Exercícios de Integrais Triplas em Coordenadas Cartesianas

Exercícios Integrais triplas em Coordenadas Cartesianas 1Expresse a 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑣 𝐸 como uma integral iterada de seis modos diferentes onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas a 𝑦2 𝑧2 9 𝑥 2 𝑥 2 Solução Projeção de E no plano xy Observando o sólido E temos que E é limitado superiormente por 𝒛 𝟗 𝒚𝟐 e inferiormente por 𝑧 𝟗 𝒚𝟐 𝑑𝑉 𝐸 𝑓𝑥 𝑦 𝑧𝑑𝑧 𝟗𝒚𝟐 𝟗𝒚𝟐 𝑑𝐴 𝐷1 𝒇𝒙 𝒚 𝒛𝒅𝑽 𝑬 𝒇𝒙 𝒚 𝒛𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 𝟗𝒚𝟐 𝟗𝒚𝟐 𝟑 𝟑 2 2 𝒇𝒙 𝒚 𝒛𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 𝟗𝒚𝟐 𝟗𝒚𝟐 2 𝟐 3 3 Projeção de E no plano yz Observando o sólido E temos que E é limitado por trás por 𝒙 𝟐 e pela frente por 𝒙 𝟐 𝑑𝑉 𝐸 𝑓𝑥 𝑦 𝑧𝑑𝑥 𝟐 𝟐 𝑑𝐴 𝐷2 𝒇𝒙 𝒚 𝒛𝒅𝑽 𝑬 𝒇𝒙 𝒚 𝒛𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝟐 2 𝟗𝒛𝟐 𝟗𝒛𝟐 3 3 𝒇𝒙 𝒚 𝒛𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦 𝟐 𝟐 𝟗𝒚𝟐 𝟗𝒚𝟐 3 3 Projeção de E no plano xz Observando o sólido E temos que E é limitado pela esquerda por 𝒚 𝟗 𝒛𝟐 e pela direita por y 𝟗 𝒛𝟐 𝑑𝑉 𝐸 𝑓𝑥 𝑦 𝑧𝑑𝑦 𝟗𝒛𝟐 𝟗𝒛𝟐 𝑑𝐴 𝐷3 𝒇𝒙 𝒚 𝒛𝒅𝑽 𝑬 𝒇𝒙 𝒚 𝒛𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 𝟗𝒛𝟐 𝟗𝒛𝟐 𝟑 𝟑 2 2 𝒇𝒙 𝒚 𝒛𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 𝟗𝒛𝟐 𝟗𝒛𝟐 𝟐 𝟐 3 3 b 𝑦 4 𝑥2 4𝑧2 𝑦 0 Solução Projeção de E no plano xy Observando o sólido E temos que E é limitado superiormente por 𝒛 1 2 𝟒 𝒙𝟐 𝒚 e inferiormente por 𝑧 1 2 𝟒 𝒙𝟐 𝒚 𝑑𝑉 𝐸 𝑓𝑥 𝑦 𝑧𝑑𝑧 1 2𝟒𝒙𝟐𝒚 1 2𝟒𝒙𝟐𝒚 𝑑𝐴 𝐷1 𝒇𝒙𝒚 𝒛𝒅𝑽 𝑬 𝒇𝒙𝒚 𝒛𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 1 2𝟒𝒙𝟐𝒚 1 2𝟒𝒙𝟐𝒚 𝟒𝒙𝟐 𝟎 2 2 𝒇𝒙𝒚 𝒛𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 1 2𝟒𝒙𝟐𝒚 1 2𝟒𝒙𝟐𝒚 𝟒𝒚 𝟒𝒚 4 0 Projeção de E no plano yz Observando o sólido E temos que E é limitado por trás por 𝒙 𝟒 𝒚 𝟒𝒛𝟐 e pela frente por 𝒙 𝟒 𝒚 𝟒𝒛𝟐 𝑑𝑉 𝐸 𝑓𝑥 𝑦 𝑧𝑑𝑥 𝟒𝒚𝟒𝒛𝟐 𝟒𝒚𝟒𝒛𝟐 𝑑𝐴 𝐷2 𝒇𝒙 𝒚 𝒛𝒅𝑽 𝑬 𝒇𝒙 𝒚 𝒛𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝟒𝒚𝟒𝒛𝟐 𝟒𝒚𝟒𝒛𝟐 𝟒𝟒𝒛𝟐 0 1 1 𝒇𝒙 𝒚 𝒛𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦 𝟒𝒚𝟒𝒛𝟐 𝟒𝒚𝟒𝒛𝟐 1 2𝟒𝒚 1 2𝟒𝒚 4 0 Projeção de E no plano xz Observando o sólido E temos que E é limitado pela esquerda por 𝒚 0 e pela direita por y 𝟒 𝒙𝟐 𝟒𝒛𝟐 𝑑𝑉 𝐸 𝑓𝑥 𝑦 𝑧𝑑𝑦 𝟒𝒙𝟐𝟒𝒛𝟐 0 𝑑𝐴 𝐷3 𝒇𝒙 𝒚 𝒛𝒅𝑽 𝑬 𝒇𝒙 𝒚 𝒛𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 𝟒𝒙𝟐𝟒𝒛𝟐 0 1 2𝟒𝒙𝟐 1 2𝟒𝒙𝟐 2 2 𝒇𝒙 𝒚 𝒛𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 𝟒𝒙𝟐𝟒𝒛𝟐 𝟎 𝟒𝟒𝒛𝟐 𝟒𝟒𝒛𝟐 1 1 c 9𝑥2 4𝑦2 𝑧2 1 Solução Projeção de E no plano xy Observando o sólido E temos que E é limitado superiormente por 𝒛 𝟏 𝟗𝒙𝟐 𝟒𝒚𝟐 e inferiormente por 𝑧 𝟏 𝟗𝒙𝟐 𝟒𝒚𝟐 𝑑𝑉 𝐸 𝑓𝑥 𝑦 𝑧𝑑𝑧 𝟏𝟗𝒙𝟐𝟒𝒚𝟐 𝟏𝟗𝒙𝟐𝟒𝒚𝟐 𝑑𝐴 𝐷1 𝒇𝒙𝒚 𝒛𝒅𝑽 𝑬 𝒇𝒙𝒚 𝒛𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 𝟏𝟗𝒙𝟐𝟒𝒚𝟐 𝟏𝟗𝒙𝟐𝟒𝒚𝟐 1 2𝟏𝟗𝒙𝟐 1 2𝟏𝟗𝒙𝟐 1 3 1 3 𝒇𝒙𝒚 𝒛𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 𝟏𝟗𝒙𝟐𝟒𝒚𝟐 𝟏𝟗𝒙𝟐𝟒𝒚𝟐 1 3𝟏𝟒𝒚𝟐 1 3𝟏𝟒𝒚𝟐 1 2 1 2 Projeção de E no plano yz Observando o sólido E temos que E é limitado por trás por 𝒙 1 3 𝟏 𝟒𝒚𝟐 𝒛𝟐 e pela frente por 𝒙 1 3 𝟏 𝟒𝒚𝟐 𝒛𝟐 𝑑𝑉 𝐸 𝑓𝑥 𝑦 𝑧𝑑𝑥 1 3𝟏𝟒𝒚𝟐𝒛𝟐 1 3𝟏𝟒𝒚𝟐𝒛𝟐 𝑑𝐴 𝐷2 𝒇𝒙 𝒚 𝒛𝒅𝑽 𝑬 𝒇𝒙 𝒚 𝒛𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦 1 3𝟏𝟒𝒚𝟐𝒛𝟐 1 3𝟏𝟒𝒚𝟐𝒛𝟐 𝟏𝟒𝒚𝟐 𝟏𝟒𝒚𝟐 1 2 1 2 𝒇𝒙 𝒚 𝒛𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 1 3𝟏𝟒𝒚𝟐𝒛𝟐 1 3𝟏𝟒𝒚𝟐𝒛𝟐 1 2𝟏𝒛𝟐 1 2𝟏𝒛𝟐 1 1 Projeção de E no plano xz Observando o sólido E temos que E é limitado pela esquerda por 𝒚 1 2 𝟏 𝟗𝒙𝟐 𝒛𝟐 e pela direita por y 1 2 𝟏 𝟗𝒙𝟐 𝒛𝟐 𝑑𝑉 𝐸 𝑓𝑥 𝑦 𝑧𝑑𝑦 1 2𝟏𝟗𝒙𝟐𝒛𝟐 1 2𝟏𝟗𝒙𝟐𝒛𝟐 𝑑𝐴 𝐷3 𝒇𝒙 𝒚 𝒛𝒅𝑽 𝑬 𝒇𝒙 𝒚 𝒛𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 1 2𝟏𝟗𝒙𝟐𝒛𝟐 1 2𝟏𝟗𝒙𝟐𝒛𝟐 𝟏𝟗𝒙𝟐 𝟏𝟗𝒙𝟐 1 3 1 3 𝒇𝒙 𝒚 𝒛𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 1 2𝟏𝟗𝒙𝟐𝒛𝟐 1 2𝟏𝟗𝒙𝟐𝒛𝟐 1 3𝟏𝒛𝟐 1 3𝟏𝒛𝟐 1 1 2 Calcule a integral tripla 𝑥2𝑒𝑦 𝑑𝑣 𝐸 onde E é limitado pelo cilindro parabólico 𝑧 1 𝑦2 e pelos planos 𝑥 1 𝑥 1 𝑒 𝑧 0 Solução Esboço do sólido Observando a figura temos que E é limitado superiormente por 𝒛 𝟏 𝒚𝟐 e inferiormente por 𝒛 𝟎 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 𝒙𝒚 A região D a projeção de E sobre o plano xy é o quadrado 𝟏 𝒙 𝟏 𝟏 𝒚 𝟏 𝑥2𝑒𝑦 𝑑𝑉 𝐸 𝑥2𝑒𝑦𝑑𝑧 1𝑦2 0 𝑑𝐴 𝐷 𝑥2𝑒𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 1𝑦2 0 1 1 1 1 𝑥2𝑒𝑦 1 1 1 1 𝑧0 1𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥2𝑒𝑦 1 1 1 𝑦2 1 1 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥2 1 1 𝑒𝑦 𝑒𝑦𝑦2 1 1 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥3 3 1 1 𝑒𝑦 𝑒𝑦𝑦2 1 1 𝑑𝑦 2 3 𝑒𝑦 𝑒𝑦𝑦2 1 1 𝑑𝑦 2 3 𝑒𝑦 𝑒𝑦𝑦2 2𝑦 2 1 1 8 3𝑒 𝑒𝑦𝑦2 𝑑𝑦 𝑒𝑦𝑦2 2 𝑒𝑦𝑦 𝑑𝑦 𝑒𝑦𝑦2 2 𝑒𝑦𝑦 𝑒𝑦 𝑑𝑦 𝑒𝑦𝑦2 2𝑒𝑦𝑦 2𝑒𝑦 𝑒𝑦𝑦2 2𝑦 2 𝑢 𝑦2 𝑑𝑢 2𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑣 𝑒𝑦 𝑑𝑦 𝑣 𝑒𝑦 𝑢 𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑣 𝑒𝑦 𝑑𝑦 𝑣 𝑒𝑦 3 Utilize a integral tripla para calcular o volume do sólido dado a O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano 2x 𝑦 𝑧 4 Solução Esboço do sólido Observando a figura temos que E é limitado superiormente por 𝒛 𝟒 𝟐𝒙 𝒚 e inferiormente por 𝒛 𝟎 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 𝒙𝒚 A região D a projeção de E sobre o plano xy é o triângulo representado na figura 𝑉 𝑑𝑉 𝐸 𝑑𝑧 42𝑥𝑦 0 𝑑𝐴 𝐷 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 42𝑥𝑦 0 42𝑥 0 2 0 𝑉 4 2𝑥 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 42𝑥 0 2 0 4𝑦 2𝑥𝑦 𝑦2 2 0 42𝑥 𝑑𝑥 2 0 44 2𝑥 2𝑥4 2𝑥 4 2𝑥2 2 𝑑𝑥 2 0 2𝑥2 8𝑥 8 𝑑𝑥 2 0 2𝑥3 3 8 𝑥2 2 8𝑥 0 2 16 3 𝑢𝑣 4 y 2 x b O sólido limitado pelo cilindro 𝑥2 𝑦2 9 e pelos planos 𝑦 𝑧 5 𝑒 𝑧 1 Solução Esboço do sólido Observando a figura temos que E é limitado superiormente por 𝒛 𝟓 𝒚 e inferiormente por 𝒛 𝟏 A projeção de E no plano xy região D é a circunferência 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝟗 𝑉 𝑑𝑉 𝐸 𝑑𝑧 5𝑦 1 𝑑𝐴 𝐷 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 5𝑦 1 𝟗𝒙𝟐 𝟗𝒙𝟐 3 3 4 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝟗𝒙𝟐 𝟗𝒙𝟐 3 3 Podemos resolver a integral acima com o auxílio das coordenadas polares 𝑥 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑥2 𝑦2 𝑟2 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 V 4 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝟑 𝟎 2𝜋 0 4𝑟 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝟑 𝟎 2𝜋 0 V 4 𝑟2 2 𝑟3𝑠𝑒𝑛𝜃 3 0 3 𝑑𝜃 18 9𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 2𝜋 0 2𝜋 0 36𝜋 𝑢𝑣 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝟗 𝟗 𝒙𝟐 𝒚 𝟗 𝒙𝟐 𝟑 𝒙 𝟑 y x