Máximos e Mínimos de Funções de Duas Variáveis

MÁXIMOS E MÍNIMOS Equipe de Cálculo 2 Adilson Morais Eneida P Emery de Carvalho Luciana Chaves Barbosa VALORES MÁXIMO E MÍNIMO Olhe os picos e vales no gráfico de f mostrado na Figura 1 Existem dois pontos a b nos quais f tem um máximo local ou seja onde f a b é maior que os valores próximos de f x y O maior destes dois valores é o máximo absoluto Do mesmo modo f tem dois mínimos locais onde f a b é menor que os valores próximos O maior destes dois valores é o mínimo absoluto Figura 1 Se as inequações da Definição 1 valerem para todos os pontos x y do domínio de f então f tem um máximo absoluto ou mínimo absoluto em a b Um ponto a b é chamado de ponto crítico ou ponto estacionário de f se f x a b 0 e f y a b 0 ou se uma das derivadas parciais não existir O Teorema 2 diz que se f tem um máximo ou mínimo local em a b então a b é um ponto crítico de f No entanto como no cálculo variável único nem todos os pontos críticos originam máximos ou mínimos Em um ponto crítico a função pode ter um máximo local ou ainda nenhum dos dois Definição 1 Uma função de duas variáveis tem um máximo local em 𝑎 𝑏 se 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓𝑎 𝑏 quando 𝑥 𝑦 está próximo de 𝑎 𝑏 Isso significa que 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑎 𝑏 para todos os pontos 𝑥 𝑦 em alguns discos com centro 𝑎 𝑏 O número 𝑓𝑎 𝑏 é chamado de valor máximo local 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓𝑎 𝑏 quando 𝑥 𝑦 está próximo de 𝑎 𝑏 então 𝑓 tem um mínimo local em 𝑎 𝑏 e 𝑓 𝑎 𝑏 é um valor mínimo local Teorema 2 Se 𝒇 tem um máximo ou mínimo local em 𝒂 𝒃 e as derivadas parciais de primeira ordem de 𝒇existem nesses pontos então 𝒇𝒙 𝒂 𝒃 𝟎 𝒆𝒇𝒚 𝒂 𝒃 𝟎 EXEMPLO 1 Seja 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 2𝑥 6𝑦 14 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 2𝑥 2 𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 2𝑦 6 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 0 𝑥 1 𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 0 𝑦 3 𝑓 𝑥 𝑦 4 𝑥 1² 𝑦 3² 𝑥 1 2 0 𝑒 𝑦 3 2 0 𝑓 𝑥 𝑦 4 𝑥 𝑦 ℝ Logo f 1 3 4 é um mínimo local e de fato é o mínimo absoluto de f Isso pode ser confirmado geometricamente a partir do gráfico de f que é o paraboloide elíptico com vértice 1 3 4 mostrado na Figura 2 Ponto crítico 13 z x2 y2 2x 6y 14 Figura 2 O teste a seguir é análogo ao Teste da Segunda Derivada HESSEANO Hx0y0 No caso c o ponto a b é chamado ponto de sela de f e o gráfico de f cruza seu plano tangente em a b HESSEANO Hx0y0 ou Dx0y0 𝑯 𝒙𝟎 𝒚𝟎 𝑫 𝒙𝟎 𝒚𝟎 𝒇𝒙𝒙 𝒙𝟎 𝒚𝟎 𝒇𝒙𝒚 𝒙𝟎 𝒚𝟎 𝒇𝒚𝒙 𝒙𝟎 𝒚𝟎 𝒇𝒚𝒚 𝒙𝟎 𝒚𝟎 𝑯 𝒙𝟎 𝒚𝟎 𝑫 𝒙𝟎 𝒚𝟎 𝟎 𝒐 𝒕𝒆𝒔𝒕𝒆 𝒏ã𝒐 𝒑𝒐𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒅𝒐 𝑯 𝒙𝟎 𝒚𝟎 𝑫 𝒙𝟎 𝒚𝟎 𝟎 𝒆 𝒇𝒙𝒙 𝒙𝟎 𝒚𝟎 𝟎𝒇 𝒙𝟎 𝒚𝟎 é 𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝑯 𝒙𝟎 𝒚𝟎 𝑫 𝒙𝟎 𝒚𝟎 𝟎 𝒆 𝒇𝒙𝒙 𝒙𝟎 𝒚𝟎 𝟎𝒇 𝒙𝟎 𝒚𝟎 é 𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝑯 𝒙𝟎 𝒚𝟎 𝑫 𝒙𝟎 𝒚𝟎 𝟎 𝒇 𝒙𝟎 𝒚𝟎 é 𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒍𝒂 Exemplo 2 Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela de 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥4 𝑦4 4𝑥𝑦 1 SOLUCAO 𝑓𝑥 4𝑥3 4𝑦 0 𝑥3 𝑦 0 𝑦 𝑥³ 𝑓𝑦 4𝑦3 4𝑥 0 𝑦3 𝑥 0 Substituindo 𝑦 𝑥3 na 2ª equação temos 0 𝑥9 𝑥 𝑥 𝑥8 1 𝑥 𝑥4 1 𝑥4 1 𝑥 𝑥4 1 𝑥2 1 𝑥 1 𝑥 1 Logo 𝑥 0 1 1 Os três pontos críticos são 00 11 𝑒 1 1 𝑓𝑥𝑥 12𝑥2 𝑓𝑥𝑦 4 𝑓𝑦𝑦 12𝑦2 𝐷 𝑥 𝑦 12𝑥² 4 4 12𝑦² 144𝑥2𝑦2 16 𝐷 0 0 16 𝑇𝑆𝐷 00 é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑙𝑎 𝐷 1 1 128 0 𝑒 𝑓𝑥𝑥 1 1 12 0 𝑇𝑆𝐷 𝑓 11 1 é 𝑢𝑚 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 𝐷 1 1 128 0 𝑒 𝑓𝑥𝑥 1 1 12 0 𝑇𝑆𝐷 𝑓 1 1 1 é 𝑢𝑚 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙