Exercícios sobre a Regra da Cadeia em Cálculo

REGRA DA CADEIA Equipe de Cálculo 2 Adilson Morais Eneida P Emery de Carvalho Luciana Chaves Barbosa EXERCÍCIOS E GABARITO EXERCÍCIO 1 O comprimento l a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo Em um determinado momento as dimensões são l1 m e wh 2 m l e w estão aumentando em uma taxa de 2ms enquanto h está decrescendo em uma taxa de 3ms Nesse instante encontre as taxas em que as seguintes quantidades estão variando a O volume b A área da superfície c O comprimento da diagonal a Volume 𝑉 𝑙𝑤ℎ aplicando a Regra da Cadeia 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝑉 𝑙 𝑑𝑙 𝑑𝑡 𝑉 𝑤 𝑑𝑤 𝑑𝑡 𝑉 ℎ 𝑑ℎ 𝑑𝑡 𝑉 𝑙 𝑤ℎ 224 𝑉 𝑤 𝑙ℎ 12 2 𝑉 ℎ 𝑙𝑤 12 2 𝑑𝑙 𝑑𝑡 𝑑𝑤 𝑑𝑡 2 Τ 𝑚 𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑ℎ 𝑑𝑡 3 Τ 𝑚 𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑉 𝑑𝑡 4 4 2 2 2 3 6 𝑚3 𝑠 b Área da Superfície 𝑆 2𝑙𝑤 𝑙ℎ 𝑤ℎ aplicando a Regra da Cadeia 𝑑𝑆 𝑑𝑡 𝑆 𝑙 𝑑𝑙 𝑑𝑡 𝑆 𝑤 𝑑𝑤 𝑑𝑡 𝑆 ℎ 𝑑ℎ 𝑑𝑡 𝑆 𝑙 2𝑤 ℎ 8 𝑆 𝑤 2𝑙 ℎ 6 𝑆 ℎ 2𝑙 𝑤 6 𝑑𝑆 𝑑𝑡 8 2 6 2 6 3 10 Τ 𝑚2 𝑠 c Comprimento da diagonal 𝐿2 𝑙2 𝑤2 ℎ2 𝐿 𝑙2 𝑤2 ℎ2 aplicando a Regra da Cadeia 𝑑𝐿 𝑑𝑡 𝐿 𝑙 𝑑𝑙 𝑑𝑡 𝐿 𝑤 𝑑𝑤 𝑑𝑡 𝐿 ℎ 𝑑ℎ 𝑑𝑡 𝐿 𝑙 2𝑙 2 𝑙2𝑤2ℎ2 𝑙 𝑙2𝑤2ℎ2 1 3 𝐿 𝑤 𝑤 𝑙2𝑤2ℎ2 2 3 𝐿 ℎ ℎ 𝑙2𝑤2ℎ2 2 3 𝑑𝐿 𝑑𝑡 1 3 2 2 3 2 2 3 3 0 EXERCÍCIO 2 Um lado de um triângulo está aumentando em uma taxa de 3 cms e um segundo lado está decrescendo em uma taxa de 2 cms Se a área do triângulo permanece constante a que taxa varia o ângulo entre os lados quando o primeiro lado tem 20 cm de comprimento o segundo lado tem 30 cm de comprimento e o ângulo é 𝜋 6 𝐴 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃 2 x20cm e y 30 cm aplicando a Regra da Cadeia 𝑑𝐴 𝑑𝑡 𝐴 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝐴 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝐴 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 3 Τ 𝑚 𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑦 𝑑𝑡 2 Τ 𝑚 𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝐴 𝑑𝑡 0 á𝑟𝑒𝑎 é 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐴 𝑥 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃 2 30𝑠𝑒𝑛𝜋 6 2 15 2 𝐴 𝑦 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜃 2 20𝑠𝑒𝑛𝜋 6 2 5 𝐴 𝜃 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃 2 2030𝑐𝑜𝑠𝜋 6 2 150 3 𝑑𝐴 𝑑𝑡 0 15 2 3 52 150 3 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝑡 1 12 3 0048 𝑟𝑎𝑑𝑠 x y 𝜃 ysen𝜃 EXERCÍCIO 3 Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas 𝑎 𝑤 𝑥𝑦 𝑦𝑧 𝑥𝑧 𝑥 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑧 𝑟𝜃 𝑤 𝑟 𝑤 𝜃 quando 𝑟 2 𝜃 𝜋 2 𝒘 𝒓 𝒘 𝒙 𝒙 𝒓 𝒘 𝒚 𝒚 𝒓 𝒘 𝒛 𝒛 𝒓 𝒚 𝒛 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒙 𝒛 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒚 𝒙𝜽 𝒘 𝜽 𝒘 𝒙 𝒙 𝜽 𝒘 𝒚 𝒚 𝜽 𝒘 𝒛 𝒛 𝜽 𝒚 𝒛 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒙 𝒛 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒚 𝒙𝒓 Quando 𝒓 𝟐 e 𝜽 𝝅 𝟐 ቐ 𝒙 𝟎 𝒚 𝟐 𝒛 𝝅 Logo 𝒘 𝒓 𝟐 𝝅 𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟐 𝟎 𝝅 𝒔𝒆𝒏 𝝅 𝟐 𝟐 𝟎 𝝅 𝟐𝝅 𝒘 𝜽 𝟐 𝝅 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝝅 𝟐 𝟎 𝝅 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐𝝅 𝑏 𝑁 𝑝𝑞 𝑝𝑟 𝑝 𝑢 𝑣𝑤 𝑞 𝑣 𝑢𝑤 𝑟 𝑤 𝑢𝑣 𝑁 𝑢 𝑁 𝑣 𝑁 𝑤 quando 𝑢 2 𝑣 3 𝑤 4 𝑵 𝒖 𝑵 𝒑 𝒑 𝒖 𝑵 𝒒 𝒒 𝒖 𝑵 𝒓 𝒓 𝒖 𝒑𝒓 𝟏 𝒑𝒒 𝟏 𝒑𝒓 𝟐 𝟏 𝒑𝒓 𝟏 𝒑𝒒 𝟎 𝒑𝒓 𝟐 𝒘 𝒑𝒓 𝟎 𝒑𝒒 𝟏 𝒑𝒓 𝟐 𝒗 𝒓𝒒 𝒑𝒓 𝒘 𝒑𝒒 𝒗 𝒑𝒓 𝟐 𝑵 𝒗 𝑵 𝒑 𝒑 𝒗 𝑵 𝒒 𝒒 𝒗 𝑵 𝒓 𝒓 𝒗 𝒓𝒒 𝟏 𝒑𝒓 𝟐 𝒘 𝒑𝒓 𝒑𝒓 𝟐 𝟏 𝒑𝒒 𝒑𝒓 𝟐 𝒖 𝒓𝒒 𝒘 𝒑𝒓 𝒑𝒒 𝒖 𝒑𝒓 𝟐 𝑵 𝒘 𝑵 𝒑 𝒑 𝒘 𝑵 𝒒 𝒒 𝒘 𝑵 𝒓 𝒓 𝒘 𝒓𝒒 𝒑𝒓 𝟐 𝒗 𝒑𝒓 𝒑𝒓 𝟐 𝒖 𝒑𝒒 𝒑𝒓 𝟐 𝟏 𝒓𝒒 𝒗 𝒑𝒓 𝒖 𝒑𝒒 𝒑𝒓 𝟐 Quando 𝒖 𝟐 𝒗 𝟑 e 𝒘 𝟒 ቐ 𝒑 𝟏𝟒 𝒒 𝟏𝟏 𝒓 𝟏𝟎 𝑵 𝒖 𝟏 𝟐𝟒 𝟒 𝟐𝟓 𝟑 𝟐𝟒 𝟐 𝟐𝟎 𝟓𝟕𝟔 𝟓 𝟏𝟒𝟒 𝑵 𝒗 𝟏 𝟒 𝟐𝟒 𝟐𝟓 𝟐 𝟐𝟒 𝟐 𝟑𝟎 𝟓𝟕𝟔 𝟓 𝟗𝟔 𝑵 𝒘 𝟏 𝟑 𝟐𝟒 𝟐 𝟐𝟓 𝟐𝟒 𝟐 𝟐𝟎 𝟓𝟕𝟔 𝟓 𝟏𝟒𝟒