Exercícios e Gabarito de Cálculo Diferencial

DIFERENCIAL Equipe de Cálculo 2 Adilson Morais Eliza H Sadaike Eneida P Emery de Carvalho Luciana Chaves Barbosa EXERCÍCIOS E GABARITO EXERCÍCIO 1 Se 𝑧 5𝑥2 𝑦2 e xy varia de 12 a 10521 compare os valores de 𝑧 e 𝑑𝑧 Solução 𝑑𝑧 𝑓𝑥𝑥0𝑦0𝑑𝑥 𝑓𝑦𝑥0𝑦0𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑥0 105 1 005 𝑑𝑦 𝑦 𝑦 𝑦0 21 2 01 𝑓𝑥 10𝑥 𝑓𝑥 12 10 𝑓𝑦 2𝑦 𝑓𝑦 12 4 𝑑𝑧 10 005 4 01 09 𝑧 𝑓 105 21 𝑓 12 5 105 2 21 2 5 1 2 2 2 09225 Observe que 𝑧 𝑑𝑧 EXERCÍCIO 2 O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm e 24 cm respectivamente com um erro na medida de no máximo 01 cm Utilize as diferenciais para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo Solução Área do retângulo comprimento largura A xy 𝑑𝐴 𝐴𝑥0𝑦0 𝑥 𝑑𝑥 𝐴𝑥0𝑦0 𝑦 𝑑𝑦 𝑦𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 01 dA 2401 3001 54 cm2 O erro máximo cometido no cálculo da área é de 54 cm2 EXERCÍCIO 3 A tensão 𝑇 no cordel do ioiô na figura é 𝑇 𝑚𝑔𝑅 2𝑟2𝑅2 onde 𝑚 é a massa do ioiô e 𝑔 é a aceleração pela gravidade Utilize as diferenciais para estimar a variação na tensão se 𝑅 aumentar de 3 cm para 31 cm e 𝑟 aumentar de 07 cm para 08 cm A tensão aumenta ou decresce Solução 𝑑𝑇 𝑇 𝑅 𝑑𝑅 𝑇 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑅 𝑅𝑅0 31 3 01 𝑑𝑟 𝑟𝑟0 08 07 01 𝑇 𝑅 𝑚𝑔 2𝑟2𝑅2 𝑚𝑔𝑅2𝑅 2𝑟2𝑅2 2 𝑚𝑔 2𝑟2𝑅2 2𝑟2𝑅2 2 𝑇 𝑟 𝑚𝑔𝑅4𝑟 2𝑟2𝑅2 2 4𝑚𝑔𝑅𝑟 2𝑟2𝑅2 2 𝑑𝑇 𝑇 𝑅 𝑑𝑅 𝑇 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑇 𝑚𝑔 2𝑟2𝑅2 2𝑟2𝑅2 2 𝑑𝑅 4𝑚𝑔𝑅𝑟 2𝑟2𝑅2 2 𝑑𝑟 𝑑𝑇 𝑚𝑔 2 07 232 2 07 232 2 01 4𝑚𝑔 3 07 2 07 2𝑅2 2 01 𝑑𝑇 00165𝑚𝑔 Como o sinal é negativo de 𝒅𝑻 a tensão decresce EXERCÍCIO 4 Se 𝑅é a resistência equivalente de três resistores conectados em paralelo com resistências 𝑅1 𝑅2e 𝑅3 então 1 𝑅 1 𝑅1 1 𝑅2 1 𝑅3 Se as resistências são medidas em ohms como 𝑅1 25Ω 𝑅2 40Ω e 𝑅3 50Ω com margem de erro de 05 em cada uma estime o erro máximo no valor calculado de 𝑅 Solução 𝑑𝑅 𝑅 𝑅1 𝑑𝑅1 𝑅 𝑅2 𝑑𝑅2 𝑅 𝑅3 𝑑𝑅3 𝑑𝑅1 05 100 𝑅1 0125 𝑑𝑅2 05 100 𝑅2 02 𝑑𝑅3 05 100 𝑅3 025 1 𝑅 1 𝑅1 1 𝑅2 1 𝑅3 R1176Ω Dica 1 𝑅 1 𝑅1 1 𝑅2 1 𝑅3 𝑅 𝑓𝑅1 𝑅2 𝑅3 1 1 𝑅1 1 𝑅2 1 𝑅3 EXERCÍCIO 4 𝑑𝑅 𝑅 𝑅1 𝑑𝑅1 𝑅 𝑅2 𝑑𝑅2 𝑅 𝑅3 𝑑𝑅3 𝑑𝑅 𝑅2 𝑅12 𝑑𝑅1 𝑅2 𝑅22 𝑑𝑅2 𝑅2 𝑅32 𝑑𝑅3 𝑑𝑅 11762 252 0125 11762 402 02 11762 502 025 𝑑𝑅 002766 001729 001383 005878Ω 𝑅 𝑅1 1 1 𝑅1 1 𝑅2 1 𝑅3 2 1 𝑅12 𝑅2 𝑅12 11762 252 𝑅 𝑅2 1 1 𝑅1 1 𝑅2 1 𝑅3 2 1 𝑅22 𝑅2 𝑅22 11762 402 𝑅 𝑅3 1 1 𝑅1 1 𝑅2 1 𝑅3 2 1 𝑅22 𝑅2 𝑅32 11762 502