Plano Tangente e Aproximação Linear

PLANO TANGENTE E APROXIMAÇÃO LINEAR Equipe de Cálculo 2 Adilson Morais Eliza H Sadaike Eneida P Emery de Carvalho Luciana Chaves Barbosa PLANO TANGENTE E APROXIMAÇÃO LINEAR Seja 𝑆 uma superfície de 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 onde 𝑓𝑥𝑒 𝑓𝑦 sejam contínuas e 𝑃𝑥0 𝑦0 um ponto em 𝑆 Definição Plano tangente é o plano que contém as retas tangentes 𝑇1 𝑒 𝑇2 e todas as tangentes das curvas contidas em 𝑆 que passa por 𝑃 é o plano que melhor aproxima a superfície S perto do ponto 𝑷 Em GAV vimos equação do plano 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐𝑧 0 qualquer plano passando pelo ponto 𝑃 𝑥0 𝑦0 𝑧0 tem eq da forma 𝐴 𝑥 𝑥0 𝐵 𝑦 𝑦0 𝐶 𝑧 𝑧0 0 𝐶 𝐴 𝐶 𝑥 𝑥0 𝐵 𝐶 𝑦 𝑦0 𝑧 𝑧0 0 𝑧 𝑧0 𝐴 𝐶 𝑥 𝑥0 𝐵 𝐶 𝑦 𝑦0 𝒛 𝒛𝟎 𝒂 𝒙 𝒙𝟎 𝒃 𝒚 𝒚𝟎 Se 𝑦 𝑦0 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑧𝑧0 𝑥𝑥0 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 Se x 𝑥0 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑏 𝑧𝑧0 𝑦𝑦0 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 Equação do plano tangente 𝑧 𝑧0 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥0 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑦0 Equações paramétricas da reta normal reta normal é a reta que passa por P e é perpendicular ao plano tangente 𝑥 𝑥0 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 𝜆 𝑦 𝑦0 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 𝜆 𝑧 𝑧0 𝜆 com 𝜆 𝑅 EX 1 Determine o plano tangente ao paraboloide elíptico 𝑧 2𝑥2 𝑦² no ponto 113 𝑓𝑥 4𝑥 𝑓𝑥 41 4 e 𝑓𝑦 2𝑦 𝑓𝑦 21 2 Equação do plano tangente 𝑧 𝑧0 𝑓𝑥 𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥0 fyx0 𝑦0𝑦 𝑦0 𝑧 3 4 𝑥 1 2 𝑦 1 𝒛 𝟒𝒙 𝟐𝒚 𝟑 Equação da reta normal 𝒏 𝟒 𝟐 𝟏 ቐ 𝒙 𝟏 𝟒𝝀 𝒚 𝟏 𝟐𝝀 𝒛 𝟑 𝝀 𝝀 𝑹 Ex 2 Determine por um ponto 𝑃0 as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função 𝑨 𝒇 𝒙 𝒚 𝟐𝒙𝟐 𝟑𝒚𝟐 𝒆𝒎 𝑷𝟎 𝟏 𝟏 𝒛𝟎 𝑧0 2 12 3 12 1 𝐿𝑜𝑔𝑜 𝑃0 11 1 𝑓𝑥 4𝑥 𝑓𝑥 41 4 𝑓𝑦 6𝑦 𝑓𝑦 61 6 Equação do plano tangente 𝑧 𝑧0 𝑓𝑥 𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥0 fyx0 𝑦0𝑦 𝑦0 𝑧 1 4 𝑥 1 6 𝑦 1 𝒛 𝟒𝒙 𝟔𝒚 𝟏 𝒇 𝒙 𝒚 𝟐𝒙𝟐 𝟑𝒚𝟐 𝒆𝒎 𝑷𝟎 𝟏 𝟏 𝒛𝟎 Reta normal Temos o vetor diretor 𝑛 4 6 1 ቐ 𝑥 1 4𝜆 𝑦 1 6 𝜆 𝑧 1 𝜆 𝝀 𝑹 B 3𝑥2 4 3𝑦2 𝑧2 12 no ponto 𝑃0 21 6 Implícita 𝐹 𝑥 𝑦 𝑧 3𝑥2 4 3𝑦2 𝑧2 12 𝐹𝑥 3 2 𝑥 𝐹𝑦 6𝑦 𝐹𝑧 2𝑧 𝑧 𝑥 Fx Fz 3 2 𝑥 2𝑧 3𝑥 4𝑧 𝑧 𝑥 21 6 6 4 𝑧 𝑦 Fy Fz 6𝑦 2𝑧 3𝑦 𝑧 𝑧 𝑦 21 6 6 2 Eq Plano tangente 𝒛 𝟔 𝟔 𝟒 𝒙 𝟐 𝟔 𝟐 𝒚 𝟏 LINEARIZAÇÃO OU APROXIMAÇÃO LINEAR No Exemplo 1 descobrimos que uma equação do plano tangente ao gráfico da função fx y 2x² y² no ponto 1 1 3 é z 4x 2y 3 Portanto em vista da evidência visual nas Figuras 2 e 3 a função linear de duas variáveis Lx y 4x 2y 3 é uma boa aproximação de fx y quando x y está próximo de 1 1 A função L é chamada linearização de f em 1 1 e a aproximação fx y 4x 2y 3 é denominada aproximação linear ou aproximação pelo plano tangente de f em 1 1 Por exemplo no ponto 11 095 a aproximação linear fornece 𝑓 11 095 4 11 2 095 3 33 Que está bastante próximo do valor verdadeiro de 𝑓 11 095 2 11 2 095² 3223 Mas para um ponto longe de 11 por exemplo 23 não temos uma boa aproximação 𝐿 23 11 𝑒 𝑓 23 17 A função linear cujo gráfico é o plano tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto 𝑎 𝑏 𝑓 𝑎 𝑏 a saber 𝐿 𝑥 𝑦 𝑓 𝑎 𝑏 𝑓𝑥 𝑎 𝑏 𝑥 𝑎 𝑓𝑦𝑎 𝑏𝑦 𝑏 é chamada linearização de 𝑓 em 𝑎 𝑏 e aproximação linear 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑎 𝑏 𝑓𝑥 𝑎 𝑏 𝑥 𝑎 𝑓𝑦𝑎 𝑏𝑦 𝑏 é chamada aproximação linear ou aproximação pelo plano tangente de 𝑓 𝑒𝑚 𝑎 𝑏 REFERÊNCIAS GUIDORIZZI H L Um Curso de Cálculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 2013 v2 STEWART J Cálculo 8 ed São Paulo Cengage Learning 2017 v2 THOMAS JR G B WEIR M D HASS J GIORDANO F R Cálculo 11 ed São Paulo Pearson Education 2011v1