Exercícios Resolvidos de Mecânica dos Fluidos - Pressão, Viscosidade e Manometria

No sistema da figura na situação inicial a esfera está vazia Introduzse óleo pelo funil até preencher totalmente o recipiente esférico e y passa a valer y 15m Dados x 8cm2 z 90cm yóleo8000Nm³ γagua10000Nm³ Qual é o valor de y na situação inicial Qual é o diâmetro da esfera Qual é o volume de óleo introduzido para estabelecer a situação final 072m 084m 2065m3 026m 158m 0660m3 056m 158m 2065m3 072m 059m 0105m3 056m 108m 0660m3 O pistão da figura tem peso de 8N e cai dentro de um cilindro com velocidade de 3ms O diâmetro do cilindro é de 101mm e o diâmetro do pistão é de 100mm Considere gradiente de velocidades linear Considere que o óleo tenha densidade de 800kgm³ Adote demais valores conforme necessário Qual a viscosidade dinâmica μ que o lubrificante deve ter para que o pistão possa se deslocar com esta velocidade L 7cm 006Nsm2 004Nsm2 005Nsm2 007Nsm2 008Nsm2 Dado o sistema da figura determinar a leitura do manômetro metálico e a força que age sobre o topo do reservatório Dados x 30cm y 80cm e z 14m2 500Pa 6000N 140Pa 1200N 200Pa 1400N 100Pa 1200N 400Pa 5600N Questão 1 Na situação inicial o 𝑦 era tal que a pressão no fundo da coluna de água e de óleo eram iguais ou seja 𝑃𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑃𝑜𝑙𝑒𝑜 𝑃𝑎𝑡𝑚 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎𝑦 𝑃𝑎𝑡𝑚 𝛾𝑜𝑙𝑒𝑜𝑧 𝑦 𝛾𝑜𝑙𝑒𝑜 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑧 𝑦 8000 10000 090 𝒚 𝟎 𝟕𝟐 𝒎 Na situação final o 𝑦 é tal que a pressão no fundo da coluna de água e de óleo são iguais ou seja 𝑃𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑃𝑜𝑙𝑒𝑜 𝑃𝑎𝑡𝑚 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎𝑦 𝑃𝑎𝑡𝑚 𝛾𝑜𝑙𝑒𝑜𝑧 𝐷 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎𝑦 𝛾𝑜𝑙𝑒𝑜𝑧 𝐷 𝑧 𝐷 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 𝛾𝑜𝑙𝑒𝑜 𝑦 Também temos que o volume de óleo adicionado é dado por 𝑉 4 3 𝜋 𝐷 2 3 𝑧 𝑧𝑥 𝑉 𝜋 6 𝐷3 𝑧 𝑧𝑥 Também note que como o volume dos fluidos é constante o volume de óleo adicionado na parte da direita deve ser igual à variação de volume do conjunto água óleo Assim temos que o volume adicionado vale 𝑉 𝜋 6 𝐷3 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧𝑥 𝑧 𝑧 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧 2𝑧 𝑦 𝑦 2𝑧 𝑧 𝑦 𝑦 2 𝑧 𝑧 15 072 2 09 𝑧 129 𝑚 Logo temos 𝐷 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 𝛾𝑜𝑙𝑒𝑜 𝑦 𝑧 𝐷 10000 8000 15 129 𝑫 𝟎 𝟓𝟖𝟓 𝒎 Assim o volume adicionado vale 𝑉 𝜋 6 𝐷3 𝑧 𝑧𝑥 𝑉 𝜋 6 05853 129 0900008 𝑽 𝟎𝟏𝟎𝟓 𝒎𝟑 Questão 2 Podemos calcular a viscosidade através da seguinte equação 𝜇 𝜏 𝑢 𝑦 Aqui 𝑢 𝑦 é o gradiente de velocidade representado como a velocidade de descido dividida pela folga 𝑢 𝑦 𝑈𝑑𝑒𝑠𝑐𝑖𝑑𝑎 𝜀 𝑢 𝑦 𝑈𝑑𝑒𝑠𝑐𝑖𝑑𝑎 𝐷𝑒 𝐷𝑖 2 A tensão de cisalhamento 𝜏 é definida como a força dividida pela área de aplicação Assim temos 𝜏 𝐹 𝜋𝐷𝐿 Logo temos 𝜇 𝜏 𝑢 𝑦 𝜇 𝐹 𝜋𝐷𝐿 𝑈𝑑𝑒𝑠𝑐𝑖𝑑𝑎 𝐷𝑒 𝐷𝑖 2 𝜇 𝐹 2𝜋𝐷𝐿𝑈𝑑𝑒𝑠𝑐𝑖𝑑𝑎 𝐷𝑒 𝐷𝑖 𝜇 8 2𝜋 0100 007 3 0101 0100 𝝁 𝟎 𝟎𝟔𝑵 𝒔 𝒎𝟐 Questão 3 Note que a pressão manométrica é zero na ponta do tudo à direita Descendo por esse tubo a pressão da água no fundo do tanque é dada por 𝑃1 0 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑦 sin30 𝑃1 10000 080 1 2 𝑃1 4000 𝑃𝑎 Agora dentro do tanque subindo pela coluna de água temos a pressão 𝑃2 na interface entre água e óleo 𝑃2 𝑃1 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 020 𝑃2 4000 10000 020 𝑃2 2000 𝑃𝑎 Agora dentro do tanque subindo pela coluna de óleo temos a pressão 𝑃3 na interface entre ar e óleo 𝑃3 𝑃2 𝛾𝑜𝑙𝑒𝑜 𝑥 𝑃3 2000 8000 030 𝑃3 400 𝑃𝑎 Desprezando a variação de pressão no ar temos 𝑝𝑚 𝑃3 𝒑𝒎 𝟒𝟎𝟎 𝑷𝒂 Logo a forma aplicada vale 𝐹 𝑝𝑚𝐴 𝐹 400 14 𝑭 𝟓𝟔𝟎𝟎 𝑵 Questão 1 Na situação inicial o y era tal que a pressão no fundo da coluna de água e de óleo eram iguais ou seja PaguaPoleo Patmγ agua yPatmγ oleo z y γoleo γagua z y 8000 10000 090 y072m Na situação final o y é tal que a pressão no fundo da coluna de água e de óleo são iguais ou seja PaguaPoleo Patmγ agua y Patmγ oleoz D γ agua y γoleo z D z Dγ agua γ oleo y Também temos que o volume de óleo adicionado é dado por V 4 3 π D 2 3 z z x V π 6 D 3z z x Também note que como o volume dos fluidos é constante o volume de óleo adicionado na parte da direita deve ser igual à variação de volume do conjunto água óleo Assim temos que o volume adicionado vale V π 6 D 3 y z yz x z z y z yz 2 z y y2z z y y 2 z z 15072 2 09 z 129m Logo temos D γagua γoleo y z D10000 8000 15129 D0585m Assim o volume adicionado vale V π 6 D 3z z x V π 6 0585 31290900008 V0105m 3 Questão 2 Podemos calcular a viscosidade através da seguinte equação μ τ u y Aqui u y é o gradiente de velocidade representado como a velocidade de descido dividida pela folga u y U descida ε u y U descida DeDi 2 A tensão de cisalhamento τ é definida como a força dividida pela área de aplicação Assim temos τ F πDL Logo temos μ τ u y μ F πDL U descida DeDi 2 μ F 2πDL U descida DeDi μ 8 2π01000073 01010100 μ006 N s m 2 Questão 3 Note que a pressão manométrica é zero na ponta do tudo à direita Descendo por esse tubo a pressão da água no fundo do tanque é dada por P10γ agua ysin30 P110000080 1 2 P14000 Pa Agora dentro do tanque subindo pela coluna de água temos a pressão P2 na interface entre água e óleo P2P1γ agua020 P2400010000020 P22000 Pa Agora dentro do tanque subindo pela coluna de óleo temos a pressão P3 na interface entre ar e óleo P3P2γ oleox P320008000030 P3400 Pa Desprezando a variação de pressão no ar temos pmP3 pm400 Pa Logo a forma aplicada vale Fpm A F 400 14 F 5600 N