Máximo e Mínimo com Multiplicadores de Lagrange - Exercícios e Gabarito

MÁXIMO E MÍNIMO E MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Equipe de Cálculo 2 Adilson Morais Eneida P Emery de Carvalho Luciana Chaves Barbosa EXERCÍCIOS E GABARITO EXERCÍCIO 1 Determine os valores de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função a 𝒇 𝒙 𝒚 𝟑𝒙 𝒙𝟑 𝟐𝒚𝟐 𝒚𝟒 𝑓𝑥 3 3𝑥2 𝑓𝑦 4𝑦 4𝑦3 Ponto crítico 𝑓𝑥 0 𝑒 𝑓𝑦 0 𝑓𝑥 0 3 𝑥2 𝑥 1 𝑒 𝑥 1 𝑓𝑦 0 4𝑦 4𝑦3 𝑦 1 𝑦2 0 𝑦 0 𝑦 1 𝑒 𝑦 1 Pontos críticos 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 𝑓𝑥𝑥 6𝑥 𝑓𝑦𝑦 4 12𝑦2 𝑓𝑥𝑦 0 𝑓𝑦𝑥 0 𝐻 𝑥 𝑦 6𝑥 0 0 4 12𝑦2 24𝑥 72𝑥𝑦2 a 𝒇 𝒙 𝒚 𝟑𝒙 𝒙𝟑 𝟐𝒚𝟐 𝒚𝟒 Pontos críticos 𝐻 𝑥 𝑦 24𝑥 72𝑥𝑦2 𝑓𝑥𝑥 6𝑥 Conclusão 10 24 6 Hxy0 e fxx0 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 11 48 Hxy0 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑙𝑎 11 48 Hxy0 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑙𝑎 10 24 Hxy0 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑙𝑎 11 48 6 Hxy0 e fxx0 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 11 48 6 Hxy0 e fxx0 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑪𝒖𝒓𝒗𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒏í𝒗𝒆𝒍 𝒇 𝒙 𝒚 𝟑𝒙 𝒙𝟑 𝟐𝒚𝟐 𝒚𝟒 EXERCÍCIO 1 Determine os valores de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função b 𝒇 𝒙 𝒚 𝒙𝟑𝒚 𝟏𝟐𝒙𝟐 𝟖𝒚 𝑓𝑥 3𝑥2𝑦 24𝑥 𝑓𝑦 𝑥3 8 Ponto crítico 𝑓𝑥 0 𝑒 𝑓𝑦 0 𝑓𝑦 0 𝑥3 8 𝑥 2 𝑓𝑥 0 3𝑥2𝑦 24𝑥 𝑥2 𝑦 4 Ponto crítico 2 4 𝑓𝑥𝑥 6𝑥𝑦 24 𝑓𝑦𝑦 0 𝑓𝑥𝑦 3𝑥2 𝑓𝑦𝑥 3𝑥2 𝐻 2 4 24 12 12 0 144 0 𝐻 2 4 0 2 4 é 𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑙𝑎 EXERCÍCIO 1 Determine os valores de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função c 𝒇 𝒙 𝒚 𝒚𝒆𝒙 𝟏 𝑓𝑥 𝑦𝑒𝑥 𝑓𝑦 𝑒𝑥 1 Ponto crítico 𝑓𝑥 0 𝑒 𝑓𝑦 0 𝑓𝑦 0 𝑒𝑥 1 𝑥 0 𝑓𝑥 0 𝑦𝑒𝑥𝑥0 𝑦 0 Ponto crítico 0 0 𝑓𝑥𝑥 𝑦𝑒𝑥 𝑓𝑦𝑦 0 𝑓𝑥𝑦 𝑒𝑥 𝑓𝑦𝑥 𝑒𝑥 𝐻 00 0 1 1 0 1 0 𝐻 00 0 00 é 𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑙𝑎 EXERCÍCIO 2 Determine a menor distância entre o ponto 203 e o plano 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑑 𝑥 2 2 𝑦 0 2 𝑧 3 2 𝑑2 𝑥 2 2 𝑦 0 2 𝑧 3 2 e 𝑧 1 𝑥 𝑦 𝑑2 𝑥 2 2 𝑦 0 2 1 𝑥 𝑦 3 2 𝑓𝑥 𝑦 𝑥 2 2 𝑦 0 2 𝑥 𝑦 4 2 𝑓𝑥 2 𝑥 2 2 𝑥 𝑦 4 1 4𝑥 2𝑦 12 𝑓𝑦 2𝑦 2 𝑥 𝑦 4 1 4𝑦 2𝑥 8 Ponto crítico 𝑓𝑥 0 𝑒 𝑓𝑦 0 ቊ4𝑥 2𝑦 12 0 2𝑥 4𝑦 8 0 ቊ4𝑥 2𝑦 12 2𝑥 4𝑦 8 𝑥 8 3 𝑒 𝑦 2 3 𝑧 1 𝑥 𝑦 1 8 3 2 3 7 3 Ponto crítico 8 3 2 3 7 3 Verificando 𝑓𝑥 4𝑥 2𝑦 12 𝑓𝑦 4𝑦 2𝑥 8 𝑓𝑥𝑥 4 𝑓𝑦𝑥 2 𝑓𝑥𝑦 2 𝑓𝑦𝑦 4 𝐻 8 3 2 3 4 2 2 4 16 0 𝐻 8 3 2 3 0 𝑒 𝑓𝑥𝑥 4 0 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝒅 𝒙 𝟐 𝟐 𝒚 𝟎 𝟐 𝒛 𝟑 𝟐 𝟖 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 𝟎 𝟐 𝟕 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 𝟑 EXERCÍCIO 3 Determine três pontos positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo 𝑥 𝑦 𝑧 100 Produto xyz Maximizar o produto 𝑓𝑥 𝑦 𝑥𝑦100 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 100𝑥𝑦 𝑥2𝑦 𝑥𝑦2 𝑓𝑥 100𝑦 2𝑥𝑦 𝑥𝑦2 𝑓𝑦 100𝑥 𝑥2 2𝑥𝑦 Ponto crítico 𝑓𝑥 0 𝑒 𝑓𝑦 0 𝑓𝑥 0 𝑦100 2𝑥 𝑦 𝑦 0 𝑒 100 2𝑥 𝑦 0 𝑦 100 2𝑥 𝑓𝑦 0 100𝑥 𝑥2 2𝑥𝑦 100𝑥 𝑥2 2𝑥 100 2𝑥 0 100𝑥 𝑥2 200𝑥 4𝑥2 0 3𝑥2 100𝑥 0 𝑥3𝑥 100 0 𝑥 0 𝑒 𝑥 100 3 Como 𝑦 100 2𝑥 𝑦 100 3 e 𝑥 𝑦 𝑧 100 𝑧 100 3 Verificando 𝑓𝑥 100𝑦 2𝑥𝑦 𝑥𝑦2 𝑓𝑦 100𝑥 𝑥2 2𝑥𝑦 𝑓𝑥𝑥 2𝑦 𝑓𝑦𝑦 2𝑥 𝑓𝑥𝑦 100 2𝑥 2𝑦 𝑓𝑦𝑥 100 2𝑥 2𝑦 𝐻 100 3 100 3 200 3 100 3 100 3 200 3 2002 9 1002 9 0 𝐻 100 3 100 3 0 𝑒 𝑓𝑥𝑥 200 3 0 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 Os três pontos positivos são 𝑥 𝑦 𝑧 100 3 EXERCÍCIO 4 Utilize os Multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios 2 e 3 aDetermine a menor distância entre o ponto 203 e o plano 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑑 𝑥 2 2 𝑦 0 2 𝑧 3 2 𝑑2 𝑥 2 2 𝑦 0 2 𝑧 3 2 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 2 2 𝑦 0 2 𝑧 3 2 Restrição 𝑥 𝑦 𝑧 1 logo 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑓 𝑓𝑥 𝑓𝑦 𝑓𝑧 2 𝑥 2 2𝑧 2𝑧 3 𝑔 𝑔𝑥 𝑔𝑦 𝑔𝑧 111 𝑓 𝜆𝑔 2 𝑥 2 2𝑧 2𝑧 3 𝜆 111 ൞ 2 𝑥 2 𝜆 2𝑦 𝜆 2 𝑧 3 𝜆 𝑥 𝜆4 2 𝑦 𝜆 2 𝑧 𝜆6 2 Restrição 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝜆4 2 𝜆 2 𝜆6 2 1 𝜆 4 𝜆 𝜆 6 2 𝜆 4 3 𝑥 𝜆4 2 8 3 𝑦 𝜆 2 2 3 𝑧 𝜆6 2 7 3 𝑑 𝑥 2 2 𝑦 0 2 𝑧 3 2 8 3 2 2 2 3 0 2 7 3 3 2 4 3 EXERCÍCIO 4 b Determine três pontos positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑦𝑧 Restrição 𝑥 𝑦 𝑧 100 logo 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 100 𝑓 𝑓𝑥 𝑓𝑦 𝑓𝑧 𝑦𝑧 𝑥𝑧 𝑥𝑦 𝑔 𝑔𝑥 𝑔𝑦 𝑔𝑧 111 𝑓 𝜆𝑔 𝑦𝑧 𝑥𝑧 𝑥𝑦 𝜆 111 ቐ 𝑦𝑧 𝜆 𝑥𝑧 𝜆 𝑥𝑦 𝜆 𝑦𝑧 𝑥𝑧 𝑥𝑦 𝑥 𝑦 𝑧 Restrição 𝑥 𝑦 𝑧 100 𝑥 𝑥 𝑥 100 𝑥 𝑦 𝑧 100 3 Os três pontos positivos são 𝑥 𝑦 𝑧 100 3