Cálculo da Velocidade e Vazão em Sistemas de Reservatórios Cúbicos

Exercício 3 Aula 4 O sistema representado na figura possui 2 reservatórios cúbicos O reservatório 1 fica completamente cheio em 1min e 40s 100s enquanto o reservatório 2 fica completamente cheio em 8min e 20s 500s Determinar a velocidade da água na seção de entrada do conduto responsável por encher os tanques Sabese que o diâmetro do contudo na seção A é de 1m Solução Fluido e escoamento incompressíveis Considerando que o sistema está operando em RP podemos escrever a equação da continuidade da seguinte forma 𝑉𝐴 𝑉1 𝑉2 Da definição de vazão volumétrica temos para cada ramal que leva água até cada um dos reservatórios cúbicos os seguintes valores 𝑉1 𝑉1 𝑡1 5³ 100 125𝑚3𝑠 𝑉2 𝑉2 𝑡2 10³ 500 2𝑚3𝑠 Considerando que 𝑉𝐴 𝜗𝐴𝐴𝐴 Substituindo na equação da continuidade juntamente com os valores calculados para as vazões de cada ramal e reescrevendo para a velocidade temos 𝜗𝐴𝐴𝐴 𝑉1 𝑉2 𝜗𝐴 𝑉1 𝑉2 𝐴𝐴 𝑉1 𝑉2 𝜋 𝐷𝐴² 4 Substituindo os valores temos 𝜗𝐴 125 2 𝜋 1² 4 41𝑚𝑠 Exercício 4 Solução O cálculo da velocidade média de um escoamento pode ser feito a partir da seguinte equação 𝜗 1 𝐴 𝜗 𝑑𝐴 𝐴 Reescrevendo a equação em termos das grandezas conhecidas temos Para 𝑑𝐴 𝑏 𝑑𝑦 para b sendo a largura da calha esta constante 𝜗 1 𝐴 𝜗 𝑏 𝑦 𝑑𝑦 A integração deve agora ser realizada em termos de y extremos de integração ao invés da área Substituindo a função que descreve a velocidade na equação obtida temos 𝜗 1 𝐴 3𝑦² 𝑏 𝑦 𝑑𝑦 Os extremos de integração são 0 e 1 sendo estes valores correspondentes às dimensões do escoamento na calha dimensões em unidades de metros 𝜗 1 𝐴 3𝑦² 𝑏 1 0 𝑑𝑦 Reescrevendo a equação obtida e integrando temos 𝜗 1 𝐴 3𝑏 𝑦² 1 0 𝑑𝑦 Integrando 𝜗 3𝑏 𝐴 𝑦³ 3 1 0 Substituindo os valores temos Item a 𝜗 3 1 1 1 13 3 03 3 1𝑚𝑠 Item b Cálculo da vazão na calha A vazão volumétrica é dada como 𝑉𝑐𝑎𝑙ℎ𝑎 𝜗𝐴 1 1 1 1𝑚3𝑠 Cálculo da vazão que entra no tanque B 𝑉𝐵 𝑉 𝑡 1 5 02𝑚3𝑠 A vazão no conduto circular é calculada a partir da conservação da massa e neste caso para um escoamento incompressível de volume 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑉𝑐𝑎𝑙ℎ𝑎 𝑉𝐵 1 02 08𝑚3𝑠 Item c Conhecemos as dimensões do conduto 30𝑐𝑚 conhecemos também a vazão volumétrica que escoa por este conduto logo podemos determinar a velocidade média bem como o comportamento do escoamento Sendo a vazão volumétrica dada como a seguinte equação podemos encontrar a velocidade solicitada 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜 𝜗𝐴𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜 Reescrevendo a equação e substituindo os valores temos 𝜗 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜 𝐴 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜 𝜋 ² 4 08 𝜋 03² 4 113𝑚𝑠 O número de Reynolds pode ser escrito como 𝑅𝑒 𝜗𝜌 𝜇 𝜗 𝑣 Para a água à temperatura e pressão ambientes 𝑣 106𝑚2𝑠 vide figura do enunciado Substituindo este e os demais valores temos 𝑅𝑒 03 113 106 34 106 Exercício 5 Solução Ajuste de unidade da vazão de entrada seção 0 𝑉0 16200𝑚3 ℎ 16200 3600 45𝑚3𝑠 Cálculo da vazão mássica na seção de entrada seção 0 𝑚 0 𝜌0 𝑉0 12 45 54𝑘𝑔𝑠 Na seção 2 conhecemos valores e a partir da definição do número de Reynolds podemos encontrar qual a velocidade média do escoamento nesta seção 𝑅𝑒 𝜗 𝑣 105 08 𝜗2 8 105 𝜗2 10𝑚𝑠 A partir deste valor podemos determinar a vazão volumétrica e vazão mássica nesta seção 𝑉2 𝜗𝐴2 𝜗 𝜋2 2 4 2 Substituindo os valores temos Item b 𝑉2 10 𝜋 082 4 5𝑚3𝑠 Obs A vazão volumétrica pode ser maior que a de entrada pois temos um escoamento que muda de densidade A vazão mássica entretanto não poderá ser maior neste sistema pois isto violaria a conservação da massa A vazão mássica pode ser calculada como Item c 𝑚 2 𝜌2 𝑉2 094 5 47𝑘𝑔𝑠 Da equação da continuidade temos para este sistema 𝑚 0 𝑚 1 𝑚 2 Neste caso Item c 𝑚 1 𝑚 0 𝑚 2 54 47 07𝑘𝑔𝑠 Item b Para 𝑚 1 𝜌1 𝑉1 𝑉1 𝑚 1 𝜌1 07 109 06𝑚3𝑠 A partir da equação da vazão volumétrica podemos determinar o diâmetro da seção 1 Equação 1 𝑉1 𝜗𝐴1 𝜗 𝜋 ² 4 1 Reescrevendo a equação para o diâmetro temos 1 𝑉1 4 𝜗 𝜋 Precisamos determinar o valor da velocidade o que pode ser feito a partir da definição do número de Reynolds 𝑅𝑒 𝜗 𝑣 Reescrevendo a equação para a velocidade temos Equação 2 𝜗1 𝑅𝑒 𝑣 Substituindo 2 em 1 temos 𝑉1 𝑅𝑒 𝑣 𝜋 ² 4 1 𝑅𝑒 𝑣 𝜋 4 Reescrevendo para o diâmetro temos Item a 𝑉1 4 𝑣 𝑅𝑒 𝜋 06 4 8 105 105 𝜋 955𝑚𝑚