Cálculo Diferencial e Integral III: Área de Superfície em Grafos

Exemplos de Área de Superfície Cálculo Diferencial e Integral III R y z S z f xy x S Exemplo 1 Seja R a região triangular no planoxy de vértices 00 01 e 11 Ache a área da superfície da porção do gráfico de 𝑧 3𝑥 𝑦2 que está acima de R Solução Representaremos o domínio R A00 B01 e C11 Marcação dos pontos A reta que passa pelos pontos A e C tem a equação yx Representação da região R න 0 1 න 𝑥 1 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 න 0 1 න 0 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑧 3𝑥 𝑦2 𝑧𝑥 3 𝑧𝑦 2𝑦 𝑧𝑥 2 3 2 𝑧𝑥 2 9 𝑧𝑦 2 2𝑦 2 𝑧𝑦 2 4 𝑦2 𝐴 𝑆 ඵ 𝑅 𝟗 4 𝑦2 1 𝑑𝐴 𝐴 𝑆 න 0 1 𝟏𝟎 4 𝑦2𝑦 0𝑑𝑦 𝐴 𝑆 ඵ 𝑅 𝑧𝑥 2 𝑧𝑦 2 1 𝑑𝐴 𝐴 𝑆 ඵ 𝑅 𝟏𝟎 4 𝑦2 𝑑𝐴 𝐴 𝑆 න 0 1 න 0 𝑦 𝟏𝟎 4 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 න 0 1 න 𝑥 1 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 න 0 1 න 0 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐴 𝑆 න 0 1 𝟏𝟎 4 𝑦2 න 0 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐴 𝑆 න 0 1 𝟏𝟎 4 𝑦2 𝑥 0 𝑦𝑑𝑦 𝐴 𝑆 න 0 1 𝟏𝟎 4 𝑦2 𝒚 𝒅𝒚 𝐴 𝑆 න 𝒖 𝟏 𝟖 𝒅𝒖 𝟏 𝟖 𝒖 Τ 𝟑 𝟐 Τ 𝟑 𝟐 𝐴 𝑆 ቤ 1 12 𝟏𝟎 4 𝑦2 Τ 𝟑 𝟐 0 1 𝐴 𝑆 14 Τ 3 2 10 Τ 3 2 12 𝑨 𝑺 𝟏 𝟕 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 á𝒓𝒆𝒂 𝑢 𝟏𝟎 4 𝑦2 𝑑𝑢 8𝒚𝒅𝒚 Exemplo 2 Encontre a área da superfície de 𝑧 𝑥2 𝑦2 cortada pelo plano 𝑧 4 Solução Representando o sólido Parabolóide circular Parabolóide limitado pelo Plano z 4 𝑥2 𝑦2 4 Interseção entre o parabolóide e o plano Domínio 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑧𝑥 2x 𝑧𝑦 2𝑦 𝑧𝑥 2 2𝑥 2 𝑧𝑥 2 4 𝑥2 𝑧𝑦 2 2𝑦 2 𝑧𝑦 2 4 𝑦2 𝐴 𝑆 ඵ 𝑅 4 𝑥2 4 𝑦2 1 𝑑𝐴 𝐴 𝑆 ඵ 𝑅 𝑧𝑥 2 𝑧𝑦 2 1 𝑑𝐴 𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑥 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑥2 𝑦2 𝑟2 𝑑𝐴 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 2 𝐴 𝑆 ඵ 𝑅 4𝑟2 1 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝐴 𝑆 න 0 2𝜋 න 0 2 𝟒𝒓𝟐 𝟏 𝒓𝒅𝒓𝑑𝜃 Coordenadas polares x y z 4 R 0 2 2 Domínio coord polar 𝐴 𝑆 න 0 2𝜋 𝟏 𝟖 𝒖 Τ 𝟑 𝟐 Τ 𝟑 𝟐 𝑑𝜃 න 0 2𝜋 ቤ 1 12 4𝑟2 1 Τ 𝟑 𝟐 0 2 𝑑𝜃 𝐴 𝑆 ඵ 𝑅 4 𝑥2 𝑦2 1 𝑑𝐴 𝐴 𝑆 න 0 2𝜋 17 Τ 3 2 1 Τ 3 2 12 𝑑𝜃 17 Τ 3 2 1 Τ 3 2 12 𝜃 0 2𝜋 𝐴 𝑆 17 Τ 3 2 1 Τ 3 2 12 2𝜋 𝟑𝟔 𝟏𝟖 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 á𝒓𝒆𝒂 𝑢 𝟒 𝒓𝟐 𝟏 𝑑𝑢 8𝒓𝒅𝒓 Exemplo 3 Encontre a área da superfície da calota do hemisférico 𝑥2 𝑦2 𝑧2 2 cortada pelo cilindro 𝑥2 𝑦2 1 Solução Representando o sólido sólido hemisférico Interseção entre a esfera e o cilindro 𝑥2 𝑦2 1 sólido hemisférico cilindro Domínio 𝑥2 𝑦2 𝑧2 2 𝑧 2 𝑥2 𝑦2 𝑧𝑥 2x 2 2 𝑥2 𝑦2 x 2 𝑥2 𝑦2 𝑧𝑦 2𝑦 2 2 𝑥2 𝑦2 𝑦 2 𝑥2 𝑦2 Coordenadas Polares 𝑧𝑥 2 x 2 𝑥2 𝑦2 2 𝑥2 2 𝑥2 𝑦2 𝑧𝑦 2 y 2 𝑥2 𝑦2 2 𝑦2 2 𝑥2 𝑦2 𝐴 𝑆 ඵ 𝑅 𝑧𝑥 2 𝑧𝑦 2 1 𝑑𝐴 ඵ 𝑅 𝑥2 2 𝑥2 𝑦2 𝑦2 2 𝑥2 𝑦2 1 𝑑𝐴 𝐴 𝑆 ඵ 𝑅 𝑧𝑥 2 𝑧𝑦 2 1 𝑑𝐴 𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑥 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑥2 𝑦2 𝑟2 𝑑𝐴 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 Domínio coord polar 𝐴 𝑆 ඵ 𝑅 2 2 𝑟2 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 න 0 2𝜋 න 2 𝟐 𝒖 𝒅𝒖𝑑𝜃 2 න 0 2𝜋 𝟏 𝟐 𝒖 Τ 𝟏 𝟐 Τ 𝟏 𝟐 𝑑𝜃 𝑢 𝟐 𝒓𝟐 𝑑𝑢 2𝒓𝒅𝒓 2 න 0 2𝜋 ฬ 𝟐 𝒓𝟐 Τ 𝟏 𝟐 0 1 𝑑𝜃 2 න 0 2𝜋 1 2 𝑑𝜃 2 2 𝜃 0 2𝜋 2 2 2𝜋 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 á𝒓𝒆𝒂 න 0 2𝜋 න 0 1 2 𝟐 𝒓𝟐 𝒓𝒅𝒓𝑑𝜃 ඵ 𝑅 𝑥2 𝑦2 2 𝑥2 𝑦2 2 𝑥2 𝑦2 𝑑𝐴 ඵ 𝑅 2 2 𝑥2 𝑦2 𝑑𝐴 ඵ 𝑅 2 2 𝑥2 𝑦2 𝑑𝐴 1 Exemplo 4 Encontre a área da superfície da parte do parabolóide 𝑧 𝑥2 𝑦2 que está no interior da esfera 𝑥2 𝑦2 𝑧2 6 Solução Representando o sólido Parabolóide ൝ 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑥2 𝑦2 𝑧2 6 𝑧 𝑧2 6 𝑧2 𝑧 6 0 𝑥2 𝑦2 2 esfera e parabolóide 𝑧 2 e 𝑧 3 Interseção entre a esfera e o parabolóide Domínio 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑧𝑥 2x 𝑧𝑦 2𝑦 𝑧𝑥 2 2𝑥 2 4 𝑥2 𝑧𝑦 2 2𝑦 2 4 𝑦2 𝐴 𝑆 ඵ 𝑅 4 𝑥2 4 𝑦2 1 𝑑𝐴 න 0 2𝜋 9 Τ 3 2 1 Τ 3 2 12 𝑑𝜃 𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑥 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑥2 𝑦2 𝑟2 𝑑𝐴 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝐴 𝑆 ඵ 𝑅 𝑧𝑥 2 𝑧𝑦 2 1 𝑑𝐴 𝐴 𝑆 ඵ 𝑅 4𝑟2 1 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 Coordenadas polares න 0 2𝜋 න 0 2 𝟒𝒓𝟐 𝟏 𝒓𝒅𝒓𝑑𝜃 න 0 2𝜋 න 𝒖 𝟏 𝟖 𝒅𝒖𝑑𝜃 𝑢 𝟒 𝒓𝟐 𝟏 𝑑𝑢 8𝒓𝒅𝒓 𝐴 𝑆 13 3 𝜋 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 á𝒓𝒆𝒂 ඵ 𝑅 4 𝑥2 𝑦2 1 𝑑𝐴 Domínio coord polar න 0 2𝜋 𝟏 𝟖 𝒖 Τ 𝟑 𝟐 Τ 𝟑 𝟐 𝑑𝜃 න 0 2𝜋 ቤ 1 12 4𝑟2 1 Τ 𝟑 𝟐 0 2 𝑑𝜃 9 Τ 3 2 1 12 𝜃 0 2𝜋 27 1 12 2𝜋 2