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Cursos Gerais ·
Controle e Servomecanismos
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datahora rodapé 1 EDSON SIMÕES Graduado ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO IFF Msc PESQUISA OPERACIONAL E INTELIGENCIA COMPUTACIONAL UCAM Espaço de Estados CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Vetores linearmente Independentes O número de posto de uma matriz deve ser igual ao número de linhas ou colunas matriz quadrada para que todos os vetores sejam linearmente independentes Comando matlab N de posto rankA CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Vetores linearmente Independentes O número de posto de uma matriz representa o número de linhas não nulas quando a mesma está escrita na forma reduzida escalonada por linhas equivalentemente o mínimo entre o número de linhas linearmente independente e o número de colunas linearmente independente da matriz A CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Controlabilidade de Estado Um sistema será dito controlável no instante t0 se for possível por meio de um vetor de controle não limitado transferir o sistema de qualquer estado inicial xt0 para qualquer outro estado num intervalo de tempo finito Logo a matriz que representa sua controlabilidade terá o número de posto igual ao número de linhas e colunas matriz quadrada CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Estado completamente Controlável Se todos os estados assumidos durante a transformação do estado inicial para o estado final for controlável o sistema é chamado de Estado completamente Controlável Logo o número de posto de sua matriz nxn será n Matriz que representa um estado completamente controlável CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Estado completamente Controlável CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Controlabilidade Condições de Controlabilidade Completa no Plano S A função de transferência ou matriz de transferência não pode possuir cancelamento na função de transferência ou matriz de transferência cancelamento de zeros com polos CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Controlabilidade de Saída O controle será na saída do sistema ao invés de controlar o estado do sistema A controlabilidade completa de estado não é necessária nem suficiente para para controlar a saída do sistema Então a saída do sistema será completamente controlável se é possível construir um vetor de controle ut não limitado que transfira qualquer saída yt0 para qualquer saída final num intervalo de tempo finito CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Controlabilidade de Saída Será de saída completamente controlável se a matriz m x n1r tiver posto m Sistema não controlável possui um subsistema que é fisicamente desconectado da entrada CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Controlabilidade de Saída CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Estabilidade Para sistemas parcialmente controláveis se os modos não controláveis forem estáveis e os modos instáveis forem controláveis o sistema será considerado estabilizável Ex O modo de um autovalor negativo não controlável raiz da equação característica estiver no semiplano negativo e um autovalor positivo controlável assim o sistema é estabilizável CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Estabilidade estabilizável CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Observabilidade O sistema será considerado completamente observável se cada transição de estado puder afetar cada elemento do vetor de saída yt Assim toda observação de yt poderá determinar o estado de xt0 Pela saída poderá ser estimado o estado inicial do sistema CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Observabilidade Algumas variáveis não podem ser medidas diretamente num sistema necessitando ser estimadas para construir um sinal de controle adequado isto só será possível se e somente se o sistema for completamente observável CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Observabilidade O SISTEMA SERÁ DE ESTADO COMPLETAMENTE OBSERVÁVEL SE A MATRIZ nxnm TIVER POSTO nm CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Observabilidade Ou podemos analisar pela matriz transposta onde o número de posto deve ser igual ao número de linhas CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Condições de Observabilidade Completa no Plano S A função de transferência ou matriz de transferência não pode possuir cancelamento na função de transferência cancelamento de zeros com polos CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Teorema de CayleyHamilton Estabelece que a matriz A satisfaz sua própria equação característica SIASλ1Sλ2Sλ3Sλn Função de Transferência CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Dualidade Como a transformação para espaço de estados não é única então há uma transformação de uma forma para outra a qual será útil quando se deseja obter uma forma canônica de estado 1 Forma canônica Controlável ẊAXBU YCXDU 2 Forma canônica observável ŻAtZCtU YBtZDU CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Dualidade Para o sistema na base Canônica Controlável ser Controlável Observável Dualidade Para o sistema na base Canônica Observável ser Observável BCt AAt Observável CBt B Ct CONTROLE MODERNO Dualidade Assim a Observabilidade de um sistema pode ser verificada testandose a controlabilidade do outro CONTROLE MODERNO Detectabilidade Para um sistema parcialmente observável se os modos não observáveis forem estáveis e os modos observáveis forem instáveis o sistema será considerado detectável Detectável é dual ao conceito de estabilidade Sistema é detectável Se todos os autovalores instáveis são observáveis ou se os autovalores não observáveis são estáveis ou seja estes possuem parte real negativa CONTROLE MODERNO Matriz de transformação para a base canônica T M Matriz de controlabilidade M B AB A2B An1B W Matriz das equações características CONTROLE MODERNO Exemplo Gs S 1 S2 3S 2 CONTROLE MODERNO Exemplo Gs S 3 S2 3S 2 CONTROLE MODERNO Projetando Sistema de Controle no Espaço de Estados Controle por Realimentação de Estados Existem três técnicas básicas de projeto de sistemas de controle por realimentação 1 Lugar das raízes 2 Resposta em frequência 3 Realimentação de estados CONTROLE MODERNO Projetando Sistema de Controle no Espaço de Estados Embora haja muitos pontos de equivalência entre as três técnicas de projeto o emprego de modelos por realimentação de estados tem ampliado seu campo de aplicação em virtude da possibilidade de tratar sistemas no domínio do tempo além de permitir que o sistema seja em algum grau restrito nãolinear variante no tempo e MIMO Multiple Input Multiple Output CONTROLE MODERNO Realimentação de Estados Alocação de pólos ou designação de polos Para este sistema de controle iremos trabalhar com sistemas onde todas as variáveis de estados são mensuráveis estado completamente observável e que estejam disponíveis para realimentação e que este mesmo sistema seja de estado completamente controlável para que seus polos de malha fechada sejam alocados na posição desejada CONTROLE MODERNO Realimentação de Estados Alocação de polos ou designação de polos Esta nova posição das raízes em malha fechada será obtido através de uma matriz de ganho apropriada CONTROLE MODERNO Realimentação de Estados Alocação de polos ou designação de polos Para projetar um compensador comum controlador os pólos dominantes de malha fechada devem possuir um coeficiente de amortecimento apropriado ζ numa frequência natural não amortecida ωn determinada A ordem do sistema pode ser aumentada em 1 ou 2 desde que não haja cancelamento de pólos e zeros CONTROLE MODERNO Vetor de Controle Alocação de polos ou designação de polos Nesta abordagem iremos especificar todos os polos de malha fechada esta alocação requer que todas as variáveis de estados possam ser medidas com sucesso caso contrário teria que ser incluído um observador de estados no sistema Controle com realimentação de saída U K e e Sp Vp Se Sp 0 teremos e Vp U KVp U KY Se o controle for por realimentação de Estados U K e e Sp X Se Sp 0 teremos e X U KX U KX CONTROLE MODERNO O sinal de controle adotado será do tipo uKx significa que o sinal de controle e determinado por um estado instantâneo ou seja o estado o qual o sistema se encontra CONTROLE MODERNO xAxBuAxBKxABΚx yCx CONTROLE MODERNO Se a matriz C I teremos o controle por realimentação de estados igual ao controle por realimentação de saída CONTROLE MODERNO Sendo assim um sistema com realimentação de Estados a equação característica é dada por CONTROLE MODERNO Considerando que a posição desejada dos pólos seja conhecida então CONTROLE MODERNO Teorema Se o sistema dinâmico X Axt But é controlável então existe para qualquer polinômio pcs de grau n especificado Assim os elementos de K são obtidos por simples casamento de coeficientes CONTROLE MODERNO No entanto com o uso da forma canônica controlável o cálculo dos elementos de K pode ser obtido diretamente Obviamente o sistema só pode ser transformado em sua forma canônica controlável se ele for controlável A realimentação de estado não deve ser aplicada a sistemas nãocontroláveis ou fracamente controláveis pois isto implica a obtenção de valores para os elementos de K nãorealizáveis na prática CONTROLE MODERNO Exemplo usando um sistema de 2 ordem ξCos ф ESPAÇO de ESTADOS Exemplo usando um sistema de 2 ordem Tempo de acomodação com critério de 2 Tempo de acomodação com critério de 5 Equação característica ESPAÇO de ESTADOS Exemplo usando um sistema de 2 ordem O tempo de acomodação só depende da parte real dos pólos O sobre sinal depende da parte real e da frequência amortecida ESPAÇO de ESTADOS Exemplo usando um sistema de 2 ordem Projetar um vetor de controle com um tempo de acomodação menor que 5s e um máximo de sobre sinal de 25 ao critério de 2 Projete um vetor de controle Logo a parte real é igual é igual a σ 08 A parte imaginária ωd 1813 frequência amortecida ESPAÇO de ESTADOS Controlabilidade ans Controlabilidade MB AB M 0 1 1 1 rankM ans 2 Observabilidade ans Observabilidade OC CA O 1 2 1 0 rankO ans 2 Controlabilidade de Saida ans Controlabilidade de Saida CS CB CABD CS 1 0 rankCS ans 1 ESPAÇO de ESTADOS Exemplo usando um sistema de 2 ordem Φ Arctag ωdσ 11552 ξCos ф 04037 σ ξωn ωn 19817 Para atender os requisitos de projeto a função característica do sistema deve ser S2 16S 4 ESPAÇO de ESTADOS Exemplo usando um sistema de 2 ordem ESPAÇO de ESTADOS Exemplo usando um sistema de 2 ordem Como ut é o nosso vetor de controle este será representado por uma matriz de ganho kt ESPAÇO de ESTADOS Exemplo usando um sistema de 2 ordem A equação característica ESPAÇO de ESTADOS Exemplo usando um sistema de 2 ordem A equação característica ESPAÇO de ESTADOS Exemplo usando um sistema de 2 ordem A equação característica antiga S2 S 2 S2 a1S a2 A equação característica nova S2 16S 4 S2 α1S α2 K α2 a2 α1 a1 K αn an αn1 an1 α2 a2 α1 a1 Obs Canônica Controlável ESPAÇO de ESTADOS Exemplo usando um sistema de 2 ordem A função característica 0 u 01 u 1s 1 1 u B D C A 0 12 1 u K 2 06 u 00 SP saida X1 X2 Y1 Block Parameters Integrator Integrator Continuoustime integration of the input signal Parameters External reset none Initial condition source internal Initial condition 10 Limit output Wrap state Show saturation port Show state port Absolute tolerance auto Ignore limit and reset when linearizing Enable zerocrossing detection State Name eg position OK Cancel Help Apply X 17 Y 02537 Tempos Y1 X1 X2 Y1 Command Window A0 1 2 1 A 0 1 2 1 B0 1 B 0 1 C1 1 C 1 1 D0 D 0 Command Window K2 06 K 20000 06000 sysssABKeye2eye2eye2 initialsys10 grid System sys Output Out1 Time seconds 167 Amplitude 0253 Response to Initial Conditions Amplitude X1 X2 Time seconds ESPAÇO de ESTADOS Command Window A0 1 2 1 A 0 1 2 1 B0 1 B 0 1 C1 1 C 1 1 D0 D 0 Command Window K2 06 K 20000 06000 sysssABK011 10 initialsys10 grid Response to Initial Conditions Amplitude Y1 Time seconds ESPAÇO de ESTADOS ESPAÇO de ESTADOS Mudando o SP de X1 1 O SP de X2 0 X0 1 0 ESPAÇO de ESTADOS Mudando o SP de X1 1 O SP de X2 0 X0 1 0 ESPAÇO de ESTADOS Mudando o SP de X1 1 O SP de X2 0 X0 1 0 ESPAÇO de ESTADOS Mudando o SP de X1 1 O SP de X2 0 X0 1 0 Nova eq Característica S2 6S 27 K 272 61 K 25 5 ESPAÇO de ESTADOS Mudando o SP de X1 1 O SP de X2 0 X0 1 0 Nova eq Característica S2 6S 27 K 272 61 K 25 5 X1 Y1 X2 Aumentando a ordem do sistema integrador em paralelo com o ganho Aumentando a ordem do sistema integrador em paralelo com o ganho Aumentando a ordem do sistema integrador em paralelo com o ganho Aumentando a ordem do sistema integrador em paralelo com o ganho A equação característica antiga S2 S 2 S2 a1S a2 Nova Eq Característica S3 3S2 48 S 2 S3 Q1S2 Q2 S Q3 Novo vetor de Controle K K1Ki1S K2Ki2S Aumentando a ordem do sistema integrador em paralelo com o ganho K2 1 3 K2 2 Ki1 2 K1 Ki2 2 48 K1 Ki2 28 para Ki2 0 K1 28 Nova Eq Característica S3 3S2 48 S 2 Aumentando a ordem do sistema integrador em paralelo com o ganho Aumentando a ordem do sistema integrador em paralelo com o ganho Aumentando a ordem do sistema integrador em paralelo com o ganho Novo vetor de Controle K 282S 2 Com o Aumento de Ordem a função de transferencial será Gs S2 S S3 3S2 48S 2 X1 Y1 X2 An0 1 0 0 0 12 48 3 An 0 10000 0 0 0 10000 20000 48000 30000 Bn001 Bn 0 0 1 Cn0 1 1 Cn 0 1 1 Dn0 Dn 0 sysssAnBnCn0 initialsys010 grid System sys Time seconds 088 Amplitude 0809 Response to Initial Conditions Amplitude Time seconds Variáveis de Estados X1 e X2 sysssAneye3eye3eye3 sys A x1 x2 x3 x1 0 1 0 x2 0 0 1 x3 2 48 3 B u1 u2 u3 x1 1 0 0 x2 0 1 0 x3 0 0 1 C x1 x2 x3 y1 1 0 0 y2 0 1 0 y3 0 0 1 D u1 u2 u3 y1 1 0 0 y2 0 1 0 y3 0 0 1 Continuoustime statespace model initialsys010 grid Response to Initial Conditions Amplitude X1 X2 Time seconds 0 1 u 0 u 0 1 2 1 u 1 1 u saida2 Y1 X1 X2 Out1 In1 K SP 10 File Tools View Simulation Help File Tools View Simulation Help X1 Y1 X2 15 Ready Sample based T10000 05 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 Ready Sample based T10000 05 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Mudança de uma Base qualquer para canônica Controlável Malha Aberta Ẋ AX Bu Y CX Du Malha Fechada Ẋ AX Bu sendo uKX Ẋ AX BKX Y CX DKX Mudança de Base Malha Fechada Ẋ AX BKX A BKX Y CX DKX Sabendo que a matriz de transformação de qualquer base para a base canônica controlável é T MW então X TZ e Ẋ TŻ Mudança de Base para Canônica Controlável Malha Fechada TŻ ATZ BKTZ Ż T1ATZ T1BKTZ Ż Ac Z Bc KTZ Y CTZ DKTZPara D0 Y Cc Z Sabendo que a matriz de transformação de qualquer base para a base canônica controlável é T MW então X TZ e Ẋ TŻ Mudança de Base para Canônica Controlável Malha Fechada Ż Ac Z Bc KTZ Kc KT e K é numa base qualquer e Kc na base Canônica Controlável logo K Kc T1 CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Sendo a massa do corpo m 5Kg admitindo o coeficiente de amortecimento c 1 Nsm e a constante elástica da mola k 2Nm Descrever o deslocamento da massa quando solta de sua posição inicial x0 1m da posição de repouso do sistema Novos polos P1 1 e P2 1 CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Sabendo que o sistema é regido pela seguinte equação diferencial Dividindose toda a equação pela massa e substituindose os valores do problema temse a equação abaixo X X1 e Ẋ1 X2 e Ẍ1 Ẋ2 CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Equação Ẋ2 04X1 02X2 02 ut e Ẋ1 X2 CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Solução Matlab CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Malha aberta CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Malha Fechada Novos polos P1 1 e P2 1 Nova Eq Característica S2 2S 1 CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Malha Fechada Variáveis de Estados CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Malha Fechada Variáveis de Saída CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Exercício 01 1 As equações de uma planta são dadas abaixo a Representar o sistema na base canônica controlável b Projete um vetor de controle para o sistema com polos em S10 S10 c Represente o sistema em espaço de estados com o vetor de controle na base em que a matriz de saída C seja uma identidade CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Solução CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Solução CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Nova Eq Característica S2 20S 100 CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Nova Base An P1 A P Bn P1 B Cn C P Kn K P C1 Cn C1C P C1Cn P CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Nova Base CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Nova Base com realimentação CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Nova Base com realimentação CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Função de transferência em malha fechada CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Saída com aumento de Ordem do sistema Exercícios 02 1 As equações de velocidade ºs e posição º são dadas abaixo a Representar o sistema na base canônica controlável b Projete um vetor de controle KK1Ki1S K2Ki2S para o sistema com erro máximo em modulo de 1º referente a Y2 posição angular e que consiga acompanhar o SP das entradas dado a seguir CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Saída SetPoit das saídas Y1 e Y2 CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Saída Solução CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Saída Solução CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Saída Solução CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Solução CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Solução CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Solução X0 00 CONTROLE MODERNO 10000 10000 90000 130000 190000 erro K1 Ki1 K2 Ki2 Solução CONTROLE MODERNO Solução CONTROLE MODERNO 05695 40000 200000 150000 300000 erro K1 Ki1 K2 Ki2 Solução CONTROLE MODERNO 09093 10000 120000 105000 245000 erro K1 Ki1 K2 Ki2 Solução CONTROLE MODERNO 09093 10000 120000 105000 245000 erro K1 Ki1 K2 Ki2 Solução CONTROLE MODERNO 09093 10000 120000 105000 245000 erro K1 Ki1 K2 Ki2 Solução CONTROLE MODERNO 05695 40000 200000 150000 300000 erro K1 Ki1 K2 Ki2 KK1Ki1S K2Ki2S K 420S 1530S Ps SIABK Solução CONTROLE MODERNO Solução Função de transferencial em malha Fechada com aumento de Ordem CONTROLE MODERNO Solução Função de transferencial em malha Fechada com aumento de Ordem CONTROLE MODERNO Solução Função de transferencial em malha Fechada com aumento de Ordem Entrada do sistema Ut Vm CONTROLE MODERNO Solução Função de transferencial em malha Fechada com aumento de Ordem Entrada do sistema Ut Vm CONTROLADOR PID PARÂMETROS
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estado num intervalo de tempo finito Logo a matriz que representa sua controlabilidade terá o número de posto igual ao número de linhas e colunas matriz quadrada CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Estado completamente Controlável Se todos os estados assumidos durante a transformação do estado inicial para o estado final for controlável o sistema é chamado de Estado completamente Controlável Logo o número de posto de sua matriz nxn será n Matriz que representa um estado completamente controlável CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Estado completamente Controlável CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Controlabilidade Condições de Controlabilidade Completa no Plano S A função de transferência ou matriz de transferência não pode possuir cancelamento na função de transferência ou matriz de transferência cancelamento de zeros com polos CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Controlabilidade de Saída O controle será na saída do sistema ao invés de controlar o estado do sistema A controlabilidade completa de estado não é necessária nem suficiente para para controlar a saída do sistema Então a saída do sistema será completamente controlável se é possível construir um vetor de controle ut não limitado que transfira qualquer saída yt0 para qualquer saída final num intervalo de tempo finito CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Controlabilidade de Saída Será de saída completamente controlável se a matriz m x n1r tiver posto m Sistema não controlável possui um subsistema que é fisicamente desconectado da entrada CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Controlabilidade de Saída CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Estabilidade Para sistemas parcialmente controláveis se os modos não controláveis forem estáveis e os modos instáveis forem controláveis o sistema será considerado estabilizável Ex O modo de um autovalor negativo não controlável raiz da equação característica estiver no semiplano negativo e um autovalor positivo controlável assim o sistema é estabilizável CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Estabilidade estabilizável CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Observabilidade O sistema será considerado completamente observável se cada transição de estado puder afetar cada elemento do vetor de saída yt Assim toda observação de yt poderá determinar o estado de xt0 Pela saída poderá ser estimado o estado inicial do sistema CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Observabilidade Algumas variáveis não podem ser medidas diretamente num sistema necessitando ser estimadas para construir um sinal de controle adequado isto só será possível se e somente se o sistema for completamente observável CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Observabilidade O SISTEMA SERÁ DE ESTADO COMPLETAMENTE OBSERVÁVEL SE A MATRIZ nxnm TIVER POSTO nm CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Observabilidade Ou podemos analisar pela matriz transposta onde o número de posto deve ser igual ao número de linhas CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Condições de Observabilidade Completa no Plano S A função de transferência ou matriz de transferência não pode possuir cancelamento na função de transferência cancelamento de zeros com polos CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Teorema de CayleyHamilton Estabelece que a matriz A satisfaz sua própria equação característica SIASλ1Sλ2Sλ3Sλn Função de Transferência CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Dualidade Como a transformação para espaço de estados não é única então há uma transformação de uma forma para outra a qual será útil quando se deseja obter uma forma canônica de estado 1 Forma canônica Controlável ẊAXBU YCXDU 2 Forma canônica observável ŻAtZCtU YBtZDU CONTROLE MODERNO Espaço de Estados Dualidade Para o sistema na base Canônica Controlável ser Controlável Observável Dualidade Para o sistema na base Canônica Observável ser Observável BCt AAt Observável CBt B Ct CONTROLE MODERNO Dualidade Assim a Observabilidade de um sistema pode ser verificada testandose a controlabilidade do outro CONTROLE MODERNO Detectabilidade Para um sistema parcialmente observável se os modos não observáveis forem estáveis e os modos observáveis forem instáveis o sistema será considerado detectável Detectável é dual ao conceito de estabilidade Sistema é detectável Se todos os autovalores instáveis são observáveis ou se os autovalores não observáveis são estáveis ou seja estes possuem parte real negativa CONTROLE MODERNO Matriz de transformação para a base canônica T M Matriz de controlabilidade M B AB A2B An1B W Matriz das equações características CONTROLE MODERNO Exemplo Gs S 1 S2 3S 2 CONTROLE MODERNO Exemplo Gs S 3 S2 3S 2 CONTROLE MODERNO Projetando Sistema de Controle no Espaço de Estados Controle por Realimentação de Estados Existem três técnicas básicas de projeto de sistemas de controle por realimentação 1 Lugar das raízes 2 Resposta em frequência 3 Realimentação de estados CONTROLE MODERNO Projetando Sistema de Controle no Espaço de Estados Embora haja muitos pontos de equivalência entre as três técnicas de projeto o emprego de modelos por realimentação de estados tem ampliado seu campo de aplicação em virtude da possibilidade de tratar sistemas no domínio do tempo além de permitir que o sistema seja em algum grau restrito nãolinear variante no tempo e MIMO Multiple Input Multiple Output CONTROLE MODERNO Realimentação de Estados Alocação de pólos ou designação de polos Para este sistema de controle iremos trabalhar com sistemas onde todas as variáveis de estados são mensuráveis estado completamente observável e que estejam disponíveis para realimentação e que este mesmo sistema seja de estado completamente controlável para que seus polos de malha fechada sejam alocados na posição desejada CONTROLE MODERNO Realimentação de Estados Alocação de polos ou designação de polos Esta nova posição das raízes em malha fechada será obtido através de uma matriz de ganho apropriada CONTROLE MODERNO Realimentação de Estados Alocação de polos ou designação de polos Para projetar um compensador comum controlador os pólos dominantes de malha fechada devem possuir um coeficiente de amortecimento apropriado ζ numa frequência natural não amortecida ωn determinada A ordem do sistema pode ser aumentada em 1 ou 2 desde que não haja cancelamento de pólos e zeros CONTROLE MODERNO Vetor de Controle Alocação de polos ou designação de polos Nesta abordagem iremos especificar todos os polos de malha fechada esta alocação requer que todas as variáveis de estados possam ser medidas com sucesso caso contrário teria que ser incluído um observador de estados no sistema Controle com realimentação de saída U K e e Sp Vp Se Sp 0 teremos e Vp U KVp U KY Se o controle for por realimentação de Estados U K e e Sp X Se Sp 0 teremos e X U KX U KX CONTROLE MODERNO O sinal de controle adotado será do tipo uKx significa que o sinal de controle e determinado por um estado instantâneo ou seja o estado o qual o sistema se encontra CONTROLE MODERNO xAxBuAxBKxABΚx yCx CONTROLE MODERNO Se a matriz C I teremos o controle por realimentação de estados igual ao controle por realimentação de saída CONTROLE MODERNO Sendo assim um sistema com realimentação de Estados a equação característica é dada por CONTROLE MODERNO Considerando que a posição desejada dos pólos seja conhecida então CONTROLE MODERNO Teorema Se o sistema dinâmico X Axt But é controlável então existe para qualquer polinômio pcs de grau n especificado Assim os elementos de K são obtidos por simples casamento de coeficientes CONTROLE MODERNO No entanto com o uso da forma canônica controlável o cálculo dos elementos de K pode ser obtido diretamente Obviamente o sistema só pode ser transformado em sua forma canônica controlável se ele for controlável A realimentação de estado não deve ser aplicada a sistemas nãocontroláveis ou fracamente controláveis pois isto implica a obtenção de valores para os elementos de K nãorealizáveis na prática CONTROLE MODERNO Exemplo usando um sistema de 2 ordem ξCos ф ESPAÇO de ESTADOS Exemplo usando um sistema de 2 ordem Tempo de acomodação com critério de 2 Tempo de acomodação com critério de 5 Equação característica ESPAÇO de ESTADOS Exemplo usando um sistema de 2 ordem O tempo de acomodação só depende da parte real dos pólos O sobre sinal depende da parte real e da frequência amortecida ESPAÇO de ESTADOS Exemplo usando um sistema de 2 ordem Projetar um vetor de controle com um tempo de acomodação menor que 5s e um máximo de sobre sinal de 25 ao critério de 2 Projete um vetor de controle Logo a parte real é igual é igual a σ 08 A parte imaginária ωd 1813 frequência amortecida ESPAÇO de ESTADOS Controlabilidade ans Controlabilidade MB AB M 0 1 1 1 rankM ans 2 Observabilidade ans Observabilidade OC CA O 1 2 1 0 rankO ans 2 Controlabilidade de Saida ans Controlabilidade de Saida CS CB CABD CS 1 0 rankCS ans 1 ESPAÇO de ESTADOS Exemplo usando um sistema de 2 ordem Φ Arctag ωdσ 11552 ξCos ф 04037 σ ξωn ωn 19817 Para atender os requisitos de projeto a função característica do sistema deve ser S2 16S 4 ESPAÇO de ESTADOS Exemplo usando um sistema de 2 ordem ESPAÇO de ESTADOS Exemplo usando um sistema de 2 ordem Como ut é o nosso vetor de controle este será representado por uma matriz de ganho kt ESPAÇO de ESTADOS Exemplo usando um sistema de 2 ordem A equação característica ESPAÇO de ESTADOS Exemplo usando um sistema de 2 ordem A equação característica ESPAÇO de ESTADOS Exemplo usando um sistema de 2 ordem A equação característica antiga S2 S 2 S2 a1S a2 A equação característica nova S2 16S 4 S2 α1S α2 K α2 a2 α1 a1 K αn an αn1 an1 α2 a2 α1 a1 Obs Canônica Controlável ESPAÇO de ESTADOS Exemplo usando um sistema de 2 ordem A função característica 0 u 01 u 1s 1 1 u B D C A 0 12 1 u K 2 06 u 00 SP saida X1 X2 Y1 Block Parameters Integrator Integrator Continuoustime integration of the input signal Parameters External reset none Initial condition source internal Initial condition 10 Limit output Wrap state Show saturation port Show state port Absolute tolerance auto Ignore limit and reset when linearizing Enable zerocrossing detection State Name eg position OK Cancel Help Apply X 17 Y 02537 Tempos Y1 X1 X2 Y1 Command Window A0 1 2 1 A 0 1 2 1 B0 1 B 0 1 C1 1 C 1 1 D0 D 0 Command Window K2 06 K 20000 06000 sysssABKeye2eye2eye2 initialsys10 grid System sys Output Out1 Time seconds 167 Amplitude 0253 Response to Initial Conditions Amplitude X1 X2 Time seconds ESPAÇO de ESTADOS Command Window A0 1 2 1 A 0 1 2 1 B0 1 B 0 1 C1 1 C 1 1 D0 D 0 Command Window K2 06 K 20000 06000 sysssABK011 10 initialsys10 grid Response to Initial Conditions Amplitude Y1 Time seconds ESPAÇO de ESTADOS ESPAÇO de ESTADOS Mudando o SP de X1 1 O SP de X2 0 X0 1 0 ESPAÇO de ESTADOS Mudando o SP de X1 1 O SP de X2 0 X0 1 0 ESPAÇO de ESTADOS Mudando o SP de X1 1 O SP de X2 0 X0 1 0 ESPAÇO de ESTADOS Mudando o SP de X1 1 O SP de X2 0 X0 1 0 Nova eq Característica S2 6S 27 K 272 61 K 25 5 ESPAÇO de ESTADOS Mudando o SP de X1 1 O SP de X2 0 X0 1 0 Nova eq Característica S2 6S 27 K 272 61 K 25 5 X1 Y1 X2 Aumentando a ordem do sistema integrador em paralelo com o ganho Aumentando a ordem do sistema integrador em paralelo com o ganho Aumentando a ordem do sistema integrador em paralelo com o ganho Aumentando a ordem do sistema integrador em paralelo com o ganho A equação característica antiga S2 S 2 S2 a1S a2 Nova Eq Característica S3 3S2 48 S 2 S3 Q1S2 Q2 S Q3 Novo vetor de Controle K K1Ki1S K2Ki2S Aumentando a ordem do sistema integrador em paralelo com o ganho K2 1 3 K2 2 Ki1 2 K1 Ki2 2 48 K1 Ki2 28 para Ki2 0 K1 28 Nova Eq Característica S3 3S2 48 S 2 Aumentando a ordem do sistema integrador em paralelo com o ganho Aumentando a ordem do sistema integrador em paralelo com o ganho Aumentando a ordem do sistema integrador em paralelo com o ganho Novo vetor de Controle K 282S 2 Com o Aumento de Ordem a função de transferencial será Gs S2 S S3 3S2 48S 2 X1 Y1 X2 An0 1 0 0 0 12 48 3 An 0 10000 0 0 0 10000 20000 48000 30000 Bn001 Bn 0 0 1 Cn0 1 1 Cn 0 1 1 Dn0 Dn 0 sysssAnBnCn0 initialsys010 grid System sys Time seconds 088 Amplitude 0809 Response to Initial Conditions Amplitude Time seconds Variáveis de Estados X1 e X2 sysssAneye3eye3eye3 sys A x1 x2 x3 x1 0 1 0 x2 0 0 1 x3 2 48 3 B u1 u2 u3 x1 1 0 0 x2 0 1 0 x3 0 0 1 C x1 x2 x3 y1 1 0 0 y2 0 1 0 y3 0 0 1 D u1 u2 u3 y1 1 0 0 y2 0 1 0 y3 0 0 1 Continuoustime statespace model initialsys010 grid Response to Initial Conditions Amplitude X1 X2 Time seconds 0 1 u 0 u 0 1 2 1 u 1 1 u saida2 Y1 X1 X2 Out1 In1 K SP 10 File Tools View Simulation Help File Tools View Simulation Help X1 Y1 X2 15 Ready Sample based T10000 05 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 Ready Sample based T10000 05 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Mudança de uma Base qualquer para canônica Controlável Malha Aberta Ẋ AX Bu Y CX Du Malha Fechada Ẋ AX Bu sendo uKX Ẋ AX BKX Y CX DKX Mudança de Base Malha Fechada Ẋ AX BKX A BKX Y CX DKX Sabendo que a matriz de transformação de qualquer base para a base canônica controlável é T MW então X TZ e Ẋ TŻ Mudança de Base para Canônica Controlável Malha Fechada TŻ ATZ BKTZ Ż T1ATZ T1BKTZ Ż Ac Z Bc KTZ Y CTZ DKTZPara D0 Y Cc Z Sabendo que a matriz de transformação de qualquer base para a base canônica controlável é T MW então X TZ e Ẋ TŻ Mudança de Base para Canônica Controlável Malha Fechada Ż Ac Z Bc KTZ Kc KT e K é numa base qualquer e Kc na base Canônica Controlável logo K Kc T1 CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Sendo a massa do corpo m 5Kg admitindo o coeficiente de amortecimento c 1 Nsm e a constante elástica da mola k 2Nm Descrever o deslocamento da massa quando solta de sua posição inicial x0 1m da posição de repouso do sistema Novos polos P1 1 e P2 1 CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Sabendo que o sistema é regido pela seguinte equação diferencial Dividindose toda a equação pela massa e substituindose os valores do problema temse a equação abaixo X X1 e Ẋ1 X2 e Ẍ1 Ẋ2 CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Equação Ẋ2 04X1 02X2 02 ut e Ẋ1 X2 CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Solução Matlab CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Malha aberta CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Malha Fechada Novos polos P1 1 e P2 1 Nova Eq Característica S2 2S 1 CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Malha Fechada Variáveis de Estados CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Malha Fechada Variáveis de Saída CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Exercício 01 1 As equações de uma planta são dadas abaixo a Representar o sistema na base canônica controlável b Projete um vetor de controle para o sistema com polos em S10 S10 c Represente o sistema em espaço de estados com o vetor de controle na base em que a matriz de saída C seja uma identidade CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Solução CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Solução CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Nova Eq Característica S2 20S 100 CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Nova Base An P1 A P Bn P1 B Cn C P Kn K P C1 Cn C1C P C1Cn P CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Nova Base CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Nova Base com realimentação CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Nova Base com realimentação CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Função de transferência em malha fechada CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Saída com aumento de Ordem do sistema Exercícios 02 1 As equações de velocidade ºs e posição º são dadas abaixo a Representar o sistema na base canônica controlável b Projete um vetor de controle KK1Ki1S K2Ki2S para o sistema com erro máximo em modulo de 1º referente a Y2 posição angular e que consiga acompanhar o SP das entradas dado a seguir CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Saída SetPoit das saídas Y1 e Y2 CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Saída Solução CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Saída Solução CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Saída Solução CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Solução CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Solução CONTROLE MODERNO Controle com realimentação de Estados Solução X0 00 CONTROLE MODERNO 10000 10000 90000 130000 190000 erro K1 Ki1 K2 Ki2 Solução CONTROLE MODERNO Solução CONTROLE MODERNO 05695 40000 200000 150000 300000 erro K1 Ki1 K2 Ki2 Solução CONTROLE MODERNO 09093 10000 120000 105000 245000 erro K1 Ki1 K2 Ki2 Solução CONTROLE MODERNO 09093 10000 120000 105000 245000 erro K1 Ki1 K2 Ki2 Solução CONTROLE MODERNO 09093 10000 120000 105000 245000 erro K1 Ki1 K2 Ki2 Solução CONTROLE MODERNO 05695 40000 200000 150000 300000 erro K1 Ki1 K2 Ki2 KK1Ki1S K2Ki2S K 420S 1530S Ps SIABK Solução CONTROLE MODERNO Solução Função de transferencial em malha Fechada com aumento de Ordem CONTROLE MODERNO Solução Função de transferencial em malha Fechada com aumento de Ordem CONTROLE MODERNO Solução Função de transferencial em malha Fechada com aumento de Ordem Entrada do sistema Ut Vm CONTROLE MODERNO Solução Função de transferencial em malha Fechada com aumento de Ordem Entrada do sistema Ut Vm CONTROLADOR PID PARÂMETROS