AD2 Geometria Espacial 2023-1: Resolução de Problemas e Teoremas

Geometria Espacial AD2 Página 1 de 1 AD2 de Geometria Espacial 20231 Apresente seu raciocínio sempre Desenvolva as soluções com clareza capricho e cuidadosamente justificadas Enuncie todos os resultados que você utilizar O envio é somente pela Plataforma A resolução deve ser original não copie individual e com elegância Você não pode usar conteúdos de disciplinas mais avançadas como Cálculo ou Geometria Analítica Questão 1 3pts Seja S uma esfera de centro O um ponto P pertencente a S e α um plano que contém P Mostre que α é perpendicular a OP se e somente se α é o plano tangente a S em P Questão 2 A figura representa um planeta fictício de forma esférica com centro O e raio 6000 Km A imagem da esquerda destaca os pontos A e B ambos localizados no paralelo 30 Norte Sabendo que A está no meridianos de zero grau e B no meridiano 90 Leste resolva paralelo 30 Norte linha do Equador a 15pt Calcule o raio do paralelo 30 Norte b 15pt Calcule o comprimento do arco AB sobre o paralelo 30 Norte destacado na imagem da esquerda c 15pt Calcule o comprimento do arco AB sobre o círculo de centro O no plano OAB destacado na imagem da direita Sugestão calcule primeiro o comprimento do segmento AB depois o cosseno do ângulo AÔB usando a Lei dos Cossenos e obtenha uma aproximação do ângulo usando uma calculadora científica Questão 3 a 1 pt Defina poliedro regular não é necessário definir poliedro b 15 pt Dedique até meia página para dissertar sobre poliedros regulares Apresente exemplos Fundação CECIERJ Realização acadêmica UFF e UNIRIO Consórcio CEDERJ Questão 1 Há duas afirmações a serem provadas Se α é perpendicular a OP então o é o plano tangente a S em P Se α é o plano tangente a S no ponto P então a é perpendicular a OP Definição Fixados um ponto P S dizemos que um plano α é tangente a S em P quando a interseção de α e S é apenas P A afirmação do enunciado pode ser reescrita como Sejam O o centro de S e P pertencente à interseção de S e α α é tangente a S em P OP é perpendicular a α Suponha que a é tangente a S em P Considere um ponto A tal que A P Seja ẞ o plano determinado por O A e P A interseção de ẞ com S é uma circunferência T contendo P e a interseção de ẞ com α é uma reta r que também contém P Vamos mostrar que OP é perpendicular a AP Como a mesma construção pode ser feita para qualquer A P em α concluímos que OP é perpendicular a todas as retas de α logo OP é perpendicular a α Suponha que OP é perpendicular a α e seja A α com A P Vamos mostrar que A não pertence S observe que o triângulo APO é retângulo em P logo AO é a hipotenusa e portanto AO OP que é o raio da esfera Conclusão qualquer ponto A α com A P é externo a S Isso significa que a intersecção de α e S é apenas o ponto P e portanto α é tangente a S Questão 2 A figura representa um planeta fictício de forma esférica com centro O e raio 6000 Km A imagem da esquerda destaca os pontos A e B ambos localizados no paralelo 30 Norte Sabendo que A está no meridianos de zero grau e B no meridiano 90 Leste resolva A Calcule o raio do paralelo 30 Norte Para calcular o raio do paralelo 30 Norte podemos usar a fórmula do raio de um paralelo em uma esfera r R cosθ onde R é o raio da esfera e θ é a latitude do paralelo Neste caso o raio da esfera é 6000 km e a latitude do paralelo é 30 Norte Substituindo esses valores na fórmula temos r 6000 cos30 r 519615 km Portanto o raio do paralelo 30 Norte é de aproximadamente 519615 km Tem outro jeito também Como é um triângulo retângulo e já temos 30 o restante é 60 logo podemos escrever como sen60RR que da 3000raiz de 3 km b Calcule o comprimento do arco AB sobre o paralelo 30 Norte destacado na imagem da esquerda Para calcular o comprimento do arco AB sobre o paralelo 30 Norte podemos usar a fórmula do comprimento de um arco em uma circunferência C 2πr α360 onde r é o raio da circunferência e α é o ângulo central correspondente ao arco Neste caso o raio da circunferência é o raio do paralelo 30 Norte que é aproximadamente 519615 km e o ângulo central é a diferença entre os meridianos de A e B que é 90 Substituindo esses valores na fórmula temos C 2π 519615 90360 C 8162093 km Portanto o comprimento do arco AB sobre o paralelo 30 Norte é aproximadamente 8162093 km c Calcule o comprimento do arco AB sobre o círculo de centro O no plano OAB destacado na imagem da direita Sugestão calcule primeiro o comprimento do segmento AB depois o cosseno do ângulo AOB usando a Lei dos Cossenos e obtenha uma aproximação do ângulo usando uma calculadora científica Seguindo as sugestões O comprimento do segmento AB pode ser calculado usando a fórmula da distância entre dois pontos em uma esfera d 2R arcsinsqrtsin²φ2φ12 cosφ1 cosφ2 sin²λ2λ12 onde R é o raio da esfera φ1 e φ2 são as latitudes dos pontos A e B e λ1 e λ2 são as longitudes dos pontos A e B Neste caso o raio da esfera é 6000 km a latitude de ambos os pontos é 30 Norte e as longitudes são 0 e 90 Leste Substituindo esses valores na fórmula temos d 2 6000 arcsinsqrtsin²30302 cos30 cos30 sin²9002 d 6000 arcsinsqrt0 cos30 cos30 sin²45 d 6000 arcsinsqrt05 d 6000 arcsin07071067811865476 d 6000 07853981633974483 d 471239 km Agora podemos usar a Lei dos Cossenos para calcular o cosseno do ângulo AOB cosAOB OA² OB² AB² 2 OA OB onde OA OB e AB são os comprimentos dos lados do triângulo OAB Neste caso OA e OB são iguais ao raio da esfera que é 6000 km e AB é o comprimento do segmento AB que acabamos de calcular Substituindo esses valores na fórmula temos cosAOB 6000² 6000² 471239² 2 6000 6000 cosAOB 72000000 222117148721 72000000 cosAOB 06916479168 Usando uma calculadora científica podemos obter uma aproximação do ângulo AOB como sendo arccos06916479168 que é aproximadamente 46567 Finalmente podemos usar a fórmula do comprimento de um arco em uma circunferência para calcular o comprimento do arco AB sobre o círculo de centro O no plano OAB C 2πr α360 onde r é o raio da circunferência e α é o ângulo central correspondente ao arco Neste caso o raio da circunferência é o raio da esfera que é 6000 km e o ângulo central é o ângulo AOB que acabamos de calcular Substituindo esses valores na fórmula temos C 2π 6000 46567360 C 485968 km Portanto o comprimento do arco AB sobre o círculo de centro O no plano OAB é aproximadamente 485968 km Questão 3 a Defina poliedro regular não é necessário definir poliedro Um poliedro regular é um poliedro convexo com vértices idênticos isto é cada vértice é igualmente espaçado dos planos de todas as faces e faces poligonais regulares congruentes isto é todos os lados e ângulos internos são iguais O tetraedro o cubo o octaedro o dodecaedro e o icosaedro são alguns exemplos de poliedros regulares Os poliedros regulares contêm várias propriedades matemáticas fascinantes incluindo correlações entre o número de faces arestas e vértices Eles também são bastante simétricos b Dedique até meia página para dissertar sobre poliedros regulares Apresente exemplos Faces poligonais congruentes e ângulos congruentes entre essas faces formam poliedros regulares que são sólidos geométricos tridimensionais O poliedro também deve ter a mesma simetria em todos os seus vértices e arestas Tetraedro cubo octaedro dodecaedro e icosaedro são os únicos cinco poliedros regulares também chamados de poliedros platônicos Esses poliedros são particularmente intrigantes do ponto de vista matemático e artístico porque cada um tem características geométricas e simetrias distintas O tetraedro que tem quatro faces triangulares equiláteras e quatro vértices é o poliedro regular mais básico Outro poliedro regular bem conhecido é o cubo que tem oito vértices e seis faces quadradas congruentes O dodecaedro tem 12 faces pentagonais regulares e 20 vértices enquanto o octaedro tem oito faces triangulares equiláteras e seis vértices O poliedro platônico final é o icosaedro que tem 20 faces triangulares equiláteras e 12 vértices Nos campos da matemática física química e outras ciências os poliedros regulares são cruciais Por exemplo o dodecaedro serve como base para a estrutura do vírus da gripe enquanto o cubo é uma das formas mais predominantes para os cristais de sal Além disso esses sólidos são frequentemente usados em jogos como o conhecido jogo de tabuleiro de dados de seis faces Poliedros regulares também serviram de base para uma grande quantidade de design arquitetura e arte Por exemplo a fundação da Torre Eiffel é octogonal e a arquitetura de muitas catedrais medievais foi baseada em poliedros regulares Em conclusão os poliedros regulares são sólidos geométricos fascinantes com simetrias e características especiais Eles desempenham um papel significativo em muitos ramos da ciência e são uma grande inspiração para várias peças de arte e arquitetura