Cálculo de Massa em Coordenadas Esféricas

COORDENADAS ESFÉRICAS Equipe de Cálculo Diferencial e Integral III Lincoln Cesar Zamboni Luciana Chaves Barbosa Magda Aparecida Salgueiro Duro Marcelo de Almeida Carvalhal EXEMPLOS Exemplo 1 COORDENDAS ESFÉRICAS Um sólido Q e delimitado pelo cone 𝑧 𝑥2 𝑦2 e pelo plano 𝑧 2 A densidade em um ponto 𝑃𝑥 𝑦 𝑧 é diretamente proporcional ao quadrado da distância da origem a 𝑃 Ache sua massa Solução Representando o sólido Cone circular Cone circular limitado pelo Plano z 2 𝑥2 𝑦2 4 Interseção entre o cone circular e o plano Vista superior do sólido 3 2 2 2 xy z Densidade 𝛿 𝑘𝒅2 Coordenadas Cartesianas 𝛿 𝑘 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 2 Coordenadas Esféricas 𝛿 𝑘 𝝆𝟐 2 𝑘𝝆𝟐 x y z Pxyz d O න 0 2𝜋 න 0 Τ 𝜋 4 න 0 2𝑠𝑒𝑐𝜙 𝐹 𝜌 𝜃 𝜙 𝝆𝟐𝒔𝒆𝒏𝝓𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃 massa densidadevolume m 𝑄 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑉 𝑚 න 0 2𝜋 න 0 Τ 𝜋 4 න 0 2𝑠𝑒𝑐𝜙 𝑘𝝆𝟐𝝆𝟐𝒔𝒆𝒏𝝓 𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃 𝑘 න 0 2𝜋 න 0 Τ 𝜋 4 න 0 2𝑠𝑒𝑐𝜙 𝝆𝟒𝒔𝒆𝒏𝝓 𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃 𝑘 න 0 2𝜋 න 0 Τ 𝜋 4 อ 𝝆𝟓𝒔𝒆𝒏𝝓 𝟓 0 2𝑠𝑒𝑐𝜙 𝑑𝜙𝑑𝜃 𝑘 න 0 2𝜋 න 0 Τ 𝜋 4 𝟑𝟐 𝒔𝒆𝒄𝟓𝝓 𝒔𝒆𝒏𝝓 𝟓 𝑑𝜙𝑑𝜃 𝟑𝟐 𝟓 𝑘 න 0 2𝜋 න 1 𝒖5 𝒅𝒖 𝑑𝜃 𝟐𝟒 𝟓 𝑘2𝜋 Massa 48 5 𝑘𝜋 unidades de massa 𝟑𝟐 𝟓 𝑘 න 0 2𝜋 ቤ 1 𝟒𝒄𝒐𝒔4𝝓 0 Τ 𝜋 4 𝑑𝜃 𝟐𝟒 𝟓 𝑘 ቚ 𝜃 0 2𝜋 𝑘 න 0 2𝜋 න 0 Τ 𝜋 4 𝟑𝟐 𝒔𝒆𝒏𝝓 𝟓 𝒄𝒐𝒔𝟓𝝓 𝒅𝝓𝑑𝜃 𝑢 𝒄𝒐𝒔𝝓 𝑑𝑢 𝒔𝒆𝒏𝝓𝒅𝝓 𝟖 𝟓 𝑘 න 0 2𝜋 4 1 𝑑𝜃 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝝆𝑐𝑜𝑠𝝓 𝝆𝑠𝑒𝑛𝝓𝑐𝑜𝑠𝜽 2 𝝆𝑠𝑒𝑛𝝓𝑠𝑒𝑛𝜽 2 𝝆𝑐𝑜𝑠𝝓 𝝆𝑠𝑒𝑛𝝓 2 𝑐𝑜𝑠2𝜽 𝑠𝑒𝑛2𝜽 1 𝝆𝑐𝑜𝑠𝝓 𝝆𝑠𝑒𝑛𝝓 tg𝝓 𝟏 𝝓45º 𝝓 𝝅 𝟒 y 2 x 𝝓 𝝓 𝑧 2 𝝆𝑐𝑜𝑠𝝓 2 𝝆2𝑠𝑒𝑐𝝓 Exemplo 2 COORDENDAS ESFÉRICAS Ache o centroide de um sólido hemisférico Q de raio 𝑎 e densidade constante Solução Representando o sólido Conceito de centro de massa ou centroide semi esfera de raio a O centro de massa é um ponto que se comporta como se toda a massa de um corpo estivesse concentrada sobre ele O seu cálculo depende da distribuição da massa do corpo ҧ𝑥 𝑀𝑦𝑧 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑄 𝛿𝑥𝑑𝑣 𝑄 𝛿𝑑𝑣 ത𝑦 𝑀𝑥𝑧 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑄 𝛿𝑦𝑑𝑣 𝑄 𝛿𝑑𝑣 ҧ𝑧 𝑀𝑥𝑦 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑄 𝛿𝑧𝑑𝑣 𝑄 𝛿𝑑𝑣 𝛿 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑆𝑒 𝛿 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ҧ𝑥 𝑀𝑦𝑧 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝛿 𝑄 𝑥𝑑𝑣 𝛿 𝑄 𝑑𝑣 𝑄 𝑥𝑑𝑣 𝑄 𝑑𝑣 𝑀𝑦𝑧 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ത𝑦 𝑀𝑥𝑧 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝛿 𝑄 𝑦𝑑𝑣 𝛿 𝑄 𝑑𝑣 𝑄 𝑦𝑑𝑣 𝑄 𝑑𝑣 𝑀𝑥𝑧 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ҧ𝑧 𝑀𝑥𝑦 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝛿 𝑄 𝑧𝑑𝑣 𝛿 𝑄 𝑑𝑣 𝑄 𝑧𝑑𝑣 𝑄 𝑑𝑣 𝑀𝑥𝑦 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 Se a figura admitir planos de simetria o centro de massa estará sobre esse plano Plano de simetria É um plano imaginário que divide a figura em duas metades simétricas ou seja cada uma das metades é a imagem num espelho da outra 5 a xy z y x a Densidade constante 𝛿 𝑘 Coordenadas Cartesianas 𝛿 𝑘 Coordenadas Esféricas 𝛿 𝑘 න 0 2𝜋 න 0 Τ 𝜋 2 න 0 𝑎 𝐹 𝜌 𝜃 𝜙 𝝆𝟐𝒔𝒆𝒏𝝓𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃 ҧ𝑧 𝑀𝑥𝑦 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑄 𝛿𝒛𝑑𝑣 𝑄 𝛿𝑑𝑣 𝑚 න 0 2𝜋 න 0 Τ 𝜋 2 න 0 𝑎 𝑘𝝆𝟐𝒔𝒆𝒏𝝓𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃 𝑘 න 0 2𝜋 න 0 Τ 𝜋 2 න 0 𝑎 𝝆𝟐𝒔𝒆𝒏𝝓𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃 𝑘 න 0 2𝜋 න 0 Τ 𝜋 2 อ 𝝆𝟑𝒔𝒆𝒏𝝓 𝟑 0 𝑎 𝑑𝜙𝑑𝜃 𝑘 𝒂𝟑 𝟑 න 0 2𝜋 න 0 Τ 𝜋 2 𝒔𝒆𝒏𝝓 𝑑𝜙𝑑𝜃 𝐺 00 3 8 𝑎 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑎2 𝝆𝟐 𝑎2 𝝓 𝝓 𝝆 𝑎 Plano de Simetria A figura admite infinitos planos de simetria verticais Os planos xOz e yOz são planos de simetria então o centroide da figura pertence a esses planos Plano de simetria xOz 𝑦 0 Plano de simetria yOz 𝑥 0 Coordenada do centroide 𝐺 00 𝑧 𝑘 𝒂𝟑 𝟑 න 0 2𝜋 ቚ 𝒄𝒐𝒔𝝓 0 Τ 𝜋 2 𝑑𝜃 𝑘 𝒂𝟑 𝟑 න 0 2𝜋 𝟎 𝟏 𝑑𝜃 𝑘 𝒂𝟑 𝟑 ቚ 𝜃 0 2𝜋 𝑘 𝒂𝟑 𝟑 2𝜋 𝑀𝑥𝑦 න 0 2𝜋 න 0 Τ 𝜋 2 න 0 𝑎 𝑘𝝆𝒄𝒐𝒔𝝓𝝆𝟐𝒔𝒆𝒏𝝓𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃 𝑘 න 0 2𝜋 න 0 Τ 𝜋 2 න 0 𝑎 𝝆𝟑𝒔𝒆𝒏𝝓𝒄𝒐𝒔𝝓𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃 𝑘 න 0 2𝜋 න 0 Τ 𝜋 2 อ 𝝆𝟒𝒔𝒆𝒏𝝓𝒄𝒐𝒔𝝓 𝟒 0 𝑎 𝑑𝜙𝑑𝜃 𝑘 𝒂𝟒 𝟒 න 0 2𝜋 න 0 Τ 𝜋 2 𝒔𝒆𝒏𝝓 𝑢 𝒄𝒐𝒔𝝓𝒅𝝓 𝒅𝒖 𝑑𝜃 𝑘 𝒂𝟒 𝟒 න 0 2𝜋 อ 𝒔𝒆𝒏2𝝓 2 0 Τ 𝜋 2 𝑑𝜃 𝑘 𝒂𝟒 𝟖 න 0 2𝜋 𝑑𝜃 𝑘 𝒂𝟒 𝟖 ቚ 𝜃 0 2𝜋 𝑘 𝒂𝟒 𝟖 2𝜋 𝑘 𝒂𝟒 𝟒 𝜋 ҧ𝑧 𝑘 𝒂𝟒 𝟒 𝜋 𝑘 𝒂𝟑 𝟑 2𝜋 3 8 𝑎 6 BONS ESTUDOS