_2)\n\n[ 2 1 3 ]\n[ 1 3 4 ]