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Controle e Servomecanismos
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1 Número 05 Maio 2011 Notas de Aula de Controles e Servomecanismos Volume 3 Ana Pavani 2 APRESENTAÇÃO Estas notas de aula têm o objetivo de complementar o material apresentado nos livros de referência da disciplina ENG 1417 Controles e Servomecanismos bem como de servir de guia à ordem na qual os tópicos serão ministrados Elas cobrem assuntos referentes às técnicas clássicas de controle e também aqueles referentes ao controle moderno Considerando que cada vez mais há implementação de controle através de circuitos digitais é apresentada a parte referente a sistemas a tempo discreto As notas são apresentadas em quatro volumes para que os arquivos não excedam 15 MB Há um volume anexo contendo três artigos sobre assuntos complementares que foram desenvolvidos pelos alunos da turma citada no último parágrafo Foram dedicados e criteriosos revisores destas notas os alunos de graduação Bernard Pereira de Oliveira Engenharia Elétrica e Eduardo Oest Moreira Engenharia de Controle e Automação estagiários do LAMBDA Laboratório de Automação de Museus Bibliotecas Digitais e Arquivos do Departamento de Engenharia Elétrica que trabalham no projeto dos Livros Interativos de Engenharia Elétrica Uma grande contribuição às notas foi dada pela turma de ENG1417 Controles e Servomecanismos em 20141 Os alunos críticos e contributivos deram sugestões e resolveram vários exemplos no MATLAB A turma era composta por Alexandre Sheng Hsien Su Bruna dos Guaranys Martins Camila Schuina Neves Carlos Adalberto Samayoa Frederico Kos Botelho Isabela Cunha Maia Nobre Marcelo Maceira de Almeida Neves Roberto Bandeira de Mello M da Silva e Stella Salim Gouvea Roberto Bandeira de Mello M da Silva monitor da disciplina em 20142 resolveu os exemplos do Critério de Nyquist utilizando o MATLAB 3 SUMÁRIO Volume 1 01 Introdução Controles e Servomecanismos 02 Os sistemas lineares e os modelos por variáveis de estado 03 Sistemas compostos 04 Propriedades dos sistemas Volume 2 05 Controlabilidade 06 Observabilidade 07 Estabilidade Volume 3 08 Raízes de polinômios 09 Método de Nyquist 10 Método do Lugar das Raízes Volume 4 11 Realimentação de estado aplicada ao problema do controle modal 12 Observador de Luenberger 13 Especificações no domínio do tempo técnicas clássicas 14 Especificações no domínio da freqüência técnicas clássicas 15 Controle PID Volume de Anexos 16 Obtenção de equações dinâmicas em formas canônicas a partir da função de transferência 17 Método do Lugar das Raízes para dois parâmetros variáveis 18 Rastreamento de uma referência 4 Capítulo 8 LOCALIZAÇÃO DE RAÍZES DE POLINÔMIOS I Introdução Como foi estudado no capítulo de estabilidade a determinação da existência ou de um certo tipo de característica de estabilidade em um sistema linear e invariante é reduzido à determinação da localização de raízes de polinômios Duas situações se distingüem a priori Localização no que diz respeito ao semiplano esquerdo do plano complexo É o caso que ocorre quando são tratados os sistemas a tempo contínuo No caso da Estabilidade Assintótica o polinômio cujas raízes precisam ser examinadas se estão todas dentro do semiplano aberto da esquerda é o característico da matriz de estado No caso da Estabilidade no Sentido de Lyapunov o polinômio é o mesmo e o semiplano também mas podem sob certas circunstâncias existir raízes na fronteira ie sobre o eixo imaginário No caso da BIBOEstabildiade o polinômio é o do denominador da função de transferência e o semiplano é o mesmo Localização no que diz respeito ao círculo de raio unitário no plano complexo É o caso que ocorre quando são tratados os sistemas a tempo discreto No caso da Estabilidade Assintótica o polinômio cujas raízes precisam ser examinadas se estão todas dentro do círculo de raio unitário centrado na origem é o característico da matriz de estado No caso da Estabilidade no Sentido de Lyapunov o polinômio é o mesmo e o círculo também mas podem sob certas circunstâncias existir raízes na fronteira ie sobre a circunferência No caso da BIBOEstabildiade o polinômio é o do denominador da função de transferência e o círculo é o mesmo As próximas seções apresentam dois métodos um para cada caso II Métodos para a Determinação da Localização de Raízes de Polinômios com Respeito ao Círculo de Raio Unitário Método de Jury Esta seção apresenta o método que serve para determinar a localização das raízes de polinômios frente ao círculo de raio unitário centrado na origem Dois são os métodos utilizados para esta determinação O primeiro é o Método de Jury estabelecido por Jury e Blanchard e o segundo é o Método de SchurCohn também designado de Segunda Formulação de Jury O primeiro será abordado nesta disciplina enquanto o segundo não Considerese um polinônio Pz 0 1 1 n 1 n n n b b z z b b z Pz 1 Onde i 0 n bi R e 0 bn O método vale para qualquer polinômio mas no contexto da aplicação na determinação das características de estabilidade de sistemas a tempo discreto eles serão os mencionados na seção anterior O método é divido em duas partes as verificações preliminares e a tabulação Só se passa à segunda se os resultados das verificações forem satisfeitos 5 Verificações preliminares 1 n 0 b b 2a 2 0 Pz z 1 2b 3 0 para n ímpar 0 para n par Pz 1 z 2c Uma vez que as três verificações preliminares2abc sejam satisfeitas o passo seguinte é a construção da tabulação Tabulação ou arranjo de Jury 1 Cálculo do número de etapas A tabulação ou arranjo de Jury é executada em etapas como será apresentado a seguir O número de etapas é função do grau do polinômio sendo examinado Seja j 0 jmáx o contador de etapas Foi designado de jmáx o número da etapa final sua expressão é 2 n jmáx 3 Observase que na tabulação cada etapa terá duas linhas Com o número total de etapas calculado partese para o arranjo de Jury 2 Arranjo de Jury O arranjo de Jury é apresentado na tabela 1 j linha z0 z1 z2 z3 zni zn1 zn 0 1 b0 b1 b2 b3 bni bn1 bn 2 bn bn1 bn2 bn3 bi b1 b0 1 3 c0 c1 c2 c3 cni cn1 4 cn1 cn2 cn3 cn4 ci1 c0 2 5 d0 d1 d2 d3 dni 6 dn2 dn3 dn4 dn5 di2 n3 2n5 u0 u1 u2 u3 2n4 u3 u2 u1 u0 n2 2n3 v0 v1 v2 2n2 v2 v1 v0 Tabela 1 Arranjo de Jury Observase que na primeira linha da etapa 0 transcrevemse os coeficientes do polinômio do 0 ao n e na segunda os mesmos coeficientes porém na ordem inversa ou seja de n a 0 Nas etapas subseqüentes aparecem novos coeficientes que são calculados nas linhas ímpares são escritos os resultados dos cálculos e nas pares os mesmos são transcritos na ordem inversa O cálculo dos coeficientes é baseado na existência em cada etapa de dois elementos que são chamados de pivôs Os pivôs são sempre os elementos das duas primeiras colunas de cada etapa Assim por exemplo na primeira etapa os pivôs são 0 b e n b As expressões para o cálculo dos coeficientes são apresentadas a seguir 6 i n n i 0 i b b b b det c 4a i 1 n n i 1 0 i c c c c det d 4b i 2 n n i 2 0 i d d d d det e 4c i 3 3 i 0 i u u u u det v 4d Uma vez computados todos os coeficientes e montado o arranjo devese proceder à análise das condições a seguir que devem ser satisfeitas todas simultaneamente Caso alguma delas não seja satisfeita o polinômio não terá todos as suas raízes dentro do círculo de raio unitário centrado na origem do plano complexo Z n 1 0 c c 5a n 2 0 d d 5b n 3 0 e e 5c 2 0 v v 5d Uma vez que todos os passos foram apresentados podese formular um roteiro de aplicação do método Roteiro de aplicação do método Passo no 1 Verificar se as três condições preliminares 30abc são satisfeitas Caso isto não aconteça pelo menos uma das raízes estará fora do ou sobre o círculo de raio unitário centrado na origem do plano complexo Z Nesta situação parar o método Caso as três sejam satisfeitas passar ao passo seguinte Passo no 2 Calcular o número máximo de etapas através da expressão 3 2 n jmáx 3 Caso o resultado de 3 seja nulo o método deve ser suspenso pois há informações suficientes para calcular as raízes Passo no 3 Determinar o número de linhas que serão necessárias para construir a tabulação em função do resultado do passo anterior 7 Passo no 4 Construir o arranjo de Jury e verificar a cada etapa se a correspondente condição é satisifeita Caso uma das condições não seja satisfeita interromper o cálculo pois uma das raízes do polinômio está fora do ou sobre o círculo de raio unitário centrado na origem do plano complexo Z Caso ela seja satisfeita passar à etapa seguinte Convém ressaltar que para a verificação de cada condição somente o primeiro e o último coeficientes de cada primeira linha são necessários O método apresentado é de simples aplicação não requerendo qualquer auxílio de cálculo O seu grau de dificuldade e de esforço é compatível com o de RouthHurwitz que tem função análoga mas para determinar a localização das raízes em relação ao semiplano aberto da esquerda do plano complexo Elyahu Ibraham Jury 1923 é um engenheiro e cientista americano que muito contribuiu para a área de sistemas a tempo discreto Aprenda mais sobre ele lendo o texto escrito por Kamal Premaratne disponível em httpwwwgooglecomurlsatrctjqesrcssourcewebcd2cadrjauact8ved0CCcQ FjABurlhttp3A2F2Fwwwresearchgatenet2Fpublication2F224101352EliahuIJuryHisto ricalPerspectives2Flinks2F0fcfd50c27e39c0364000000eiIeFGVKm8JsvIgwSOrYCgCAusgAFQj CNFBBMeVrdWpMSAoQ6L8DosJvu0qqw III Métodos para a Determinação da Localização das Raízes de Polinômio com Respeito ao SemiPlano Aberto da Esquerda Método de RouthHurwitz Este segundo método a ser tratado diz respeito a determinar se as raízes de um polinômio estão dentro do semiplano aberto da esquerda SPAE do plano complexo Como no caso anterior o polinômio em consideração depende do tipo de estabilidade que está sendo examinada O interesse é deteminar se todas as raízes estão dentro do SPAE ou seja se todas têm parte real negativa Quando isto acontece o polinômio é chamado de Polinômio de Hurwitz como definido a seguir Definição 1 Polinômio de Hurwitz Um polinômio é chamado de Polinômio de Hurwitz se todas as suas raízes tiverem parte real negativa o que é equivalente a dizer que todas estão localizadas no semiplano aberto da esquerda do plano complexo O método apresentado a seguir chamado de Método de RouthHurwitz tem por objetivo determinar se um polinômio é Polinômio de Hurwitz Seja um polinômio n 1 n 1 n 1 n 0 a s a a s a s Ps 6 Onde i 0 n ai R Antes que o método seja estudado duas condições necessárias porém não suficientes para que o polinômio seja Hurwitz são apresentadas 8 Condições necessárias porém não suficientes para que um polinômio seja Hurwitz As seguintes condições necessárias porém não suficientes para que um polinômio seja Polinômio de Hurwitz são O polinômio deve ser completo Todos os coeficientes do polinômio devem ter o mesmo sinal As duas condições podem ser sintetizadas afirmando que todos os coeficientes devem ser positivos Caso encontrese um polinômio com todos os coeficientes negativos multiplicase o mesmo por 1 Ressaltase que multiplicar um polinômio por uma constante não altera suas raízes Também antes de apresentar o método algumas relações entre as raízes do polinômio e os seus coeficientes devem ser discriminadas todas as raízes a a 0 1 duas a duas produtos de todas as raízes a a 0 2 três a três produtos de todas as raízes a a 0 3 7 produto de todas as raízes 1 a a n 0 n Assim é facilmente compreensível que todas as relações acima necessitem ser positivas para que nenhuma raiz seja nula ou de parte real positiva Porém estas relações não são suficientes Para que se estabeleça a condição suficiente é necessário que se definam os Determinantes de Hurwitz Os Determinantes de Hurwitz são 1 1 1 a a D 2 0 3 1 2 a a a a D 3 1 4 2 0 5 3 1 2 a a 0 a a a a a a D 8 m 2m 5 3 1 2m 4 4 2 0 2m 3 5 3 1 2m 2 6 4 2 0 2m 1 7 5 3 1 m a 0 0 0 0 a a a 0 0 a a a a 0 a a a a 0 a a a a a a a a a a D 9 Condição necessária e suficiente para que um polinômio seja Hurwitz A condição necessária e suficiente para que um polinômio seja Polinômio de Hurwitz ou seja que todas as suas raízes tenham parte real negativa é que todos os Determinantes de Hurwitz Dk k 1 n dados pela conjunto 33 seja positivos Aparentemente o cálculo dos Determinantes de Hurwitz é muito trabalhoso Para esta determinação é que se usa o Método de RouthHurwitz também conhecido por Método de Routh que torna o cálculo muito simples Seja o polinômio Ps dado por 6 porém particularizado para n 6 6 5 2 4 3 3 4 2 5 1 6 0 a a s a s a s a s a s a s Ps 8 Este polinômio servirá de exemplo para a montagem da tabulação s6 s5 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 0 s4 b1 b2 b3 0 s3 c1 c2 0 0 s2 d1 d2 0 0 s1 e1 0 0 0 s0 f1 0 0 0 Tabela 2 Tabulação ou arranjo de Routh Na tabela 2 os coeficientes são calculados pelas expressões 1 0 3 2 1 1 a a a a a b 1 0 5 4 1 2 a a a a a b 6 1 0 6 1 3 a a a 0 a a b 1 1 2 3 1 1 b a b b a c 37 1 1 3 5 1 2 b a b b a c 1 1 2 2 1 1 c b c c b d 1 2 1 2 1 2 c d b 0 d d c 1 1 2 2 1 1 d c d d c e 3 1 1 3 1 1 d e d 0 e d f 10 Uma vez terminada a Tabulação de Routh passase à análise dos elementos da primeira coluna visto que eles serão os indicativos da existência de raízes fora do SPAE A análise é Todos os elementos da primeira coluna têm o mesmo sinal todas as raízes estão no SPAE Existem trocas de sinal nos elementos da primeira coluna existem tantas raízes no SPAD quantas forem as trocas de sinal Duas situações anormais podem acontecer Elas devem ser tratadas e sua interpretação traz informações sobre a localização das raízes São elas O primeiro elemento de uma linha é zero mas os demais não são Neste caso não é possível usar a tabela visto que o primeiro elemento é divisor e levaria a resultados infinitos A maneira de contornar o problema é retornar ao polinômio original multiplicandoo por um fator conhecido s Assim neste novo polinômio introduzse um raíz conhecida caso ela seja negativa assegurase que não introduz trocas de sinais e caso seja positiva introduz uma troca Recalculase o polinômio e refazse a tabulação Concluise sobre a localização das raízes levandose em consideração a natureza da raíz introduzida Todos os elementos de uma linha são nulos Esta situação ocorre quando uma ou mais das seguintes configurações de raízes existem Pares de raízes reais com sinais opostos simetria sobre o eixo real com respeito à origem Pares de raízes imaginárias conjugadas sinais contrários simetria sobre o eixo imaginário com respeito à origem Pares de raízes complexas conjugadas com simetria com respeito à origem nesta situação devem ocorrer de 4 em 4 visto que deve ser mantida a obrigatoriedade de pares complexos conjugados devido aos coeficientes serem reais Todas as situações descritas representam raízes simétricas com respeito à origem No primeiro e no terceiro casos há raízes no SPAD no segundo somente sobre a fronteira Observese que as duas únicas possibilidades de raízes sobre o eixo imaginário ficam determinadas da seguinte maneira Existência de raízes na origem fica determinada através de inspeção visual pela não existência do termo independente e dos demais termos de ordens baixas em ordem crescente Pelo segundo caso dos três correspondentes à linha de zeros Ressaltase que trocas de sinal na primeira coluna do arranjo só representam raízes no SPAD e não raízes na fronteira Observese ainda que as situações que levam à linha de zeros envolvem sempre números pares de pólos no primeiro e no segundo casos no mínimo 2 pólos e sempre múltiplos de 2 e no terceiro no mínimo 4 pólos e sempre múltiplos de 4 A linha de zeros ocorre sempre em um linha ímpar logo depois de uma par O grau da última linha par indica o número de raízes em situação de simetria Esta linha recebe o nome de equação auxiliar e é sempre uma equação que só tem a variável em potências pares devido à natureza da tabulação A maneira de tratar a situação é baseada na equação auxiliar e tem os seguintes passos Escrever a equação auxiliar Derivar a equação auxiliar com respeito à variável s Substituir os elementos da linha nula pelos coeficientes do polinômio obtido pela derivação Continuar a tabulação a partir desta última linha acrescentada e concluir sobre pólos no SPAD ou somente sobre o eixo Um passo adicional pode ser considerado Caso o polinômio anterior à linha de zeros possa ser resolvido resolvêlo para deteminar as raízes em condição de simetria 11 Convém ressaltar que o método de Routh para determinar as condições sobre os determinantes de Hurwitz fornece somente informações qualitativas sobre a estabilidade Não há qualquer informação sobre a natureza das respostas temporais do sistema ainda que se saiba que todos os modos são decrescentes no caso de não haver troca de sinal e nem raízes em condição de simetria Conheça um pouco sobre Adolf Hurwitz 18591919 matemático alemão visitando o seu verbete httpwwwhistorymcsstandacukBiographiesHurwitzhtml no MacTutor History of Mathematics archive httpwwwhistorymcsstandacuk Conheça um pouco sobre Edward John Routh 18311907 matemático inglês visitando o seu verbete httpwwwhistorymcsstandrewsacukBiographiesRouthhtml no MacTutor History of Mathematics archive httpwwwhistorymcsstandacuk IV Alguns Exemplos O objetivo desta seção é apresentar alguns exemplos de aplicação dos dois métodos apresentados Exemplo 1 Considerese o polinômio a seguir que é o do denominador da função de transferência de um SLITTC Utilizese o Método de RothHurwitz para determinar se todas as suas raízes estão no SPAD 32 48 s 18 s 3 s s a a s a s a s a s Ps 2 3 4 3 2 1 0 4 2 3 4 A tabulação é Examinandose a tabulação se pode observar que Não há qualquer inversão de sinal antes da linha de zeros logo não há qualquer raiz no SPAD fora das raízes em condição de simetria A linha de zeros é antecedida por um polinômio de grau 2 logo existem 2 raízes em condição de simetria Não há qualquer inversão de sinal após a linha de zeros logo das duas raízes em condição de simetria não há qualquer delas no SPAD Isto indica que podem estar somente sobre o eixo imaginário Resolvendo a equação oriunda do polinômio auxiliar da linha s1 se obtém as raízes em condição de simetria 0 32 2 s s 2 j 4 s 34 Estas são as raízes sobre o eixo imaginário Observação As raízes do polinômio são 1 s 1 2 s 2 e j 4 s 34 s4 s3 1 3 18 48 32 0 s2 2 32 0 s1 0 0 0 s1 4 0 0 s0 32 0 0 Linha de zeros 32 2 s2 s Nova linha s1 4s ds s d 12 Exemplo 2 Considerese o polinômio a seguir que é o do denominador da função de transferência de um SLITTC Utilizese o Método de RothHurwitz para determinar se todas as suas raízes estão no SPAD 160 s 2 138 s 33 s 8 s s a a s a s a s a s a s Ps 2 3 5 5 4 2 3 3 2 4 1 5 0 72 4 A tabulação é Examinandose a tabulação se pode observar que Não há qualquer inversão de sinal antes da linha de zeros logo não há qualquer raiz no SPAD fora das raízes em condição de simetria Este era um resultado esperado pois o polinômio foi obtido do do exemplo 1 através da multiplicação por 5 s A linha de zeros é antecedida por um polinômio de grau 2 logo existem 2 raízes em condição de simetria Esta situação era esperada pela mesma razão anterior Não há qualquer inversão de sinal após a linha de zeros logo das duas raízes em condição de simetria não há qualquer delas no SPAD Isto indica que podem estar somente sobre o eixo imaginário Resolvendo a equação oriunda do polinômio auxiliar da linha s1 se obtém as raízes em condição de simetria 0 160 10 s s 2 j 4 s 34 Estas são as raízes sobre o eixo imaginário Observação As raízes do polinômio são 1 s 1 2 s 2 j 4 s 34 e 5 s 5 Exemplo 3 Considerese o polinômio a seguir que é o do denominador da função de transferência de um SLITTC Utilizese o Método de RothHurwitz para determinar se todas as suas raízes estão no SPAD 0 4 2 3 4 1 5 s 3 s s 2 s a a s a s a s a s Ps 2 3 4 3 2 1 0 A tabulação é Examinandose a tabulação se pode observar que A primeira coluna da tabulação possui duas inversões de sinal logo há duas raízes na SPAD s5 s4 1 8 33 138 272 160 s3 1575 252 0 s2 10 160 0 s1 0 0 0 s1 20 0 0 s0 160 0 0 s4 s3 2 1 3 5 10 0 s2 7 10 0 s1 457 0 0 s0 10 0 0 Linha de zeros 160 10 s2 s Nova linha s1 20s ds s d 13 Observação As raízes do polinômio são j 093 1 s 12 e j 144 075 s 34 Exemplo 4 Considerese o polinômio a seguir que é o do denominador da função de transferência de um SLITTC Utilizese o Método de RothHurwitz para determinar se todas as suas raízes estão no SPAD O polinômio é formado pelo do exemplo 3 multiplicado por s2 16 Ou seja é introduzido um par de pólos imaginários puros localizados sobre o eixo imaginário 16 s a a s a s a s a s a s a s Ps 2 6 5 2 4 3 3 4 2 5 1 6 0 16 10 s 5 s 3 s s 2 s Ps 2 2 3 4 A tabulação é Examinandose a tabulação se pode observar que Há duas inversões de sinal antes da linha de zeros logo há duas raízes no SPAD fora do conjunto de raízes em condição de simetria Isto era esperado porque o polinômio foi gerado pelo produto do polinômio do exemplo 3 com um fator que como sabemos é um fator de simetria porém não possui quaisquer outras raízes fora da simetria sobre o eixo imaginário A linha de zeros é antecedida por um polinômio de grau 2 logo existem 2 raízes em condição de simetria Esta situação era esperada ppois a condição de simetria era conhecida Não há qualquer inversão de sinal após a linha de zeros logo das duas raízes em condição de simetria não há qualquer delas no SPAD Isto indica que podem estar somente sobre o eixo imaginário Observação As raízes do polinômio são j 093 1 s 12 j 144 075 s 34 e j 4 s 56 V Referências 01 Alan V Oppenheim Ronald W Schafer Discretetime Signal Processing PrenticeHall USA 1989 02 Alan V Oppenheim Alan S Willsky with S Hamid Nawab Signals Systems 2a edição PrenticeHall USA 1996 03 Benjamin C Kuo Automatic Control System 4a edição PrenticeHall USA 1982 04 David G Luenberger Introduction to Dynamic Systems Wiley USA 1979 s6 s5 2 1 35 21 58 80 160 0 s4 7 102 160 0 s3 457 7207 0 0 s2 10 160 0 0 s1 0 0 0 0 s1 20 0 0 0 s0 160 0 0 0 Linha de zeros 160 10 s2 s Nova linha s1 20s ds s d 14 Capítulo 9 ESTABILIDADE DE SISTEMAS TC REALIMENTADOS MÉT DE NYQUIST I Introdução Os dois últimos capítulos apresentaram assuntos relacionados à estabilidade dos sistemas Os assuntos foram divididos nos capítulos da seguinte maneira Conceitos de estabilidade associados ao vetor de estado e à relação entradasaída e suas expressoes matemáticas para os sistemas lineares e invariantes Ao final deste capítulo estabeleceuse que no caso destes sitemas a determinação das características de estabilidade se projetam na determinação da localização de raízes polinômios Os polinômios podem ser o característico da matriz de estado ou o do denominador da função de transferência de acordo com o tipo de estabilidade que esteja em consideração A localização no plano complexo pode ser relativa ao SPAE SemiPlano Aberto da Esquerda ou ao círculo de raio unitário centrado na origem em decorrência de estarem sendo examinados sistemas a tempo contínuo ou discreto respectivamente Métodos numéricos que permitem determinar de forma qualitativa a localizção das raízes dos polinômios Estes métodos não fornecem os valores das raízes mas as suas localizações no plano complexo Para o caso da localização relativa ao SPAE foi estudado o Método de RouthHurwitz e para a do círculo de raio unitario o de Jury Em todos os casos anteriores as expressões matemáticas e os métodos numéricos não levavam em consideração a estrutura do sistema mas partiam do pressuposto que o modelo matemático já estivesse em sua forma final após todas as eventuais simplificações Muitas vezes a simplificação dos modelos matemáticos é trabalhosa Então é útil a existência de um método que permita a análise da estabilidade a partir do conhecimento dos blocos que compõem o sistema tanto do caminho principal quanto do de realimentação Este capítulo apresenta o Critério de Nyquist que tem este objetivo Este Critério foi criado por Nyquist para estudar a estabilidade de amplificadores seu trabalho data de 1932 Observase que o Método de Nyquist contempla os sistemas a tempo contínuo pois é relativo à localização das raízes com respeito ao SPAE Conheça um pouco sobre Harry Nyquist 18891976 engenheiro americano lendo o documento do IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers sobre a sua vida e a sua contribuição à engenharia httpswwwieeexploreieeeorgdocument5512713 II Modelo do Sistema Considerese o sistema realimentado da figura 1 Figura 1 Sistema linear e invariante a tempo contínuo obtido por conexão realimentada H1s H2s Us Ys 15 O resultado desta conexão foi estudado no capítulo referente aos sistemas compostos O sistema 1 é o que modela o caminho principal e o 2 é o de realimentação Consideremse as transferências de cada um dos sistemas Caso monovariável funções de transferência s U Y s s H 1 1 1 ou H s U s Y s 1 1 1 1a s U Y s s H 2 2 2 ou H s U s Y s 2 2 2 1b O caso monovariável possui as duas formas alternativas para as expressões 1ab Caso multivariável matrizes de transferência H s U s Y s 1 1 1 2a H s U s s Y 2 2 2 2b Ressaltase que no caso multivariável não há forma alternativa para as expressões 2ab visto que as entidades são matrizes e vetores As expressões apresentadas bem como a figura 1 foram particularizadas para o caso do sistema a tempo contínuo Aproveitase a demonstraçãodo capítulo de sistemas compostos repetida a seguir Iniciase com o caso multivariável Y s Us U s 2 1 3 Y s Ys 1 4 Fazendose as substituições de 2ab podese obter a seqüência de expressões H s Ys H s Us H s U s H s Us Y s H s Us H s U s Ys 2 1 2 2 1 2 1 1 1 5 H s Us H s H s Ys Ys 1 2 1 6 H s Us H s H s Ys I 1 2 1 7 H s Us H s H s I Ys 1 1 2 1 8 Assim podese escrever Hf s Us s Us H Ys eq 9 H s H s H s I Hf s s H 1 1 2 1 eq 10 Nas expressões 9 e 10 apresentase uma maneira alternativa de designar a transferência equivalente é Hfs na qual a letra f significa feedback 16 No caso monovariável a expressão 10 se modifica para H s H s 1 H s H s H s H s 1 Hf s s H 2 1 1 1 1 2 1 eq 11 Esta última expressão pode também ser escrita como H s H s 1 s H s U Ys Hf s s H 2 1 1 eq 12 As próximas seções utilizarão as expressões 11 e 12 visto que somente sistemas monovariáveis são considerados III Método ou Critério de Nyquist O Método ou Critério de Nyquist é voltado à estabilidade de sistemas realimentados através do tratamento no domínio da freqüência ou seja das funções de transferência das diferentes partes que compõem os sistemas Sua principais características são Apresenta o mesmo tipo de informação qualitativa sobre a estabilidade do sistema que o Método de RouthHurwitz Além da característica anterior fornece informação sobre o grau de estabilidade do sistema estável e dá a indicação de como melhorar a estabilidade do sistema caso seja necessário Fornece informação sobre a resposta em freqüência do sistema Pode ser utilizado para estudar a estabilidade de sistemas com retardos Pode ser utilizado com modificações para sistemas não lineares Examinese a expressão 12 para constatar que a estabilidade do sistema realimentdo é determinada pelas raízes do polinômio do numerador de seu denominador ou seja pelo numerador de H s H s 1 2 1 Definase o produto a seguir que é o que existiria se os dois sistemas estivem ligados em série mas sem haver a malha fechada que leva à entrada a saída do segundo sistema Este produto é a função de transferência do caminho aberto e não da malha H s H s Fs 2 1 13 Examinemse as duas transferências que compõem 13 s D N s s H 1 1 1 14a s D N s s H 2 2 2 14b Substituindo 14ab em 13 se obtém s D s N s D N s s F 2 2 1 1 15 A substiuição de 14ab pode ser feita em 12 para dar origem a expressão N s N s s D s s D s Hf s s H 2 1 2 1 D 2 N1 eq 16 17 A expressão 16 deixa claro o trabalho de contas necessário ao cálculo do seu denominador que é o da função de transferência da conexão realimentada há dois produtos de polinômios e a subseqüente soma dos dois produtos O Critério de Nyquist estabelece relações entre Hfs e Fs ou seja entre o conhecimento dos blocos individuais contidos em Fs e o sistema realimentado descrito por Hf s As relações serão formalizadas através da investigação das respostas em freqüência dos blocos sob consideração A partir das mesmas será determinada a estabilidade do sistema a malha fechada Antes de ser estudado o Critério algumas relações precisam ser estabelecidas Identificação de pólos e zeros Os zeros da função de transferência do caminho Fs são os zeros de H s H s 2 1 Os pólos da função de transferência do caminho Fs são os pólos de H s H s 2 1 Os pólos da função de transferência do sistema a malha fechada Hf s são os zeros de Fs 1 H s H s 1 2 1 Os pólos de 1 Fs são os pólos de Fs ie da função de transferência do caminho A estabilidade assintótica caso do sistema controlável e observável bem como a sua BIBO estabilidade não é dependente da localização dos pólos e dos zeros da função de transferência do caminho Fs mas da função de transferência do sistema realimentado Hf s Uma vez estabelecidas as relações são necessárias algumas definições para poder apresentar o Critério Definição 1 Ponto Circundado Encircled Um ponto é dito circundado por um caminho fechado quando estiver dentro do caminho Definição 2 Ponto ou Região Enclausurada Enclosed Um ponto ou uma região é ditoa enclausuradoa por um caminho fechado se estiver do lado esquerdo do caminho quando o mesmo for percorrido no sentido préestabelecido Três exemplos são apresentados a seguir Um ponto circundado é mostrado na figura 2 no qual o ponto A é circundado pela curva fechada A figura 3 exibe um ponto circundado pela curva fechada no caso se confunde com a figura 2 devido à orientação da curva Na figura 4 é mostrado o ponto A não enclausurado pela curva fechada enquanto o ponto B está por ela enclausurado Figura 2 Ponto A circundado pela curva fechada A 18 Figura 3 Ponto A enclausurado pela curva fechada Figura 4 Ponto A não enclausurado e ponto B enclausurado pela curva fechada Definição 3 Número de Vezes que um Ponto é Circundado Number of Encirclement Considerese a figura 5 apresentada a seguir Nela examinese o vetor criado pela ligação do ponto A com o ponto S O ponto S será movido para percorrer a curva fechada iniciando e terminado a trajetória no memos ponto do plano complexo sobre a curva O número N de vezes que o ponto A é circundado pela curva é o número de 2 radianos que o vetor descreve quando S percorre a curva O número de múltiplos de 2 radianos é computado associando sinais opostos aos sentidos horário e antihorário e executando a soma lagébrica Figura 5 Ponto A circundado pela curva fechada Definição 4 Número de Vezes que um Ponto é Enclausurado Number of Enclosure Considerese a figura 6 apresentada a seguir O número N de vezes que o ponto A é enclausurado é o número de 2 radianos que o vetor descreve quando S percorre a curva O número de múltiplos de 2 radianos é computado associando sinais opostos aos sentidos horário e antihorário e executando a soma algébrica Figura 6 Ponto A enclausurado pela curva fechada A A B A S A S B 19 Observese ainda que figura 6 há o ponto B que é enclausurado uma única vez Se o sentido da curva fosse ao contrário então nenhum dos pontos seria enclausurado O Critério de Nyquist foi criado para aplicação em problemas de engenharia Ele á baseado no conhecido Princípio do Argumento da Teoria das Variáveis Complexas Ele é apresentado de uma forma simplificada a seguir Sejam uma variável complexa e uma função da variável complexa Variável complexa s que varia no plano complexo S Função da variável complexa s é uma função racional polinomial em s que varia em um plano complexo s possuindo um único valor para cada valor de s e analítica na região em consideração exceto em um número finito de ponto do plano complexo S Para cada ponto no plano S para o qual s é analíica existe somente um ponto no plano s Suponhase que um caminho fechado s é escolhido no plano S Se todos os pontos de curva s forem tais que s seja analítica nos mesmos então a curva correspondente no plano s é fechada também Observese que dependendo natureza de função s enquanto uma das curvas tem uma orientação a outra pode ter a mesma ou contrária Observese que no caso das funções racionais polinomiais do plano S para o plano s ainda o mapeamento seja de um para um pontos o reverso não é necessariamente verdadeiro Considere o exemplo 1 Exemplo 1 Seja a função 2 1s s s K s Esta função permite uma escrita alternativa s K 2 1s ss Suponhase que s tenha um valor constante qualquer real imaginário ou complexo e como o lado esquerdo da expressão é de 3o grau existirão 3 valores de s que satisfarão a equação Assim para cada valor de s existirão 3 valores de s Enunciase o Princípio do Argumento Princípio do Argumento Seja s uma função racional de um único valor para cada valor de s e analítica em uma dada região do plano complexo S exceto por um número finito de pontos Suponhase que um caminho fechado e arbitrário s é escolhido no plano S Os pontos correspondentes de s são desenhados no plano complexo s A curva que aparece neste último circundará a origem do plano um número de vezes igual ao número que é a diferença entre os números de zeros e de pólos de s que estão na região circundada pela curva s no plano S Podese escrever o Princípio do Argumento através de expressões matemáticas P Z N 17 Em 17 as letras significam 20 N número de vezes que a origem é circundada Z número de zeros de s circundados pela curva s no plano complexo S P número de pólos de s circundados pela curva s no plano complexo S As três possibilidades para N são ser positivo negativo ou nulo Examinese cada uma delas 0 P Z N ou seja Z P significa que s circunda mais zeros do que pólos de s Neste caso a curva em s circunda a origem do referido plano N vezes no mesmo sentido de s 0 P Z N ou seja Z P significa que s circunda iguais números de zeros e de pólos de s Neste caso a curva em s não circunda a origem do referido plano 0 P Z N ou seja Z P significa que s circunda menos zeros do que pólos de s Neste caso a curva em s circunda a origem do referido plano N vezes no sentido contrário ao sentido de s Podese então construir uma tabela de possibilidades o que é feito na tabela 1 NZP Sentido de s no plano S Curva em s No Circunda a Origem Sentido Circunda a Origem 0 Horário Antihorário N N Horário Antihorário 0 Horário Antihorário 0 0 NA NA 0 Horário Antihorário N N Antihorário Horário Tabela 1 Possibilidades de N número de vezes que a origem é circundada Para que o Princípio do Argumento possa ser aplicado de maneira a satisfazer à necessidade da determinação de números de pólos e zeros é necessário que a curva s seja escolhida de maneira adequada Antes de examinar esta escolha convém relembrar que o objetivo deste estudo é determinar se a função Fs 1 H s H s 1 2 1 possui zeros no SPAD SemiPlano Aberto da Direita do plano complexo S Isto porque como foi demonstrado anteriormente 12 os zeros desta expressão são os pólos da função de transferência a malha fechada Hf s Para que haja BIBOestabilidade é necessário que todos os pólos de Hf s estejam no SPAE Designese a função s Fs 1 s 18 Como o que se busca são zeros de 18 no SPAD eles significam pólos de Hf s no SPAD que não devem existir para que o sistema seja BIBOestável Devese pois escolher um caminho s que englobe todo o SPAD O caminho a ser utilizado no Plano S é chamado de Caminho de Nyquist Nyquist Path Caminho de Nyquist Nyquist Path O Caminho de Nyquist é curva s no plano S que engloba todo o SPAD SemiPlano Aberto da Direita do referido plano Ele acompanha todo o eixo imaginário de cima para baixo e com raio infinito circunda todo o SPAD Ele é percorrido no sentido antihorário Observese que o caminho engloba todos os pontos do SPAD pois percorre todo o eixo vertical e tem raio infinito quando faz a rotação for a dele Assim com este caminho e o Princípio do Argumento poderseá contar as voltas no entorno da origem do plano s para determinar a diferença entre os números de pólos e zeros da função dada por 18 contidas no referido semiplano 21 Uma observação é necessária sobre o caminho de Nyquist Ela diz respeito à situação em que pólos estejam sobre o eixo vertical Quando isto ocorrer o caminho deverá sofrer um desvio com um raio infinitesimal para dentro do SPAD de tal forma que o caminho não passe sobre o pólo Os exemplos mostrarão como se desvia de um pólo sobre o eixo Ainda que a função de interesse seja s como em geral as funções conhecidas são H1s e H2s cujo produto é s F passase a trabalhar com s F para a qual se utiliza o Critério de Nyquist A função s F tem seus pontos desenhados em um plano complexo chamado de s F também Passandose a trabalhar com a função s F não é considerada a origem como ponto a ser examinado mas o ponto 1 j 0 Observese que s referida à origem equivale à s F referida ao ponto 1 j 0 no plano s F ao invés do plano s Um comentário é importante a origem do plano s equivale no plano s F ao ponto 1 j 0 Ponto Crítico Chamase ponto crítico o que que é utilizado como referência para contar o número de voltas Assim o ponto crítico é 1 j 0 no plano Fs Observar 1 j 0 no plano Fs é o mesmo que observar 0 j 0 no plano s Existem duas estabilidades que podem ser de interesse A estabilidade do sistema a malha aberta que está associada à função Fs requerendo que esta função tenha pólos somente somente SPAE A estabilidade do sistema a malha fechada que está associada à função s requerendo que ela tenha zeros somente no SPAE Esta condição equivale a que a função Hf s tenha pólos somente no SPAE Assim estão em consideração dois conjuntos de pólos e zeros O primeiro diz respeito ao sistema a malha aberta para o qual a preocupação são os pólos de Fs O segundo é o dos pólos de Hf s que são os zeros de Fs 1 s Considerese inicialmente a determinação das características da malha fechada Para tal é necessário definir N 1 significa o número de vezes que o ponto 1 j 0 é circundado pela função Fs Z 1 significa o número de zeros de Fs 1 s que são circundados pelo caminho de Nyquist ou seja estão no SPAD P 1 significa o número de pólos de Fs 1 s que são circundados pelo caminho de Nyquist ou seja estão no SPAD Como também está sendo considerada a malha aberta outras definições são necessárias N0 significa o número de vezes que a origem é circundada pela função Fs Z0 significa o número de zeros de Fs que são circundados pelo caminho de Nyquist ou seja estão no SPAD 0 P significa o número de pólos de Fs que são circundados pelo caminho de Nyquist ou seja estão no SPAD Observese que N0 Z0 e 0 P referemse à análise do sistema a malha aberta enquanto N 1 Z 1 e P 1 referemse ao sistema realimentado malha fechada No mesmo gráfico no plano Fs podese 22 observar as voltas com respeito à origem para conhecer características da malha aberta e com respeito ao ponto 1 j 0 para conhecer as da malha fechada Observese o que segue Dado que os pólos de Fs e os de Fs 1 s são os mesmos a igualdade a seguir deve ser verificada 1 0 P P 19 A condição de estabilidade do sistema a malha aberta requer que P0 0 20 Dos itens anteriores podese concluir que 0 P P 1 0 21 A condição de estabilidade do sistema a malha fechada requer que 0 Z 1 22 Com as definições e considerações apresentadas é formulado o Critério de Nyquist para a determinação da estabilidade de sistemas a malha aberta e a malha fechada O critério é baseado no Princípio do Argumento e é enunciado a partir da seguinte formulação Critério de Nyquist Seja o sistema a malha fechada da figura 1 para o qual o denominador da função de transferência é Fs 1 s Sigamse os passos 1 Definase e construase o caminho de Nyquist 2 Determinemse N0 e N 1 de acordo com o gráfico de Nyquist de Fs com respeito à origem e ao ponto 1 j 0 3 Utilizando N0 e N 1 calculemse 0 0 0 N Z P no caso de Z0 ser conhecido 23 0 1 P P 24 1 1 1 N P Z 25 4 Como foi determinado que a condição de estabilidade é que Z 1 seja nulo a condição de estabilidade se expressa por 1 1 N P 26 Enunciase o Critério de Nyquist Para que o sistema a malha fechada seja estável é necessário que o gráfico de Nyquist de Fs circunde o ponto crítico 1 j 0 tantas vezes quantos forem os pólos de Fs que estiverem no SPAD e a orientação deve ser o sentido horário Um caso especial a ser examinado é aquele em que Fs não possui pólos no SPAD ie no caso em que 23 0 P P 0 1 27 Quando isto acontecer a condição de estabilidade se torna 1 1 Z N 28 A expressão 28 significa que N 1 só pode circundar o ponto 1 j 0 no sentido horário dado que Z 1 sendo o número de zeros de Fs 1 s é sempre positivo Como circundar no sentido anti horário significa enclausurar podese determinar a estabilidade estabelecendo se o ponto 1 j 0 é enclausurado pelo gráfico de Fs Além disto podese desenhar o gráfico de Nyquist sem ter que desenhar o caminho completo basta que seja traçado o trecho que vai de s j a s 0 ao longo do eixo imaginário Enunciase o Critério de Nyquist para este caso especial Critério de Nyquist para o Caso Especial 0 P 1 No caso de a função não possuir pólos no SPAD para que o sistema seja estável é necessário que o gráfico de Nyquist não enclausure o ponto crítico 1 j 0 Em adição se não for de interesse o número de raízes da equação que estão no SPAD mas somente a estabilidade do sistema a malha fechada é somente necessário desenhar o segmento do gráfico de Nyquist que corresponde à parte positiva do eixo imaginário A próxima seção apresenta uma série de exemplos IV Exemplos Esta seção tem por objetivo apresentar dois exemplos ilustrativos da utilização do Critério de Nyquist Exemplo 2 Considere um sistema que tenha as funções de transferência da malha direta e da realimentação dadas respectivamente pelas funções Hs e Gs As funções são 0 a a s 1 Hs 0 s K K Gs Com as duas funções determinase Fs a ss K Hs Gs Fs Examinase Fs e por ser simples percebese que não possui pólos no SPAD Logo 0 P P 0 1 Porém Fs possui um pólo na origem logo o seu caminho de Nyquist terá 4 segmentos pos precisará contornar a singularidade na origem O caminho é apresentado na figura que segue 24 O trecho 2 do caminho é mostrado em mais detalhe na próxima figura para ficar claro o contorno do pólo na origem A seguir será feita a análise por trecho para determinar a forma da curva no plano Fs Hs Gs A análise será iniciada pelo trecho 2 Análise do trecho 2 Neste trecho a variável complexa será representada em sua forma polar com raio infinitesimal e centro na origem e s j Substituase a expressão anterior de s na função Fs para obter a e e K Fs j j ej s Como o raio é infinitesimal pode ser desprezado frente ao a Assim a função fica a e K Fs j j s e a e K lim lim Fs j j 0 ej s 0 Examinandose a figura do contorno ao pólo segunda deste exemplo percebese que a fase varia de 2 a 2 passando por zero Logo podese concluir que quando s tiver Raio infinitesimal com fase 2 Fs terá raio infinito com fase 2 Raio infinitesimal com fase 0 Fs terá raio infinito com fase 0 Raio infinitesimal com fase 2 Fs terá raio infinito com fase 2 25 Assim percebese que enquanto s vai de 2 a 2 passando por zero com raio infinitesimal Fs vai de 2 a 2 passando por zero com raio infinito Análise do trecho 4 Neste trecho a variável complexa será representada em sua forma polar com raio R que tenderá a infinito e centro na origem R e s j Substituase a expressão anterior de s na função Fs para obter a R e e R K Fs j j R ej s Como o raio tenderá a infinito a pode ser desprezado frente à outra parcela dentro dos parênteses Assim a função fica e R K Fs j2 2 R ej s 0 e e R K lim Fs lim 2 j j2 2 R R ej s R Examinandose a figura do caminho de Nyquist primeira deste exemplo percebese que a fase varia de 2 a 2 passando por zero Logo podese concluir que quando s tiver Raio infinito com fase 2 Fs terá raio infinitesimal com fase Raio infinito com fase 0 Fs terá raio infinitesimal com fase 0 Raio infinito com fase 2 Fs terá raio infinitesimal com fase Assim percebese que enquanto s vai de 2 a 2 passando por zero com raio infinito Fs vai de a passando por zero com raio infinitesimal zero Análise dos trechos 1 e 3 Estes 2 trechos serão analisados em conjunto porque estão sobre o eixo imaginário Neles s será uma variável puramente imaginária com módulo variável j s Substituase a expressão anterior de s na função Fs para obter 2 3 2 2 4 2 j s a j a K a a j K a j j K a j j K a j j K Fs A expressão anterior é genérica para qualquer valor de entre e Há um ponto em que ocorre a sua interseção com o eixo real ou seja quando a parte imaginária de Fs é de nula A interseção ocorre em 0 a a Fs Im 2 3 Para que a expressão anterior se verifique é necessário que 26 Isto significa que aos extremos do eixo imaginário do plano S corresponderão os pontos de interseção de Fs com o eixo horizontal Verifiquese o valor de Fs nas interseções 0 a a j Re K j Fss Re 2 2 4 2 Como não há qualquer outra interseção com o eixo real então os trechos correspondentes ao eixo imaginário servem para unir as extremidades dos gráficos correspondentes aos trechos 2 e 4 Logo a forma do gráfico de Nyquist é Com o desenho feito podese concluir que tanto N 1 quanto N0 são nulos Por inspeção das funções dadas verificase que Z0 e 0 P são nulos também Sumarizando 0 P Z N N 0 0 1 0 A condição de estabilidade que para o caso é Fs não ter pólos no SPAD é 1 1 Z N Pelo Princípio do Argumento podese escrever 1 1 1 P N Z Como 0 P N 1 1 então 0 Z 1 1 1 Z N Assim podese afirmar que o sistema a malha fechada é estável É importante ressaltar que o sistema a malha fechada é estável independentemente dos valores de K desde que ele seja positivo A análise do caso em que K é negativo é deixada como problema aos alunos Exemplo 3 Seja um sistema cuja função de transferência de malha é 1 ss K s 1 Hs Gs Fs Este exemplo mostrará uma análise preliminar da estabilidade feita pela solução das raízes do polinômio do denominador da função de transferência do sistema realimentado Determinese inicialmente s 27 1 ss K s 1 1 ss 1 ss K s 1 1 Fs 1 s Os pólos de Hf s são os zeros de s logo devese analisar o numerador da expressão anterior 0 K 1 s K s K s 1 1 ss 2 Por inspeção da equação antreior constatase que qualquer valor positivo de K leva o polinômio a não ser Hurwitz logo não possuirá todas as suas raízes no SPAE A expressão para a determinação das raízes é 2 1 6 K K 1 K 2 4 K 1 K 1 K s 2 2 12 Resolvendo as raízes chegase à seguinte condição de ambas serem negativas 0 K 1 Imaginese agora que não se conhece o conceito de polinômio de Hurwitz e que K será considerado positivo Para fins da análise pelo Critério de Nyquist considerese o ganho K K 0 Para determinar o caminho de Nyquist examinese s F Percebese que existe um pólo na origem logo o caminho de Nyquist a ser usado é o mesmo do exemplo 2 Com o desvio do pólo na origem representado em A seguir será feita a análise por trecho para determinar a forma da curva no plano Fs Hs Gs A análise será iniciada pelo trecho 2 28 Análise do trecho 2 Neste trecho a variável complexa será representada em sua forma polar com raio infinitesimal e centro na origem e s j Substituase a expressão anterior de s na função Fs para obter 1 e e 1 K e Fs j j j ej s Como o raio do complexo é infinitesimal os 2 termos nos parênteses numerador e denominador podem ser desprezados frente à unidade Logo a expressão se torna j ej s e K Fs e e K lim lim Fs j j 0 ej s 0 Examinandose a figura do contorno ao pólo segunda deste exemplo percebese que a fase varia de 2 a 2 passando por zero Logo podese concluir que quando s tiver Raio infinitesimal com fase 2 Fs terá raio infinito com fase 2 2 Raio infinitesimal com fase 0 Fs terá raio infinito com fase 0 Raio infinitesimal com fase 2 Fs terá raio infinito com fase 2 3 2 2 Assim percebese que enquanto s vai de 2 a 2 passando por zero com raio infinitesimal Fs vai de 2 a 3 2 passando por com raio infinito A figura geométrica descrita é um semi círculo de raio infinito ocupando o semiplano esquerdo e com orientação no sentido antihorário Análise do trecho 4 Neste trecho a variável complexa será representada em sua forma polar com raio R que tenderá a infinito e centro na origem R e s j Substituase a expressão anterior de s na função Fs para obter 1 R e e R 1 K R e Fs j j j R ej s Como R tenderá a infinito as duas parcelas unitárias que exitem nos parênteses podem ser desprezadas ficando a expressão como e R K R e e R K R e Fs j j j j R ej s 0 e e R K lim Fs lim j j R R ej s R 29 Examinandose a figura do caminho de Nyquist primeira deste exemplo percebese que a fase varia de 2 a 2 passando por zero Logo podese concluir que quando s tiver Raio infinito com fase 2 Fs terá raio infinitesimal com fase 2 Raio infinito com fase 0 Fs terá raio infinitesimal com fase 0 Raio infinito com fase 2 Fs terá raio infinitesimal com fase 2 Assim percebese que enquanto s vai de 2 a 2 passando por zero com raio inffinito Fs vai de 2 a 2 passando por zero com raio infinitesimal zero Assim a figura é um semicírculo de raio zero orientado de 2 a 2 passando por zero Análise dos trechos 1 e 3 Estes 2 trechos serão analisados em conjunto porque estão sobre o eixo imaginário Neles s será uma variável puramente imaginária com módulo variável j s Substituase a expressão anterior de s na função Fs para obter 1 ss K s 1 Hs Gs Fs j 1 2 K 1 j 2 K 1 j j 1 K j 1 j j 1 j K 1 j j 1 K j Fs 3 2 2 4 2 2 j s A expressão anterior é genérica para qualquer valor de entre e Há um ponto em que ocorre a sua interseção com o eixo real ou seja quando a parte imaginária de Fs é de nula A interseção ocorre em 0 1 Fs Im 3 2 Para que a expressão anterior se verifique é necessário que 1 Verifiquese o valor de Fs nas interseções K 1 K 2 Re j1 Fss Re 3 Vêse então que a curva intercepta o eixo real na abcissa K para as duas freqüências positiva e negativa Pela análise do trecho 4 sabese que à ordenada j corresponde o ponto de raio zero e fase 2 enquanto à ordenada j corresponde o ponto de raio zero e fase 2 Assim à medida que s se desloca sobre o eixo imaginário De j até 1 j no plano s F a curva é desenhada de r 0 com fase 2 até r K com com fase ou fase dependendo do sinal de K De j1 até j no plano s F a curva é simétrica indo de r K com com fase ou fase dependendo do sinal de K para r 0 com fase 2 30 Resta analisar os 2 pedaços deste trecho que vão de j1 j até cerca de zero e desde até cerca de zero até j1 j Sabese que em j1 j no plano s F o ponto será K com fase ou Quando a freqüência se aproxima do zero vindo do ponto positivo o ponto em s F irá para r com fase 2 Quando a freqüência se afasta do zero indo para o ponto negativo ela parte do ponto r com fase 2 e vai em direção ao ponto K com fase ou Com estas informações podese desenhar o diagrama Com o desenho feito podese concluir que tanto N 1 quanto N0 são 1 Por inspeção das funções dadas verificase que s F não possui pólos no SPAD mas possui um zero nele Logo Z0 1 P0 0 Como os pólos de s F e de Fs 1 s são os mesmos podese escrever 0 P P 0 1 Logo a relação que computa o número de pólos de Fs 1 s no SPAD pode ser escrita 1 0 1 1 Z N Z1 1 A condição de estabilidade que para o caso é Fs não ter pólos no SPAD é 1 1 Z N Assim vêse que para valores positivos de K o sistema é instável pois há um zero de Fs 1 s no SPAD V Exemplos Adicionais K 31 O objetivo desta seção é apresentar exemplos adicionais da aplicação do Método de Nyquist resolvidos utilizando o MATLAB Exemplo 4 Considerese a equação 0 4 Ks 2 ss Esta equação pode ser reescrita como K 1 2 ss 4 s O resultado obtido traçando o Critério de Nyquist no MATALAB é a figura a seguir Nela do lado esquerdo está desenhado o Caminho de Nyquist e do direito o traçado de Fs no seu plano Observe se que o sentido do Caminho de Nyquist é horário Exemplo 5 Considerese a equação 0 5 4s Ks 2 ss Esta equação pode ser reescrita como 32 K 1 2 ss 5 4s s O resultado obtido traçando o Critério de Nyquist no MATALAB é a figura a seguir Nela do lado esquerdo está desenhado o Caminho de Nyquist e do direito o traçado de Fs no seu plano Observe se que o sentido do Caminho de Nyquist é horário Exemplo 6 Considerese a equação 0 1 4s Ks 2 ss Esta equação pode ser reescrita como K 1 2 ss 1 4s s O resultado obtido traçando o Critério de Nyquist no MATALAB é a figura a seguir Nela do lado esquerdo está desenhado o Caminho de Nyquist e do direito o traçado de Fs no seu plano Observe se que o sentido do Caminho de Nyquist é horário 33 Exemplo 7 Considerese a equação 0 4 Ks 5 4 s s s 2 Esta equação pode ser reescrita como K 1 5 4 s s s 4 s 2 O resultado obtido traçando o Critério de Nyquist no MATALAB é a figura a seguir Nela do lado esquerdo está desenhado o Caminho de Nyquist e do direito o traçado de Fs no seu plano Observe se que o sentido do Caminho de Nyquist é horário 34 Exemplo 8 Considerese a equação 0 52 37 s 10 s K s 5 4 s s s 2 3 2 Esta equação pode ser reescrita como K 1 5 4 s s s 52 37 s 10 s s 2 2 3 O resultado obtido traçando o Critério de Nyquist no MATALAB é a figura a seguir Nela do lado esquerdo está desenhado o Caminho de Nyquist e do direito o traçado de Fs no seu plano Observe se que o sentido do Caminho de Nyquist é horário 35 VI Problemas Propostos Os exercícios propostos têm o objetivo de fixar os conceitos e exercitar o método para diferentes naturezas dos sistemas 01 Resolva o exemplo 2 para o caso em que K 0 e a 0 02 Resolva o exemplo 2 para o caso em que K 0 e a 0 03 Utilize o Método de RouthHurwitz para confirmar o resultado do exemplo 2 de que a estabilidade não depende de K 04 Resolva o exemplo 3 para K 0 VII Referência 01 Benjamin C Kuo Automatic Control System 4a edição PrenticeHall USA 1982 36 Capítulo 10 MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES I Introdução Os três últimos capítulos apresentaram assuntos relacionados à estabilidade dos sistemas Os assuntos foram divididos nos capítulos da seguinte maneira Conceitos de estabilidade associados ao vetor de estado e à relação entradasaída e suas expressoes matemáticas para os sistemas lineares e invariantes Ao final deste capítulo estabeleceuse que no caso destes sitemas a determinação das características de estabilidade se projetam na determinação da localização de raízes polinômios Os polinômios podem ser o característico da matriz de estado ou o do denominador da função de transferência de acordo com o tipo de estabilidade que esteja em consideração A localização no plano complexo pode ser relativa ao SPAE SemiPlano Aberto da Esquerda ou ao círculo de raio unitário centrado na origem em decorrência de estarem sendo examinados sistemas a tempo contínuo ou discreto respectivamente Métodos numéricos que permitem determinar de forma qualitativa a localizção das raízes dos polinômios Estes métodos não fornecem os valores das raízes mas as suas localizações no plano complexo Para o caso da localização relativa ao SPAE foi estudado o Método de RouthHurwitz e para a do círculo de raio unitário o de Jury Método gráfico Critério de Nyquist para estudar a estabilidade de um sistema linear invariante no tempo a tempo contínuo e realimentado O critério permite analisar a estabilidade da transferência de caminho malha aberta e a malha fechada Durante o projeto de sistemas de controle muitas vezes é necessário que seja examinado o desempenho de um sistema quando um ou mais parâmetros do projeto variam dentro de faixas de valores possíveis Como uma conseqüência dos valores que podem ser assumidos pelos parâmetros de síntese o polinômio do denominador da função de transferência varia e com ele suas raízes Desta forma os modos variam também e conseqüentemente a dinâmica do sistema Podese com o parâmetro variável passar de estabilidade para instabilidade ou de transitórios rápidos para mais lentos ou ainda de transitórios oscilantes para não oscilantes Quaisquer variações da dinâmica podem ocorrer como conseqüência da variação dos modos O propósito deste capítulo é introduzir uma técnica que permita acompanhar a trajetória das raízes no plano complexo de um polinômio quando um de seus parâmetros do polinômio varia Ela é conhecida com Método do Lugar das Raízes Root Locus Plot Este método é genérico podendo ser aplicado a qualquer polinômio ainda que não seja um polinômio associado a um sistema de controle Exemplifica se que o método é usado quando se estudam circuitos RLC com o R variável percebese a passagem entre os casos sub super e criticamente amortecidos II Apresentação do Método do Lugar das Raízes O Método do Lugar das Raízes para o caso de um único parâmetro variável que é o caso a ser tratado neste capítulo baseiase na equação a seguir 0 b s b b s b s K s a s a a s a s s Fs n 1 m 2 m 2 1 m 1 m n 1 n 2 n 2 1 n 1 n 1 Na expressão 1 K é o parâmetro que varia e que ao variar modifica os coeficientes da equação e por conseqüência suas raízes Em geral K pode ser qualquer número real no intervalo No caso em questão o K é considerado real pois em aplicações reais os polinômios não possuem coeficientes complexos Quando K varia as raízes variam também Os lugares que elas ocupam no plano complexo com a variação de K recebem o nome genérico de Lugar da Raízes Root Locus Especificamente identificam se três categorias para o Lugar das Raízes Lugares das Raízes localização que as raízes ocupam quando K varia no intervalo 0 37 Lugares Complementares das Raízes localização que as raízes ocupam quando K varia no intervalo o Contorno das Raízes localização que as raízes ocupam quando a equação 1 possui mais de um parâmetro variável Lugares Completos das Raízes localização que as raízes ocupam quando existindo um único parâmetro variável K varia no intervalo É o conjunto dos dois primeiros definidos Considerese o sistema realimentado da figura 1 Figura 1 Sistema linear e invariante a tempo contínuo obtido por conexão realimentada O resultado desta conexão foi estudado no capítulo referente aos sistemas compostos O sistema 1 é o que modela o caminho principal e o 2 é o de realimentação Anteriormente foram analisados os casos multi e monovariável Consideremse as transferências de cada um dos sistemas e particularizese para o caso monovariável s U Y s s H 1 1 1 ou H s U s Y s 1 1 1 2a s U Y s s H 2 2 2 ou H s U s Y s 2 2 2 2b O caso monovariável possui as duas formas alternativas para as expressões 2ab Seja a transferência equivalente à conexão designada de Hfs na qual a letra f significa feedback Ela já foi calculada em capítulos anteriores e sua expressão é H s H s 1 s H s U Ys Hf s s H 2 1 1 eq 3 Sabese que as transferências de cada um dos sistemas são funções racionais polinomiais em s tal como será a função equivalente O polinômio do denominador de 3 é o que determina as características de estabilidade bem como outras características da dinâmica tais como a existência ou não oscilações e as constantes de tempo Porém o polinômio do denominador de 3 é o polinômio do numerador de seu denominador ou seja a condição de determinação de seus zeros é 0 H s H s 1 2 1 4 Esta conclusão já havia sido obtida no estudo do Critério de Nyquist Considerese a expressão 1 e executese a divisão da mesma pelo primeiro polinômio aquele que não está entre parênteses para obter 0 a s a a s a s s b s b b s b s s K 1 n 1 n 2 n 2 1 n 1 n n 1 m 2 m 2 1 m 1 m 5 H1s H2s Us Ys 38 Comparemse as expressões 4 e 5 Podese associar a transferência de caminho função a malha aberta em 4 H s H s 2 1 à parte racional polinomial em 5 Ou seja podese escrever n 1 n 2 n 2 1 n 1 n n 1 m 2 m 2 1 m 1 m 2 1 a s a a s a s s b s b b s b s s K s H s H 6 A expressão 6 é que será usada para apresentar o conceito de Lugares das Raízes Definição 1 Lugares Completos das Raízes Os Lugares Completos da Raízes são todos os lugares do plano complexo S que satisfazem à equação 0 H s H s 1 2 1 4 quando K varia no intervalo Para estabelecer as condições sob as quais 4 é satisfeita reescrevase a 6 sob a forma n 1 n 2 n 2 1 n 1 n n 1 m 2 m 2 1 m 1 m 2 r 1 r 2 1 a s a a s a s s b s b b s b s s K K H s H s s H s H 7 Em 7 s H1 r e s H2 r não contêm K que foi separado O produto H s H s 2 r 1 r é igual à fração da expressão 7 Substituase 7 em 4 para obter 0 K H s H s 1 2 r 1 r 8 K 1 H s H s 2 r 1 r 9 A partir de 9 estabelecemse as condições a serem satisfeitas para que a equação seja resolvida São elas Condição de módulo K 1 2s 1s Hr Hr 10 Condição de fase 0 1 K 2 2s 1s Hr Hr 11a 0 2 K 2s 1s Hr Hr 11b Onde é um inteiro podendo ser positivo ou negativo Para determinar os lugares das raízes determinamse todos os pontos do plano complexo S que satisfazem 11a e 11b e finalmente os valores de K ao longo dos lugares são determinados a partir de 10 A determinação dos lugares das raízes é um problema gráfico ainda que algumas regras analíticas possam ser formuladas a priori O ponto de partida do desenho dos lugares das raízes é o 39 conhecimento dos pólos e dos zeros das funções que modelam os blocos da malha aberta caminho ie H1s e H2s ou s H1 r e s H2 r Observese que existe um paralelo com o método de Nyquist no qual o conhecimento de H1s e H2s é necessário para que se possa analisar o comportamento do sistema a malha fechada No caso em questão a função a ser conhecida deve estar sob a forma da expressão 7 modificada como a seguir A modificação consiste na fatoração dos polinômios do numerador e do denominador em suas raízes n 2 1 m 2 1 2 r 1 r 2 1 p s p s p s z s z s z s K K H s H s H s H s 12 Em 12 1m zi i e 1n pj j são respectivamente os negativos dos zeros e dos pólos de H s H s 2 1 Esta maneira de escrever a fatoração é a mesma usada no traçado do Diagrama de Bode no estudo dos Circuitos Elétricos Como em todos os outros casos em consideração como o sistema é real os pólos e zeros ou são reais ou são pares complexos conjugados Substituindo os polinômios fatorados nas condições se obtém Condição de módulo K 1 p s z s rs Hr s H n 1 j j m 1 i i 2 1 13 Condição de fase 0 1 K 2 p s z s rs Hr s H n 1 j j m 1 i i 2 1 14a 0 2 K p s z s rs Hr s H n 1 j j m 1 i i 2 1 14b A partir das expressões 13 e 14ab podese desenhar os lugares completos das raízes Considere se o exemplo de viabilidade que segue Exemplo do Traçado Seja a função de transferência do caminho 3 2 1 2 1 p s p s s z s K H s H s Para fins do desenho considerese que 1 z é um real positivo implicando um zero negativo e sendo 2 p e 3 p um par complexo conjugado de parte real positiva implicando um par de pólos complexos conjugados com parte real negativa A existência de um termo em s indica que há um pólo na origem Considerese que existe um ponto genérico do plano S que será chamado 1 s Este ponto o zero e os pólos são mostrados na figura a seguir Cada pólo e zero é ligado ao ponto 1 s 40 Os ângulos formados pelo eixo real positivo com cada um dos vetores que ligam o zeros e os pólos aos ponto 1 s são respectivamente z1 p1 p2 e p3 Examinemse as condições para que o ponto 1 s pertença ao Lugares Completos das Raízes Considerando que K seja positivo para que isto aconteça é necessário que as seguintes condições sejam satisfeitas simultaneamente Condição de módulo K 1 p s p s s z s 3 1 2 1 1 1 1 Condição de fase 1 2 p s p s s z s 3 1 2 1 1 1 1 1 2 p3 p2 p1 z1 A condição de fase contida na última expressão é usada para determinar 1 s para os pontos dos lugares e dos lugares complementares das raízes a condição de ganho serve para determinar o ganho K que está associado a estes pontos Suponhase que 1 s tenha sido determinado ser um ponto de lugar das raízes então o K a ele correspondente é K z s p s p s s 1 1 3 1 2 1 1 Sejam A B C e D respectivamente os módulos dos vetores que ligam o zero e os 3 pólos ao ponto 1 s Como K foi suposto positivo podese modificar a expressão anterior para K A B C D A partir deste exemplo ilustrativo da parte gráfica do método podese sumarizar a solução do problema de determinar os pontos dos Lugares Completos das Raízes Re Im s1 41 Procuramse os pontos 1 s que satisfaçam a condição de fase Determinados os pontos 1 s determinamse as magnitudes que ligam cada um destes pontos aos pólos e zeros Determinadas as magnitudes calculamse os valores de K correspondentes a cada um dos pontos dos Lugares e dos Lugares Complemtares das Raízes Esta seção serviu para apresentar os princípios básicos do Método do Lugares das Raízes Para que o gráfico completo seja desenhado sem que um trabalho muito tedioso seja desenvolvido tornase necessário que algumas propriedades do método sejam tratadas Estas propriedades servem também para dar ao engenheiro uma sensibilidade sobre o assunto Quando este a tiver pode usar métodos numéricos de determinação dos Lugares das Raízes sem prejuízo da interpretação dos resultados obtidos A próxima seção tem o propósito de discutir tais propriedades III Propriedades dos Lugares das Raízes Completos As propriedades apresentadas para a construção dos Lugares Completos das Raízes são baseadas nas relações que existem entre os pólos e os zeros de H s H s 2 1 e os pólos e zeros de H s H s 1 2 1 As mesmas relações são a base do Critério de Nyquist estudado anteriormente Atenção deve ser dada ao fato que os gráficos obtidos de tais propriedades representam somente aproximações do desenho exato e por conseguinte servem somente como auxílio As subseções que se seguem abordam alguns pontos caracterísitcos do gráfico os números de ramos que o mesmo possui suas simetrias e outros pontos importantes do traçado Pontos com K 0 Os pontos nos quais K 0 são bem determinados no gráfico Eles podem ser obtidos a partir do resultado do teorema que segue Teorema 1 Pontos de K 0 dos Lugares Completos das Raízes Os pontos de K 0 dos Lugares Completos das Raízes são os pólos de H s H s 2 1 Este teorema é facilmente demonstrável para fazêlo basta partir da expressão 9 O resultado vale para os lugares e os complementares visto que K 0 Pontos com K Os pontos nos quais K são bem determinados no gráfico Eles podem ser obtidos a partir do resultado do teorema que segue Teorema 2 Pontos de K dos Lugares Completos das Raízes Os pontos de K dos Lugares Completos das Raízes são os zeros de H s H s 2 1 Como no caso anterior este teorema é facilmente demonstrável para fazêlo basta partir da expressão 9 Observese que este resultado vale tanto para os lugares como para os lugares complementares em se tratando que o sinal de K não está em consideração pois 1 1K é zero e o sinal oriundo de serve somente para indicar a maneira como o zero de H s H s 2 1 é aproximado Por ser H s H s 2 1 uma função racional polinomial em s existirão também zeros da mesma no infinito Exemplo 1 Considerese a equação 42 0 1 Ks 3 2s ss Esta equação pode ser reescrita como 0 3 2s s s 1 Ks 1 K 1 3 2s s s 1 s Observandose a última expressão percebese que Os pontos de K 0 levam o quociente a valer infinito logo serão os valores de s que levarão o denominador a zero portanto os pólos da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmo pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Logo os pontos de K 0 são p1 0 p2 2 p3 3 Os pontos de K levam o quociente a valer zero logo serão os valores de s que levarão o numerador a zero portanto os zeros da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmo pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Logo os pontos de K são z1 1 z2 z3 Os 2 últimos zeros os que são inifinitos levam a função a zero por tornar o denominador infinito Número de Ramos dos Lugares das Raízes Completos Um ramo dos Lugares das Raízes Completos é a trajetória descrita por uma das raízes quando K varia de a Desta maneira o número de ramos dos Lugar das Raízes Completos é o número de raízes da equação O teorema que segue estabelece este número Teorema 3 Número de Ramos dos Lugares Completos das Raízes O número de ramos dos Lugares das Raízes Completos correpondendo à equação 1 é dado pelo maior entre m e n Para demonstrar este teorema basta inspecionar a equação 1 para ver qual será o seu grau o maior entre n e m Simetria dos Lugares das Raízes Completos O traçado dos Lugares das Raízes Completos é simétrico com respeito ao eixo horizontal Esta propriedade simplifica o desenho pois basta desenhar um dos semiplanos e espelhar o desenho O teorema a seguir garante esta propriedade Teorema 4 Simetria do Gráfico dos Lugares Completos das Raízes O gráfico dos Lugares das Raízes Completos é simétrico com respeito ao eixo horizontal De uma maneira geral ele é simétrico com respeito ao eixo de simetria dos pólos e zeros Este teorema possui uma prova óbvia em se tratando que os coeficientes de H1s e H2s são reais Assim as raízes dos numeradores e dos denominadores de ambas as funções ou são reais ou são pares de complexos conjugados A segunda afirmativa do enunciado é provada através de se considerar qualquer outro eixo com respeito ao qual as raízes sejam simétricas 43 Exemplo 2 Considerese a equação 0 K 2 1s ss Esta equação pode ser reescrita como K 1 2 1s s s 1 Os pontos de K 0 levam o quociente a valer infinito logo serão os valores de s que levarão o denominador a zero portanto os pólos da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmo pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Logo os pontos de K 0 são p1 0 p2 1 p3 2 Os pontos de K levam o quociente a valer zero logo serão os valores de s que levarão o numerador a zero portanto os zeros da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmo pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Como o numerador é uma constante os pontos de K são os que levam o denominador a infinito logo são z1 z2 z3 O número de ramos é a ordem da equação pois é o número de raízes logo é Número de ramos 3 Eixos de simetria há 2 eixos de simetria O primeiro é o eixo horizontal e o segundo é um eixo vertical que passa em 1 visto facilmente pelos valores dos pólos A figura a seguir mostra a localização do segundo eixo de simetria Re Im 44 Assíntotas dos Lugares das Raízes Completos Comportamento das Raízes em s As propriedades dos lugares completos das raízes nas proximidades do infinito são importantes já que quando n for diferente de m então 2 n m dos lugares vão tender a no plano complexo S O teorema que se segue expressa esta propriedade Teorema 5 Assíntotas do Gráfico dos Lugares Completos das Raízes Para valores grandes de s os Lugares das Raízes para K 0 são assintóticos a linhas retas com ângulos dados por m n 1 2 onde 1 m 0 n e n e m são os graus dos polinômios em 1 Para K 0 os Lugares Completos das Raízes terão ângulos de assíntotas dados por m n 2 onde 1 m 0 n e n e m são os graus dos polinômios em 1 Exemplo 2 continuação Considerese a equação 0 K 2 1s ss Esta equação pode ser reescrita como K 1 2 1s s s 1 Nesta equação n 3 m 0 3 n m Assim serão 6 assíntotas 3 nos Lugares e 3 nos Lugares Complementares das Raízes Os ângulos são 3 1 2 3 0 1 3 5 2 3 2 0 0 3 2 1 3 4 2 Interseção das Assíntotas O teorema enunciado a seguir define o centróide que é o lugar de interseção das assíntotas dos Lugares Completos das Raízes 45 Teorema 6 Interseção das Assíntotas do Gráfico dos Lugares Completos das Raízes a A interseção das 2 n m assíntotas dos Lugares das Raízes Completos acontece sobre o eixo real b A interseção ocorre em m n a b 1 1 1 onde 1 a 1 b n e m são da expressão 1 OBS Considerando a maneira como são gerados os coeficientes de um polinômio a fórmula apresentada tem uma maneira mais fácil de ser calculada utilizando os pólos e zeros que em geral são conhecidos pois são necessários para determinar os pontos iniciais e finais do traçado Ela é m n z p m 1 j j n 1 i i 1 Lugares das Raízes no Eixo Real As considerações aqui apresentadas permitem determinar pontos dos Lugares e dos Lugares Complementares das Raízes que ficam sobre o eixo real Elas facilitam o traçado do gráfico Teorema 7 Lugares das Raízes Completos sobre o Eixo Real a Os Lugares das Raízes ie para K 0 só podem ser encontrados em uma dada seção do eixo real se o número total de pólos e zeros de H s H s 2 1 à direita da seção for ímpar b Os Lugares Complementares das Raízes ie para K 0 só podem ser encontrados em uma dada seção do eixo real se o número total de pólos e zeros de H s H s 2 1 à direita da seção for par Isto permite que se afirme que não é possível encontrar Lugares Complementares das Raízes em pontos do eixo real onde se encontram Lugares das Raízes e viceversa Qualquer que seja o caso pólos e zeros de H s H s 2 1 que sejam complexos conjugados não alteram os resultados apresentados em a e b A prova deste teorem se baseia nos seguintes pontos Quando um ponto genérico 1 s estiver localizado sobre o eixo real a soma dos ângulos de fase dos pólos e zeros que são complexos conjugados é sempre nula Somente os pólos e zeros que estiverem localizados à direita do ponto genérico 1 s sobre o eixo real contribuirão para o ângulo de fase em se tratando que os que estiverem à esquerda terão vetores com ângulos de fase nulos Considerando os pólos e zeros que estiverem à direita do ponto genérico 1 s sobre o eixo real as contribuições serão 1 zeros contribuirão com e 2 pólos contribuirão com Com respeito ao item a do teorema comentase que é fácil compreender que seja verdadeiro pois a fase deve ser já que K é positivo 1 Ângulos de Partida dos Pólos e Ângulos de Chegada aos Zeros dos Lugares Completos das Raízes O ângulo de partidachegada dos Lugares Completos das Raízes em um pólozero do produto H s H s 2 1 denota o comportamento do traçado na proximidade da referida raíz Os ângulos são 46 importantes pois permitem conhecer a trajetória dos Lugares Completos das Raízes sobre os póloszeros do produto Uma vez determinado o ângulo de partidachegada em um pólozero dos Lugares das Raízes para determinar o correspondente nos Lugares Complementares das Raízes basta adicionar ao valor obtido Considerese que está sendo traçado o gráfico dos Lugares das Raízes ou seja K 0 Para determinar o ângulo com o qual o gráfico se afasta de um pólo ou chega a um zero deve ser satisfeita a equação 14a que é a correspondente condição de fase a equação é repetida por conveniência 0 1 K 2 p s z s rs Hr s H n 1 j j m 1 i i 2 1 14a Para examinar 14a desenhamse os vetores que ligam cada um dos pólos e dos zeros ao ponto genérico 1 s que está muito próximo e se afastando de um pólo ou chegando a um zero A expressão 14a contém os ângulos de fase de todos os pólos e zeros Isolase aquele que se quer determinar e substituemse os demais que foram medidos no desenho dos vetores e calculados no desenho dos vetores e executase a conta Por exemplo suponhase que ângulo com o qual o gráfico se aproxima do zeros de número 3 Em 14a isolase a fase correspondente a este zeros em função dos demais 0 1 K 2 zi s z s p s z s 2 1 i m 4 i i n 1 j j 3 15 Existem duas expressões mais simples que servem de alternativas à 14a A primeira delas é para o cálculo do ângulo de partida de um pólo complexo e a segunda para o de chegada a um zero complexo Lembrando que há simetria com respeito ao eixo horizontal basta calcular somente o ângulo a um dos complexos que o do seu conjugado é facilmente determinado Designando de o ângulo de partida ou de chegada são as seguintes as expressões quando a singularidade for um pólo 2s 1s Hr s1 Hr s s1 s 14b quando a singularidade for um zero 2s 1s Hr s1 Hr s s1 s 14c Interseções dos Lugares das Raízes Completos com o Eixo Imaginário Os pontos nos quais os Lugares das Raízes Completos interceptam o eixo imaginário podem ser determinados através do Critério de RouthHurwitz Para tal apliquese o referido critério em função de K e se determine qualais os valores de K que levam à condição de raízes sobre o eixo imaginário Pontos de Sela de Afastamento dos Lugares das Raízes Completos Os pontos de sela que são pontos de afastamento dos Lugares Completos das Raízes correspondem a raízes múltiplas da equação Um exemplo no tão conhecido circuito RLC é aquele em que o discriminante é nulo e os dois pólos são iguais O número de caminhos que se cruzam no ponto é a multiplicidade da raíz em consideração que se olcaliza no ponto Os ângulos que separam os caminhos se afastamchegam ao ponto de sela o fazem em ângulos de n onde n é número de caminhos que saemchegam ao ponto Como a equação possui coeficientes reais os pontos de sela ou são reais ou ocorrem em pares complexos conjugados É importante ressaltar que um diagrama pode ter mais de um ponto de sela Há várias maneiras de se determinar um ponto de sela algumas são gráficas e outras são analíitcas A maneira mais usual enunciada no teorema que segue é analíica 47 Teorema 8 Pontos de Sela dos Lugares Completos das Raízes Os pontos de sela dos Lugares Completos das Raízes de 0 K H s H s 1 2 r 1 r 8 satisfazem à equação 0 ds d H s H s 2 r 1 r 16 A condição do teorema anterior é necessária ainda que não seja suficiente Assim todos os pontos de sela devem satisfazer 16 ainda que nem todas as raízes de 16 sejam pontos de sela Além de satisfazer à condição de derivada os pontos de sela devem satisfazer 0 K H s H s 1 2 r 1 r que é a expressão 8 Duas conclusões sobre os pontos de sela podem ser enunciadas Todas as soluções reais da condição de derivada 16 são pontos de sela do Lugar Completo das Raízes K em se tratando que o eixo real é ocupado pelos Lugares das Raízes Completos As soluções da condição de derivada 16 que são complexas conjugadas devem também satisfazer à equação 1 Em geral em condição adicional não causa maiores problemas porque podem existir pontos suficientes no desenho obtidos por outras propriedades Cálculo de K nos Lugares das Raízes Uma vez que os Lugares das Raízes esteja desenhados o valor do K em cada ponto é calculado através da expressão s H s H 1 K 2 r 1 r 17a Caso os polinômio estejam nas suas formas fatoradas então a expressão é m 1 i i n 1 j j z s p s K 17b Examinandose 17b podese concluir que o numerador é o produto dos módulos dos vetores que ligam o ponto genérico 1 s a cada um dos pólos e o denomiador é o equivalente mas ligando aos zeros A equação 17b ou a sua interpretação posterior é passível de solução analítica ou numérica Se a solução gráfica estiver em escala podese medir o gráfico para determinar os vetores e calcular K IV Alguns Exemplos O objetivo desta seção é apresentar alguns exemplos de aplicação do Método do Lugar das Raízes Exemplo 3 Considerese a equação 48 0 4 Ks 2 ss Esta equação pode ser reescrita como K 1 2 ss 4 s Os pontos de K 0 levam o quociente a valer infinito logo serão os valores de s que levarão o denominador a zero portanto os pólos da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmo pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Logo os pontos de K 0 são p1 0 2 p 2 Os pontos de K levam o quociente a valer zero logo serão os valores de s que levarão o numerador a zero portanto os zeros da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmos pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Os zeros são 4 z 1 z2 O número de ramos é a ordem da equação pois é o número de raízes logo é Número de ramos 2 O número de assíntotas para as duas situações K 0 e K 0 é Número de assíntotas 2 1 22 Os ângulos das assíntotas são 0 K 0 0 0 K 0 Os pontos de sela são calculados por 0 2 s s 8 8s s 2 ss 4 s ds d 2 2 2 6828 s 1 2 s 2 O gráfico correspondente ao Lugar das Raízes desenhado no MATLAB é apresentado a seguir 49 Exemplo 4 Considerese a equação 0 5 4s Ks 2 ss Esta equação pode ser reescrita como K 1 2 ss 5 4s s Os pontos de K 0 levam o quociente a valer infinito logo serão os valores de s que levarão o denominador a zero portanto os pólos da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmo pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Logo os pontos de K 0 são p1 0 2 p 2 Os pontos de K levam o quociente a valer zero logo serão os valores de s que levarão o numerador a zero portanto os zeros da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmos pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Os zeros são 4 z 1 5 z 2 O número de ramos é a ordem da equação pois é o número de raízes logo é Número de ramos 2 50 O número de assíntotas para as duas situações K 0 e K 0 é zero pois os dois zeros da função são finitos Os pontos de sela são calculados por 0 2 s s 4 40 s s 7 2 ss 5 4s s ds d 2 2 2 0 44 s 1 13 s 2 O gráfico correspondente ao Lugar das Raízes desenhado no MATLAB é apresentado a seguir Exemplo 5 Considerese a equação 0 1 4s Ks 2 ss Esta equação pode ser reescrita como K 1 2 ss 1 4s s Os pontos de K 0 levam o quociente a valer infinito logo serão os valores de s que levarão o denominador a zero portanto os pólos da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmo pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Logo os pontos de K 0 são p1 0 2 p 2 51 Os pontos de K levam o quociente a valer zero logo serão os valores de s que levarão o numerador a zero portanto os zeros da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmos pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Os zeros são 4 z 1 1 z 2 O número de ramos é a ordem da equação pois é o número de raízes logo é Número de ramos 2 O número de assíntotas para as duas situações K 0 e K 0 é zero pois os dois zeros da função são finitos Neste caso não há pontos de sela porque não há dois pólos finitos reais juntos e nem dois zeros finitos reais juntos Os pólos e zeros se alternam sobre o eixo real O gráfico correspondente ao Lugar das Raízes desenhado no MATLAB é apresentado a seguir Exemplo 6 Considerese a equação 0 4 Ks 5 4 s s s 2 Esta equação pode ser reescrita como K 1 5 4 s s s 4 s 2 52 Os pontos de K 0 levam o quociente a valer infinito logo serão os valores de s que levarão o denominador a zero portanto os pólos da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmo pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Logo os pontos de K 0 são p1 0 j 2 p 23 Os pontos de K levam o quociente a valer zero logo serão os valores de s que levarão o numerador a zero portanto os zeros da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmos pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Como o numerador é um polinômio de grau inferior ao do denominador por duas unidades haverá e zeros no infinito e um finito Os zeros são 4 z 1 z23 O número de ramos é a ordem da equação pois é o número de raízes logo é Número de ramos 3 O número de assíntotas para as duas situações K 0 e K 0 é Número de assíntotas 4 1 23 Os ângulos das assíntotas são 0 K 2 0 0 K 2 3 1 0 0 K 0 0 K 1 Neste caso não há pontos de sela porque não há dois pólos finitos reais juntos e nem dois zeros finitos reais juntos Há um só pólo e um só zero no eixo real O gráfico correspondente ao Lugar das Raízes desenhado no MATLAB é apresentado a seguir 53 Exemplo 7 Considerese a equação 0 52 37 s 10 s K s 5 4 s s s 2 3 2 Esta equação pode ser reescrita como K 1 5 4 s s s 52 37 s 10 s s 2 2 3 Os pontos de K 0 levam o quociente a valer infinito logo serão os valores de s que levarão o denominador a zero portanto os pólos da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmo pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Logo os pontos de K 0 são p1 0 j 2 p 23 Os pontos de K levam o quociente a valer zero logo serão os valores de s que levarão o numerador a zero portanto os zeros da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmos pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Os zeros são 4 z 1 j2 3 z 23 O número de ramos é a ordem da equação pois é o número de raízes logo é Número de ramos 3 54 Não haverá assintotas pois todos os zeros são finitos Neste caso não há pontos de sela porque não há dois pólos finitos reais juntos e nem dois zeros finitos reais juntos Há um só pólo e um só zero no eixo real O gráfico correspondente ao Lugar das Raízes desenhado no MATLAB é apresentado a seguir Exemplos Adicionais A disciplina Linear Physical Systems Analysis httplpsaswarthmoreedu do Swarthmore College httpwwwswathmoreedu oferece em acesso aberto um ótimo conjunto de exemplos do Método do Lugar da Raízes Estudeos em httplpsaswarthmoreeduRootLocusRLocusExampleshtmlex1 É particularmente importante a parte referente à uma fraqueza do método V Conclusões As regras apresentadas nas seções anteriores auxiliam na construção dos Lugares das Raízes em todas as suas opções de um grande número de problemas Alguns casos mais complicados que não podem ser resolvidos através do uso destas regras requerem o uso do computador para calcular os valores dos pontos das trajetórias VI Exercícios Propostos Os exercícios propostos têm o objetivo de fixar os conceitos e exercitar o método para diferentes naturezas dos sistemas 55 01 No capítulo referente ao Critério de Nyquist foi resolvido o exemplo com as funções 0 a a s 1 Hs e 0 s K K Gs Resolvao pelo Método dos Lugares das Raízes 02 Resolva o exercício 1 para o caso em que K 0 e a 0 03 Resolva o exercício 1 para o caso em que K 0 e a 0 04 Resolva o exercício 1 para o caso em que K 0 e a 0 VII Referências 01 Katsuhiko Ogata Engenharia de Controle Moderno 3a edição PHB Brasil 1998 02 Benjamin C Kuo Automatic Control System 4a edição PrenticeHall USA 1982
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1 Número 05 Maio 2011 Notas de Aula de Controles e Servomecanismos Volume 3 Ana Pavani 2 APRESENTAÇÃO Estas notas de aula têm o objetivo de complementar o material apresentado nos livros de referência da disciplina ENG 1417 Controles e Servomecanismos bem como de servir de guia à ordem na qual os tópicos serão ministrados Elas cobrem assuntos referentes às técnicas clássicas de controle e também aqueles referentes ao controle moderno Considerando que cada vez mais há implementação de controle através de circuitos digitais é apresentada a parte referente a sistemas a tempo discreto As notas são apresentadas em quatro volumes para que os arquivos não excedam 15 MB Há um volume anexo contendo três artigos sobre assuntos complementares que foram desenvolvidos pelos alunos da turma citada no último parágrafo Foram dedicados e criteriosos revisores destas notas os alunos de graduação Bernard Pereira de Oliveira Engenharia Elétrica e Eduardo Oest Moreira Engenharia de Controle e Automação estagiários do LAMBDA Laboratório de Automação de Museus Bibliotecas Digitais e Arquivos do Departamento de Engenharia Elétrica que trabalham no projeto dos Livros Interativos de Engenharia Elétrica Uma grande contribuição às notas foi dada pela turma de ENG1417 Controles e Servomecanismos em 20141 Os alunos críticos e contributivos deram sugestões e resolveram vários exemplos no MATLAB A turma era composta por Alexandre Sheng Hsien Su Bruna dos Guaranys Martins Camila Schuina Neves Carlos Adalberto Samayoa Frederico Kos Botelho Isabela Cunha Maia Nobre Marcelo Maceira de Almeida Neves Roberto Bandeira de Mello M da Silva e Stella Salim Gouvea Roberto Bandeira de Mello M da Silva monitor da disciplina em 20142 resolveu os exemplos do Critério de Nyquist utilizando o MATLAB 3 SUMÁRIO Volume 1 01 Introdução Controles e Servomecanismos 02 Os sistemas lineares e os modelos por variáveis de estado 03 Sistemas compostos 04 Propriedades dos sistemas Volume 2 05 Controlabilidade 06 Observabilidade 07 Estabilidade Volume 3 08 Raízes de polinômios 09 Método de Nyquist 10 Método do Lugar das Raízes Volume 4 11 Realimentação de estado aplicada ao problema do controle modal 12 Observador de Luenberger 13 Especificações no domínio do tempo técnicas clássicas 14 Especificações no domínio da freqüência técnicas clássicas 15 Controle PID Volume de Anexos 16 Obtenção de equações dinâmicas em formas canônicas a partir da função de transferência 17 Método do Lugar das Raízes para dois parâmetros variáveis 18 Rastreamento de uma referência 4 Capítulo 8 LOCALIZAÇÃO DE RAÍZES DE POLINÔMIOS I Introdução Como foi estudado no capítulo de estabilidade a determinação da existência ou de um certo tipo de característica de estabilidade em um sistema linear e invariante é reduzido à determinação da localização de raízes de polinômios Duas situações se distingüem a priori Localização no que diz respeito ao semiplano esquerdo do plano complexo É o caso que ocorre quando são tratados os sistemas a tempo contínuo No caso da Estabilidade Assintótica o polinômio cujas raízes precisam ser examinadas se estão todas dentro do semiplano aberto da esquerda é o característico da matriz de estado No caso da Estabilidade no Sentido de Lyapunov o polinômio é o mesmo e o semiplano também mas podem sob certas circunstâncias existir raízes na fronteira ie sobre o eixo imaginário No caso da BIBOEstabildiade o polinômio é o do denominador da função de transferência e o semiplano é o mesmo Localização no que diz respeito ao círculo de raio unitário no plano complexo É o caso que ocorre quando são tratados os sistemas a tempo discreto No caso da Estabilidade Assintótica o polinômio cujas raízes precisam ser examinadas se estão todas dentro do círculo de raio unitário centrado na origem é o característico da matriz de estado No caso da Estabilidade no Sentido de Lyapunov o polinômio é o mesmo e o círculo também mas podem sob certas circunstâncias existir raízes na fronteira ie sobre a circunferência No caso da BIBOEstabildiade o polinômio é o do denominador da função de transferência e o círculo é o mesmo As próximas seções apresentam dois métodos um para cada caso II Métodos para a Determinação da Localização de Raízes de Polinômios com Respeito ao Círculo de Raio Unitário Método de Jury Esta seção apresenta o método que serve para determinar a localização das raízes de polinômios frente ao círculo de raio unitário centrado na origem Dois são os métodos utilizados para esta determinação O primeiro é o Método de Jury estabelecido por Jury e Blanchard e o segundo é o Método de SchurCohn também designado de Segunda Formulação de Jury O primeiro será abordado nesta disciplina enquanto o segundo não Considerese um polinônio Pz 0 1 1 n 1 n n n b b z z b b z Pz 1 Onde i 0 n bi R e 0 bn O método vale para qualquer polinômio mas no contexto da aplicação na determinação das características de estabilidade de sistemas a tempo discreto eles serão os mencionados na seção anterior O método é divido em duas partes as verificações preliminares e a tabulação Só se passa à segunda se os resultados das verificações forem satisfeitos 5 Verificações preliminares 1 n 0 b b 2a 2 0 Pz z 1 2b 3 0 para n ímpar 0 para n par Pz 1 z 2c Uma vez que as três verificações preliminares2abc sejam satisfeitas o passo seguinte é a construção da tabulação Tabulação ou arranjo de Jury 1 Cálculo do número de etapas A tabulação ou arranjo de Jury é executada em etapas como será apresentado a seguir O número de etapas é função do grau do polinômio sendo examinado Seja j 0 jmáx o contador de etapas Foi designado de jmáx o número da etapa final sua expressão é 2 n jmáx 3 Observase que na tabulação cada etapa terá duas linhas Com o número total de etapas calculado partese para o arranjo de Jury 2 Arranjo de Jury O arranjo de Jury é apresentado na tabela 1 j linha z0 z1 z2 z3 zni zn1 zn 0 1 b0 b1 b2 b3 bni bn1 bn 2 bn bn1 bn2 bn3 bi b1 b0 1 3 c0 c1 c2 c3 cni cn1 4 cn1 cn2 cn3 cn4 ci1 c0 2 5 d0 d1 d2 d3 dni 6 dn2 dn3 dn4 dn5 di2 n3 2n5 u0 u1 u2 u3 2n4 u3 u2 u1 u0 n2 2n3 v0 v1 v2 2n2 v2 v1 v0 Tabela 1 Arranjo de Jury Observase que na primeira linha da etapa 0 transcrevemse os coeficientes do polinômio do 0 ao n e na segunda os mesmos coeficientes porém na ordem inversa ou seja de n a 0 Nas etapas subseqüentes aparecem novos coeficientes que são calculados nas linhas ímpares são escritos os resultados dos cálculos e nas pares os mesmos são transcritos na ordem inversa O cálculo dos coeficientes é baseado na existência em cada etapa de dois elementos que são chamados de pivôs Os pivôs são sempre os elementos das duas primeiras colunas de cada etapa Assim por exemplo na primeira etapa os pivôs são 0 b e n b As expressões para o cálculo dos coeficientes são apresentadas a seguir 6 i n n i 0 i b b b b det c 4a i 1 n n i 1 0 i c c c c det d 4b i 2 n n i 2 0 i d d d d det e 4c i 3 3 i 0 i u u u u det v 4d Uma vez computados todos os coeficientes e montado o arranjo devese proceder à análise das condições a seguir que devem ser satisfeitas todas simultaneamente Caso alguma delas não seja satisfeita o polinômio não terá todos as suas raízes dentro do círculo de raio unitário centrado na origem do plano complexo Z n 1 0 c c 5a n 2 0 d d 5b n 3 0 e e 5c 2 0 v v 5d Uma vez que todos os passos foram apresentados podese formular um roteiro de aplicação do método Roteiro de aplicação do método Passo no 1 Verificar se as três condições preliminares 30abc são satisfeitas Caso isto não aconteça pelo menos uma das raízes estará fora do ou sobre o círculo de raio unitário centrado na origem do plano complexo Z Nesta situação parar o método Caso as três sejam satisfeitas passar ao passo seguinte Passo no 2 Calcular o número máximo de etapas através da expressão 3 2 n jmáx 3 Caso o resultado de 3 seja nulo o método deve ser suspenso pois há informações suficientes para calcular as raízes Passo no 3 Determinar o número de linhas que serão necessárias para construir a tabulação em função do resultado do passo anterior 7 Passo no 4 Construir o arranjo de Jury e verificar a cada etapa se a correspondente condição é satisifeita Caso uma das condições não seja satisfeita interromper o cálculo pois uma das raízes do polinômio está fora do ou sobre o círculo de raio unitário centrado na origem do plano complexo Z Caso ela seja satisfeita passar à etapa seguinte Convém ressaltar que para a verificação de cada condição somente o primeiro e o último coeficientes de cada primeira linha são necessários O método apresentado é de simples aplicação não requerendo qualquer auxílio de cálculo O seu grau de dificuldade e de esforço é compatível com o de RouthHurwitz que tem função análoga mas para determinar a localização das raízes em relação ao semiplano aberto da esquerda do plano complexo Elyahu Ibraham Jury 1923 é um engenheiro e cientista americano que muito contribuiu para a área de sistemas a tempo discreto Aprenda mais sobre ele lendo o texto escrito por Kamal Premaratne disponível em httpwwwgooglecomurlsatrctjqesrcssourcewebcd2cadrjauact8ved0CCcQ FjABurlhttp3A2F2Fwwwresearchgatenet2Fpublication2F224101352EliahuIJuryHisto ricalPerspectives2Flinks2F0fcfd50c27e39c0364000000eiIeFGVKm8JsvIgwSOrYCgCAusgAFQj CNFBBMeVrdWpMSAoQ6L8DosJvu0qqw III Métodos para a Determinação da Localização das Raízes de Polinômio com Respeito ao SemiPlano Aberto da Esquerda Método de RouthHurwitz Este segundo método a ser tratado diz respeito a determinar se as raízes de um polinômio estão dentro do semiplano aberto da esquerda SPAE do plano complexo Como no caso anterior o polinômio em consideração depende do tipo de estabilidade que está sendo examinada O interesse é deteminar se todas as raízes estão dentro do SPAE ou seja se todas têm parte real negativa Quando isto acontece o polinômio é chamado de Polinômio de Hurwitz como definido a seguir Definição 1 Polinômio de Hurwitz Um polinômio é chamado de Polinômio de Hurwitz se todas as suas raízes tiverem parte real negativa o que é equivalente a dizer que todas estão localizadas no semiplano aberto da esquerda do plano complexo O método apresentado a seguir chamado de Método de RouthHurwitz tem por objetivo determinar se um polinômio é Polinômio de Hurwitz Seja um polinômio n 1 n 1 n 1 n 0 a s a a s a s Ps 6 Onde i 0 n ai R Antes que o método seja estudado duas condições necessárias porém não suficientes para que o polinômio seja Hurwitz são apresentadas 8 Condições necessárias porém não suficientes para que um polinômio seja Hurwitz As seguintes condições necessárias porém não suficientes para que um polinômio seja Polinômio de Hurwitz são O polinômio deve ser completo Todos os coeficientes do polinômio devem ter o mesmo sinal As duas condições podem ser sintetizadas afirmando que todos os coeficientes devem ser positivos Caso encontrese um polinômio com todos os coeficientes negativos multiplicase o mesmo por 1 Ressaltase que multiplicar um polinômio por uma constante não altera suas raízes Também antes de apresentar o método algumas relações entre as raízes do polinômio e os seus coeficientes devem ser discriminadas todas as raízes a a 0 1 duas a duas produtos de todas as raízes a a 0 2 três a três produtos de todas as raízes a a 0 3 7 produto de todas as raízes 1 a a n 0 n Assim é facilmente compreensível que todas as relações acima necessitem ser positivas para que nenhuma raiz seja nula ou de parte real positiva Porém estas relações não são suficientes Para que se estabeleça a condição suficiente é necessário que se definam os Determinantes de Hurwitz Os Determinantes de Hurwitz são 1 1 1 a a D 2 0 3 1 2 a a a a D 3 1 4 2 0 5 3 1 2 a a 0 a a a a a a D 8 m 2m 5 3 1 2m 4 4 2 0 2m 3 5 3 1 2m 2 6 4 2 0 2m 1 7 5 3 1 m a 0 0 0 0 a a a 0 0 a a a a 0 a a a a 0 a a a a a a a a a a D 9 Condição necessária e suficiente para que um polinômio seja Hurwitz A condição necessária e suficiente para que um polinômio seja Polinômio de Hurwitz ou seja que todas as suas raízes tenham parte real negativa é que todos os Determinantes de Hurwitz Dk k 1 n dados pela conjunto 33 seja positivos Aparentemente o cálculo dos Determinantes de Hurwitz é muito trabalhoso Para esta determinação é que se usa o Método de RouthHurwitz também conhecido por Método de Routh que torna o cálculo muito simples Seja o polinômio Ps dado por 6 porém particularizado para n 6 6 5 2 4 3 3 4 2 5 1 6 0 a a s a s a s a s a s a s Ps 8 Este polinômio servirá de exemplo para a montagem da tabulação s6 s5 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 0 s4 b1 b2 b3 0 s3 c1 c2 0 0 s2 d1 d2 0 0 s1 e1 0 0 0 s0 f1 0 0 0 Tabela 2 Tabulação ou arranjo de Routh Na tabela 2 os coeficientes são calculados pelas expressões 1 0 3 2 1 1 a a a a a b 1 0 5 4 1 2 a a a a a b 6 1 0 6 1 3 a a a 0 a a b 1 1 2 3 1 1 b a b b a c 37 1 1 3 5 1 2 b a b b a c 1 1 2 2 1 1 c b c c b d 1 2 1 2 1 2 c d b 0 d d c 1 1 2 2 1 1 d c d d c e 3 1 1 3 1 1 d e d 0 e d f 10 Uma vez terminada a Tabulação de Routh passase à análise dos elementos da primeira coluna visto que eles serão os indicativos da existência de raízes fora do SPAE A análise é Todos os elementos da primeira coluna têm o mesmo sinal todas as raízes estão no SPAE Existem trocas de sinal nos elementos da primeira coluna existem tantas raízes no SPAD quantas forem as trocas de sinal Duas situações anormais podem acontecer Elas devem ser tratadas e sua interpretação traz informações sobre a localização das raízes São elas O primeiro elemento de uma linha é zero mas os demais não são Neste caso não é possível usar a tabela visto que o primeiro elemento é divisor e levaria a resultados infinitos A maneira de contornar o problema é retornar ao polinômio original multiplicandoo por um fator conhecido s Assim neste novo polinômio introduzse um raíz conhecida caso ela seja negativa assegurase que não introduz trocas de sinais e caso seja positiva introduz uma troca Recalculase o polinômio e refazse a tabulação Concluise sobre a localização das raízes levandose em consideração a natureza da raíz introduzida Todos os elementos de uma linha são nulos Esta situação ocorre quando uma ou mais das seguintes configurações de raízes existem Pares de raízes reais com sinais opostos simetria sobre o eixo real com respeito à origem Pares de raízes imaginárias conjugadas sinais contrários simetria sobre o eixo imaginário com respeito à origem Pares de raízes complexas conjugadas com simetria com respeito à origem nesta situação devem ocorrer de 4 em 4 visto que deve ser mantida a obrigatoriedade de pares complexos conjugados devido aos coeficientes serem reais Todas as situações descritas representam raízes simétricas com respeito à origem No primeiro e no terceiro casos há raízes no SPAD no segundo somente sobre a fronteira Observese que as duas únicas possibilidades de raízes sobre o eixo imaginário ficam determinadas da seguinte maneira Existência de raízes na origem fica determinada através de inspeção visual pela não existência do termo independente e dos demais termos de ordens baixas em ordem crescente Pelo segundo caso dos três correspondentes à linha de zeros Ressaltase que trocas de sinal na primeira coluna do arranjo só representam raízes no SPAD e não raízes na fronteira Observese ainda que as situações que levam à linha de zeros envolvem sempre números pares de pólos no primeiro e no segundo casos no mínimo 2 pólos e sempre múltiplos de 2 e no terceiro no mínimo 4 pólos e sempre múltiplos de 4 A linha de zeros ocorre sempre em um linha ímpar logo depois de uma par O grau da última linha par indica o número de raízes em situação de simetria Esta linha recebe o nome de equação auxiliar e é sempre uma equação que só tem a variável em potências pares devido à natureza da tabulação A maneira de tratar a situação é baseada na equação auxiliar e tem os seguintes passos Escrever a equação auxiliar Derivar a equação auxiliar com respeito à variável s Substituir os elementos da linha nula pelos coeficientes do polinômio obtido pela derivação Continuar a tabulação a partir desta última linha acrescentada e concluir sobre pólos no SPAD ou somente sobre o eixo Um passo adicional pode ser considerado Caso o polinômio anterior à linha de zeros possa ser resolvido resolvêlo para deteminar as raízes em condição de simetria 11 Convém ressaltar que o método de Routh para determinar as condições sobre os determinantes de Hurwitz fornece somente informações qualitativas sobre a estabilidade Não há qualquer informação sobre a natureza das respostas temporais do sistema ainda que se saiba que todos os modos são decrescentes no caso de não haver troca de sinal e nem raízes em condição de simetria Conheça um pouco sobre Adolf Hurwitz 18591919 matemático alemão visitando o seu verbete httpwwwhistorymcsstandacukBiographiesHurwitzhtml no MacTutor History of Mathematics archive httpwwwhistorymcsstandacuk Conheça um pouco sobre Edward John Routh 18311907 matemático inglês visitando o seu verbete httpwwwhistorymcsstandrewsacukBiographiesRouthhtml no MacTutor History of Mathematics archive httpwwwhistorymcsstandacuk IV Alguns Exemplos O objetivo desta seção é apresentar alguns exemplos de aplicação dos dois métodos apresentados Exemplo 1 Considerese o polinômio a seguir que é o do denominador da função de transferência de um SLITTC Utilizese o Método de RothHurwitz para determinar se todas as suas raízes estão no SPAD 32 48 s 18 s 3 s s a a s a s a s a s Ps 2 3 4 3 2 1 0 4 2 3 4 A tabulação é Examinandose a tabulação se pode observar que Não há qualquer inversão de sinal antes da linha de zeros logo não há qualquer raiz no SPAD fora das raízes em condição de simetria A linha de zeros é antecedida por um polinômio de grau 2 logo existem 2 raízes em condição de simetria Não há qualquer inversão de sinal após a linha de zeros logo das duas raízes em condição de simetria não há qualquer delas no SPAD Isto indica que podem estar somente sobre o eixo imaginário Resolvendo a equação oriunda do polinômio auxiliar da linha s1 se obtém as raízes em condição de simetria 0 32 2 s s 2 j 4 s 34 Estas são as raízes sobre o eixo imaginário Observação As raízes do polinômio são 1 s 1 2 s 2 e j 4 s 34 s4 s3 1 3 18 48 32 0 s2 2 32 0 s1 0 0 0 s1 4 0 0 s0 32 0 0 Linha de zeros 32 2 s2 s Nova linha s1 4s ds s d 12 Exemplo 2 Considerese o polinômio a seguir que é o do denominador da função de transferência de um SLITTC Utilizese o Método de RothHurwitz para determinar se todas as suas raízes estão no SPAD 160 s 2 138 s 33 s 8 s s a a s a s a s a s a s Ps 2 3 5 5 4 2 3 3 2 4 1 5 0 72 4 A tabulação é Examinandose a tabulação se pode observar que Não há qualquer inversão de sinal antes da linha de zeros logo não há qualquer raiz no SPAD fora das raízes em condição de simetria Este era um resultado esperado pois o polinômio foi obtido do do exemplo 1 através da multiplicação por 5 s A linha de zeros é antecedida por um polinômio de grau 2 logo existem 2 raízes em condição de simetria Esta situação era esperada pela mesma razão anterior Não há qualquer inversão de sinal após a linha de zeros logo das duas raízes em condição de simetria não há qualquer delas no SPAD Isto indica que podem estar somente sobre o eixo imaginário Resolvendo a equação oriunda do polinômio auxiliar da linha s1 se obtém as raízes em condição de simetria 0 160 10 s s 2 j 4 s 34 Estas são as raízes sobre o eixo imaginário Observação As raízes do polinômio são 1 s 1 2 s 2 j 4 s 34 e 5 s 5 Exemplo 3 Considerese o polinômio a seguir que é o do denominador da função de transferência de um SLITTC Utilizese o Método de RothHurwitz para determinar se todas as suas raízes estão no SPAD 0 4 2 3 4 1 5 s 3 s s 2 s a a s a s a s a s Ps 2 3 4 3 2 1 0 A tabulação é Examinandose a tabulação se pode observar que A primeira coluna da tabulação possui duas inversões de sinal logo há duas raízes na SPAD s5 s4 1 8 33 138 272 160 s3 1575 252 0 s2 10 160 0 s1 0 0 0 s1 20 0 0 s0 160 0 0 s4 s3 2 1 3 5 10 0 s2 7 10 0 s1 457 0 0 s0 10 0 0 Linha de zeros 160 10 s2 s Nova linha s1 20s ds s d 13 Observação As raízes do polinômio são j 093 1 s 12 e j 144 075 s 34 Exemplo 4 Considerese o polinômio a seguir que é o do denominador da função de transferência de um SLITTC Utilizese o Método de RothHurwitz para determinar se todas as suas raízes estão no SPAD O polinômio é formado pelo do exemplo 3 multiplicado por s2 16 Ou seja é introduzido um par de pólos imaginários puros localizados sobre o eixo imaginário 16 s a a s a s a s a s a s a s Ps 2 6 5 2 4 3 3 4 2 5 1 6 0 16 10 s 5 s 3 s s 2 s Ps 2 2 3 4 A tabulação é Examinandose a tabulação se pode observar que Há duas inversões de sinal antes da linha de zeros logo há duas raízes no SPAD fora do conjunto de raízes em condição de simetria Isto era esperado porque o polinômio foi gerado pelo produto do polinômio do exemplo 3 com um fator que como sabemos é um fator de simetria porém não possui quaisquer outras raízes fora da simetria sobre o eixo imaginário A linha de zeros é antecedida por um polinômio de grau 2 logo existem 2 raízes em condição de simetria Esta situação era esperada ppois a condição de simetria era conhecida Não há qualquer inversão de sinal após a linha de zeros logo das duas raízes em condição de simetria não há qualquer delas no SPAD Isto indica que podem estar somente sobre o eixo imaginário Observação As raízes do polinômio são j 093 1 s 12 j 144 075 s 34 e j 4 s 56 V Referências 01 Alan V Oppenheim Ronald W Schafer Discretetime Signal Processing PrenticeHall USA 1989 02 Alan V Oppenheim Alan S Willsky with S Hamid Nawab Signals Systems 2a edição PrenticeHall USA 1996 03 Benjamin C Kuo Automatic Control System 4a edição PrenticeHall USA 1982 04 David G Luenberger Introduction to Dynamic Systems Wiley USA 1979 s6 s5 2 1 35 21 58 80 160 0 s4 7 102 160 0 s3 457 7207 0 0 s2 10 160 0 0 s1 0 0 0 0 s1 20 0 0 0 s0 160 0 0 0 Linha de zeros 160 10 s2 s Nova linha s1 20s ds s d 14 Capítulo 9 ESTABILIDADE DE SISTEMAS TC REALIMENTADOS MÉT DE NYQUIST I Introdução Os dois últimos capítulos apresentaram assuntos relacionados à estabilidade dos sistemas Os assuntos foram divididos nos capítulos da seguinte maneira Conceitos de estabilidade associados ao vetor de estado e à relação entradasaída e suas expressoes matemáticas para os sistemas lineares e invariantes Ao final deste capítulo estabeleceuse que no caso destes sitemas a determinação das características de estabilidade se projetam na determinação da localização de raízes polinômios Os polinômios podem ser o característico da matriz de estado ou o do denominador da função de transferência de acordo com o tipo de estabilidade que esteja em consideração A localização no plano complexo pode ser relativa ao SPAE SemiPlano Aberto da Esquerda ou ao círculo de raio unitário centrado na origem em decorrência de estarem sendo examinados sistemas a tempo contínuo ou discreto respectivamente Métodos numéricos que permitem determinar de forma qualitativa a localizção das raízes dos polinômios Estes métodos não fornecem os valores das raízes mas as suas localizações no plano complexo Para o caso da localização relativa ao SPAE foi estudado o Método de RouthHurwitz e para a do círculo de raio unitario o de Jury Em todos os casos anteriores as expressões matemáticas e os métodos numéricos não levavam em consideração a estrutura do sistema mas partiam do pressuposto que o modelo matemático já estivesse em sua forma final após todas as eventuais simplificações Muitas vezes a simplificação dos modelos matemáticos é trabalhosa Então é útil a existência de um método que permita a análise da estabilidade a partir do conhecimento dos blocos que compõem o sistema tanto do caminho principal quanto do de realimentação Este capítulo apresenta o Critério de Nyquist que tem este objetivo Este Critério foi criado por Nyquist para estudar a estabilidade de amplificadores seu trabalho data de 1932 Observase que o Método de Nyquist contempla os sistemas a tempo contínuo pois é relativo à localização das raízes com respeito ao SPAE Conheça um pouco sobre Harry Nyquist 18891976 engenheiro americano lendo o documento do IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers sobre a sua vida e a sua contribuição à engenharia httpswwwieeexploreieeeorgdocument5512713 II Modelo do Sistema Considerese o sistema realimentado da figura 1 Figura 1 Sistema linear e invariante a tempo contínuo obtido por conexão realimentada H1s H2s Us Ys 15 O resultado desta conexão foi estudado no capítulo referente aos sistemas compostos O sistema 1 é o que modela o caminho principal e o 2 é o de realimentação Consideremse as transferências de cada um dos sistemas Caso monovariável funções de transferência s U Y s s H 1 1 1 ou H s U s Y s 1 1 1 1a s U Y s s H 2 2 2 ou H s U s Y s 2 2 2 1b O caso monovariável possui as duas formas alternativas para as expressões 1ab Caso multivariável matrizes de transferência H s U s Y s 1 1 1 2a H s U s s Y 2 2 2 2b Ressaltase que no caso multivariável não há forma alternativa para as expressões 2ab visto que as entidades são matrizes e vetores As expressões apresentadas bem como a figura 1 foram particularizadas para o caso do sistema a tempo contínuo Aproveitase a demonstraçãodo capítulo de sistemas compostos repetida a seguir Iniciase com o caso multivariável Y s Us U s 2 1 3 Y s Ys 1 4 Fazendose as substituições de 2ab podese obter a seqüência de expressões H s Ys H s Us H s U s H s Us Y s H s Us H s U s Ys 2 1 2 2 1 2 1 1 1 5 H s Us H s H s Ys Ys 1 2 1 6 H s Us H s H s Ys I 1 2 1 7 H s Us H s H s I Ys 1 1 2 1 8 Assim podese escrever Hf s Us s Us H Ys eq 9 H s H s H s I Hf s s H 1 1 2 1 eq 10 Nas expressões 9 e 10 apresentase uma maneira alternativa de designar a transferência equivalente é Hfs na qual a letra f significa feedback 16 No caso monovariável a expressão 10 se modifica para H s H s 1 H s H s H s H s 1 Hf s s H 2 1 1 1 1 2 1 eq 11 Esta última expressão pode também ser escrita como H s H s 1 s H s U Ys Hf s s H 2 1 1 eq 12 As próximas seções utilizarão as expressões 11 e 12 visto que somente sistemas monovariáveis são considerados III Método ou Critério de Nyquist O Método ou Critério de Nyquist é voltado à estabilidade de sistemas realimentados através do tratamento no domínio da freqüência ou seja das funções de transferência das diferentes partes que compõem os sistemas Sua principais características são Apresenta o mesmo tipo de informação qualitativa sobre a estabilidade do sistema que o Método de RouthHurwitz Além da característica anterior fornece informação sobre o grau de estabilidade do sistema estável e dá a indicação de como melhorar a estabilidade do sistema caso seja necessário Fornece informação sobre a resposta em freqüência do sistema Pode ser utilizado para estudar a estabilidade de sistemas com retardos Pode ser utilizado com modificações para sistemas não lineares Examinese a expressão 12 para constatar que a estabilidade do sistema realimentdo é determinada pelas raízes do polinômio do numerador de seu denominador ou seja pelo numerador de H s H s 1 2 1 Definase o produto a seguir que é o que existiria se os dois sistemas estivem ligados em série mas sem haver a malha fechada que leva à entrada a saída do segundo sistema Este produto é a função de transferência do caminho aberto e não da malha H s H s Fs 2 1 13 Examinemse as duas transferências que compõem 13 s D N s s H 1 1 1 14a s D N s s H 2 2 2 14b Substituindo 14ab em 13 se obtém s D s N s D N s s F 2 2 1 1 15 A substiuição de 14ab pode ser feita em 12 para dar origem a expressão N s N s s D s s D s Hf s s H 2 1 2 1 D 2 N1 eq 16 17 A expressão 16 deixa claro o trabalho de contas necessário ao cálculo do seu denominador que é o da função de transferência da conexão realimentada há dois produtos de polinômios e a subseqüente soma dos dois produtos O Critério de Nyquist estabelece relações entre Hfs e Fs ou seja entre o conhecimento dos blocos individuais contidos em Fs e o sistema realimentado descrito por Hf s As relações serão formalizadas através da investigação das respostas em freqüência dos blocos sob consideração A partir das mesmas será determinada a estabilidade do sistema a malha fechada Antes de ser estudado o Critério algumas relações precisam ser estabelecidas Identificação de pólos e zeros Os zeros da função de transferência do caminho Fs são os zeros de H s H s 2 1 Os pólos da função de transferência do caminho Fs são os pólos de H s H s 2 1 Os pólos da função de transferência do sistema a malha fechada Hf s são os zeros de Fs 1 H s H s 1 2 1 Os pólos de 1 Fs são os pólos de Fs ie da função de transferência do caminho A estabilidade assintótica caso do sistema controlável e observável bem como a sua BIBO estabilidade não é dependente da localização dos pólos e dos zeros da função de transferência do caminho Fs mas da função de transferência do sistema realimentado Hf s Uma vez estabelecidas as relações são necessárias algumas definições para poder apresentar o Critério Definição 1 Ponto Circundado Encircled Um ponto é dito circundado por um caminho fechado quando estiver dentro do caminho Definição 2 Ponto ou Região Enclausurada Enclosed Um ponto ou uma região é ditoa enclausuradoa por um caminho fechado se estiver do lado esquerdo do caminho quando o mesmo for percorrido no sentido préestabelecido Três exemplos são apresentados a seguir Um ponto circundado é mostrado na figura 2 no qual o ponto A é circundado pela curva fechada A figura 3 exibe um ponto circundado pela curva fechada no caso se confunde com a figura 2 devido à orientação da curva Na figura 4 é mostrado o ponto A não enclausurado pela curva fechada enquanto o ponto B está por ela enclausurado Figura 2 Ponto A circundado pela curva fechada A 18 Figura 3 Ponto A enclausurado pela curva fechada Figura 4 Ponto A não enclausurado e ponto B enclausurado pela curva fechada Definição 3 Número de Vezes que um Ponto é Circundado Number of Encirclement Considerese a figura 5 apresentada a seguir Nela examinese o vetor criado pela ligação do ponto A com o ponto S O ponto S será movido para percorrer a curva fechada iniciando e terminado a trajetória no memos ponto do plano complexo sobre a curva O número N de vezes que o ponto A é circundado pela curva é o número de 2 radianos que o vetor descreve quando S percorre a curva O número de múltiplos de 2 radianos é computado associando sinais opostos aos sentidos horário e antihorário e executando a soma lagébrica Figura 5 Ponto A circundado pela curva fechada Definição 4 Número de Vezes que um Ponto é Enclausurado Number of Enclosure Considerese a figura 6 apresentada a seguir O número N de vezes que o ponto A é enclausurado é o número de 2 radianos que o vetor descreve quando S percorre a curva O número de múltiplos de 2 radianos é computado associando sinais opostos aos sentidos horário e antihorário e executando a soma algébrica Figura 6 Ponto A enclausurado pela curva fechada A A B A S A S B 19 Observese ainda que figura 6 há o ponto B que é enclausurado uma única vez Se o sentido da curva fosse ao contrário então nenhum dos pontos seria enclausurado O Critério de Nyquist foi criado para aplicação em problemas de engenharia Ele á baseado no conhecido Princípio do Argumento da Teoria das Variáveis Complexas Ele é apresentado de uma forma simplificada a seguir Sejam uma variável complexa e uma função da variável complexa Variável complexa s que varia no plano complexo S Função da variável complexa s é uma função racional polinomial em s que varia em um plano complexo s possuindo um único valor para cada valor de s e analítica na região em consideração exceto em um número finito de ponto do plano complexo S Para cada ponto no plano S para o qual s é analíica existe somente um ponto no plano s Suponhase que um caminho fechado s é escolhido no plano S Se todos os pontos de curva s forem tais que s seja analítica nos mesmos então a curva correspondente no plano s é fechada também Observese que dependendo natureza de função s enquanto uma das curvas tem uma orientação a outra pode ter a mesma ou contrária Observese que no caso das funções racionais polinomiais do plano S para o plano s ainda o mapeamento seja de um para um pontos o reverso não é necessariamente verdadeiro Considere o exemplo 1 Exemplo 1 Seja a função 2 1s s s K s Esta função permite uma escrita alternativa s K 2 1s ss Suponhase que s tenha um valor constante qualquer real imaginário ou complexo e como o lado esquerdo da expressão é de 3o grau existirão 3 valores de s que satisfarão a equação Assim para cada valor de s existirão 3 valores de s Enunciase o Princípio do Argumento Princípio do Argumento Seja s uma função racional de um único valor para cada valor de s e analítica em uma dada região do plano complexo S exceto por um número finito de pontos Suponhase que um caminho fechado e arbitrário s é escolhido no plano S Os pontos correspondentes de s são desenhados no plano complexo s A curva que aparece neste último circundará a origem do plano um número de vezes igual ao número que é a diferença entre os números de zeros e de pólos de s que estão na região circundada pela curva s no plano S Podese escrever o Princípio do Argumento através de expressões matemáticas P Z N 17 Em 17 as letras significam 20 N número de vezes que a origem é circundada Z número de zeros de s circundados pela curva s no plano complexo S P número de pólos de s circundados pela curva s no plano complexo S As três possibilidades para N são ser positivo negativo ou nulo Examinese cada uma delas 0 P Z N ou seja Z P significa que s circunda mais zeros do que pólos de s Neste caso a curva em s circunda a origem do referido plano N vezes no mesmo sentido de s 0 P Z N ou seja Z P significa que s circunda iguais números de zeros e de pólos de s Neste caso a curva em s não circunda a origem do referido plano 0 P Z N ou seja Z P significa que s circunda menos zeros do que pólos de s Neste caso a curva em s circunda a origem do referido plano N vezes no sentido contrário ao sentido de s Podese então construir uma tabela de possibilidades o que é feito na tabela 1 NZP Sentido de s no plano S Curva em s No Circunda a Origem Sentido Circunda a Origem 0 Horário Antihorário N N Horário Antihorário 0 Horário Antihorário 0 0 NA NA 0 Horário Antihorário N N Antihorário Horário Tabela 1 Possibilidades de N número de vezes que a origem é circundada Para que o Princípio do Argumento possa ser aplicado de maneira a satisfazer à necessidade da determinação de números de pólos e zeros é necessário que a curva s seja escolhida de maneira adequada Antes de examinar esta escolha convém relembrar que o objetivo deste estudo é determinar se a função Fs 1 H s H s 1 2 1 possui zeros no SPAD SemiPlano Aberto da Direita do plano complexo S Isto porque como foi demonstrado anteriormente 12 os zeros desta expressão são os pólos da função de transferência a malha fechada Hf s Para que haja BIBOestabilidade é necessário que todos os pólos de Hf s estejam no SPAE Designese a função s Fs 1 s 18 Como o que se busca são zeros de 18 no SPAD eles significam pólos de Hf s no SPAD que não devem existir para que o sistema seja BIBOestável Devese pois escolher um caminho s que englobe todo o SPAD O caminho a ser utilizado no Plano S é chamado de Caminho de Nyquist Nyquist Path Caminho de Nyquist Nyquist Path O Caminho de Nyquist é curva s no plano S que engloba todo o SPAD SemiPlano Aberto da Direita do referido plano Ele acompanha todo o eixo imaginário de cima para baixo e com raio infinito circunda todo o SPAD Ele é percorrido no sentido antihorário Observese que o caminho engloba todos os pontos do SPAD pois percorre todo o eixo vertical e tem raio infinito quando faz a rotação for a dele Assim com este caminho e o Princípio do Argumento poderseá contar as voltas no entorno da origem do plano s para determinar a diferença entre os números de pólos e zeros da função dada por 18 contidas no referido semiplano 21 Uma observação é necessária sobre o caminho de Nyquist Ela diz respeito à situação em que pólos estejam sobre o eixo vertical Quando isto ocorrer o caminho deverá sofrer um desvio com um raio infinitesimal para dentro do SPAD de tal forma que o caminho não passe sobre o pólo Os exemplos mostrarão como se desvia de um pólo sobre o eixo Ainda que a função de interesse seja s como em geral as funções conhecidas são H1s e H2s cujo produto é s F passase a trabalhar com s F para a qual se utiliza o Critério de Nyquist A função s F tem seus pontos desenhados em um plano complexo chamado de s F também Passandose a trabalhar com a função s F não é considerada a origem como ponto a ser examinado mas o ponto 1 j 0 Observese que s referida à origem equivale à s F referida ao ponto 1 j 0 no plano s F ao invés do plano s Um comentário é importante a origem do plano s equivale no plano s F ao ponto 1 j 0 Ponto Crítico Chamase ponto crítico o que que é utilizado como referência para contar o número de voltas Assim o ponto crítico é 1 j 0 no plano Fs Observar 1 j 0 no plano Fs é o mesmo que observar 0 j 0 no plano s Existem duas estabilidades que podem ser de interesse A estabilidade do sistema a malha aberta que está associada à função Fs requerendo que esta função tenha pólos somente somente SPAE A estabilidade do sistema a malha fechada que está associada à função s requerendo que ela tenha zeros somente no SPAE Esta condição equivale a que a função Hf s tenha pólos somente no SPAE Assim estão em consideração dois conjuntos de pólos e zeros O primeiro diz respeito ao sistema a malha aberta para o qual a preocupação são os pólos de Fs O segundo é o dos pólos de Hf s que são os zeros de Fs 1 s Considerese inicialmente a determinação das características da malha fechada Para tal é necessário definir N 1 significa o número de vezes que o ponto 1 j 0 é circundado pela função Fs Z 1 significa o número de zeros de Fs 1 s que são circundados pelo caminho de Nyquist ou seja estão no SPAD P 1 significa o número de pólos de Fs 1 s que são circundados pelo caminho de Nyquist ou seja estão no SPAD Como também está sendo considerada a malha aberta outras definições são necessárias N0 significa o número de vezes que a origem é circundada pela função Fs Z0 significa o número de zeros de Fs que são circundados pelo caminho de Nyquist ou seja estão no SPAD 0 P significa o número de pólos de Fs que são circundados pelo caminho de Nyquist ou seja estão no SPAD Observese que N0 Z0 e 0 P referemse à análise do sistema a malha aberta enquanto N 1 Z 1 e P 1 referemse ao sistema realimentado malha fechada No mesmo gráfico no plano Fs podese 22 observar as voltas com respeito à origem para conhecer características da malha aberta e com respeito ao ponto 1 j 0 para conhecer as da malha fechada Observese o que segue Dado que os pólos de Fs e os de Fs 1 s são os mesmos a igualdade a seguir deve ser verificada 1 0 P P 19 A condição de estabilidade do sistema a malha aberta requer que P0 0 20 Dos itens anteriores podese concluir que 0 P P 1 0 21 A condição de estabilidade do sistema a malha fechada requer que 0 Z 1 22 Com as definições e considerações apresentadas é formulado o Critério de Nyquist para a determinação da estabilidade de sistemas a malha aberta e a malha fechada O critério é baseado no Princípio do Argumento e é enunciado a partir da seguinte formulação Critério de Nyquist Seja o sistema a malha fechada da figura 1 para o qual o denominador da função de transferência é Fs 1 s Sigamse os passos 1 Definase e construase o caminho de Nyquist 2 Determinemse N0 e N 1 de acordo com o gráfico de Nyquist de Fs com respeito à origem e ao ponto 1 j 0 3 Utilizando N0 e N 1 calculemse 0 0 0 N Z P no caso de Z0 ser conhecido 23 0 1 P P 24 1 1 1 N P Z 25 4 Como foi determinado que a condição de estabilidade é que Z 1 seja nulo a condição de estabilidade se expressa por 1 1 N P 26 Enunciase o Critério de Nyquist Para que o sistema a malha fechada seja estável é necessário que o gráfico de Nyquist de Fs circunde o ponto crítico 1 j 0 tantas vezes quantos forem os pólos de Fs que estiverem no SPAD e a orientação deve ser o sentido horário Um caso especial a ser examinado é aquele em que Fs não possui pólos no SPAD ie no caso em que 23 0 P P 0 1 27 Quando isto acontecer a condição de estabilidade se torna 1 1 Z N 28 A expressão 28 significa que N 1 só pode circundar o ponto 1 j 0 no sentido horário dado que Z 1 sendo o número de zeros de Fs 1 s é sempre positivo Como circundar no sentido anti horário significa enclausurar podese determinar a estabilidade estabelecendo se o ponto 1 j 0 é enclausurado pelo gráfico de Fs Além disto podese desenhar o gráfico de Nyquist sem ter que desenhar o caminho completo basta que seja traçado o trecho que vai de s j a s 0 ao longo do eixo imaginário Enunciase o Critério de Nyquist para este caso especial Critério de Nyquist para o Caso Especial 0 P 1 No caso de a função não possuir pólos no SPAD para que o sistema seja estável é necessário que o gráfico de Nyquist não enclausure o ponto crítico 1 j 0 Em adição se não for de interesse o número de raízes da equação que estão no SPAD mas somente a estabilidade do sistema a malha fechada é somente necessário desenhar o segmento do gráfico de Nyquist que corresponde à parte positiva do eixo imaginário A próxima seção apresenta uma série de exemplos IV Exemplos Esta seção tem por objetivo apresentar dois exemplos ilustrativos da utilização do Critério de Nyquist Exemplo 2 Considere um sistema que tenha as funções de transferência da malha direta e da realimentação dadas respectivamente pelas funções Hs e Gs As funções são 0 a a s 1 Hs 0 s K K Gs Com as duas funções determinase Fs a ss K Hs Gs Fs Examinase Fs e por ser simples percebese que não possui pólos no SPAD Logo 0 P P 0 1 Porém Fs possui um pólo na origem logo o seu caminho de Nyquist terá 4 segmentos pos precisará contornar a singularidade na origem O caminho é apresentado na figura que segue 24 O trecho 2 do caminho é mostrado em mais detalhe na próxima figura para ficar claro o contorno do pólo na origem A seguir será feita a análise por trecho para determinar a forma da curva no plano Fs Hs Gs A análise será iniciada pelo trecho 2 Análise do trecho 2 Neste trecho a variável complexa será representada em sua forma polar com raio infinitesimal e centro na origem e s j Substituase a expressão anterior de s na função Fs para obter a e e K Fs j j ej s Como o raio é infinitesimal pode ser desprezado frente ao a Assim a função fica a e K Fs j j s e a e K lim lim Fs j j 0 ej s 0 Examinandose a figura do contorno ao pólo segunda deste exemplo percebese que a fase varia de 2 a 2 passando por zero Logo podese concluir que quando s tiver Raio infinitesimal com fase 2 Fs terá raio infinito com fase 2 Raio infinitesimal com fase 0 Fs terá raio infinito com fase 0 Raio infinitesimal com fase 2 Fs terá raio infinito com fase 2 25 Assim percebese que enquanto s vai de 2 a 2 passando por zero com raio infinitesimal Fs vai de 2 a 2 passando por zero com raio infinito Análise do trecho 4 Neste trecho a variável complexa será representada em sua forma polar com raio R que tenderá a infinito e centro na origem R e s j Substituase a expressão anterior de s na função Fs para obter a R e e R K Fs j j R ej s Como o raio tenderá a infinito a pode ser desprezado frente à outra parcela dentro dos parênteses Assim a função fica e R K Fs j2 2 R ej s 0 e e R K lim Fs lim 2 j j2 2 R R ej s R Examinandose a figura do caminho de Nyquist primeira deste exemplo percebese que a fase varia de 2 a 2 passando por zero Logo podese concluir que quando s tiver Raio infinito com fase 2 Fs terá raio infinitesimal com fase Raio infinito com fase 0 Fs terá raio infinitesimal com fase 0 Raio infinito com fase 2 Fs terá raio infinitesimal com fase Assim percebese que enquanto s vai de 2 a 2 passando por zero com raio infinito Fs vai de a passando por zero com raio infinitesimal zero Análise dos trechos 1 e 3 Estes 2 trechos serão analisados em conjunto porque estão sobre o eixo imaginário Neles s será uma variável puramente imaginária com módulo variável j s Substituase a expressão anterior de s na função Fs para obter 2 3 2 2 4 2 j s a j a K a a j K a j j K a j j K a j j K Fs A expressão anterior é genérica para qualquer valor de entre e Há um ponto em que ocorre a sua interseção com o eixo real ou seja quando a parte imaginária de Fs é de nula A interseção ocorre em 0 a a Fs Im 2 3 Para que a expressão anterior se verifique é necessário que 26 Isto significa que aos extremos do eixo imaginário do plano S corresponderão os pontos de interseção de Fs com o eixo horizontal Verifiquese o valor de Fs nas interseções 0 a a j Re K j Fss Re 2 2 4 2 Como não há qualquer outra interseção com o eixo real então os trechos correspondentes ao eixo imaginário servem para unir as extremidades dos gráficos correspondentes aos trechos 2 e 4 Logo a forma do gráfico de Nyquist é Com o desenho feito podese concluir que tanto N 1 quanto N0 são nulos Por inspeção das funções dadas verificase que Z0 e 0 P são nulos também Sumarizando 0 P Z N N 0 0 1 0 A condição de estabilidade que para o caso é Fs não ter pólos no SPAD é 1 1 Z N Pelo Princípio do Argumento podese escrever 1 1 1 P N Z Como 0 P N 1 1 então 0 Z 1 1 1 Z N Assim podese afirmar que o sistema a malha fechada é estável É importante ressaltar que o sistema a malha fechada é estável independentemente dos valores de K desde que ele seja positivo A análise do caso em que K é negativo é deixada como problema aos alunos Exemplo 3 Seja um sistema cuja função de transferência de malha é 1 ss K s 1 Hs Gs Fs Este exemplo mostrará uma análise preliminar da estabilidade feita pela solução das raízes do polinômio do denominador da função de transferência do sistema realimentado Determinese inicialmente s 27 1 ss K s 1 1 ss 1 ss K s 1 1 Fs 1 s Os pólos de Hf s são os zeros de s logo devese analisar o numerador da expressão anterior 0 K 1 s K s K s 1 1 ss 2 Por inspeção da equação antreior constatase que qualquer valor positivo de K leva o polinômio a não ser Hurwitz logo não possuirá todas as suas raízes no SPAE A expressão para a determinação das raízes é 2 1 6 K K 1 K 2 4 K 1 K 1 K s 2 2 12 Resolvendo as raízes chegase à seguinte condição de ambas serem negativas 0 K 1 Imaginese agora que não se conhece o conceito de polinômio de Hurwitz e que K será considerado positivo Para fins da análise pelo Critério de Nyquist considerese o ganho K K 0 Para determinar o caminho de Nyquist examinese s F Percebese que existe um pólo na origem logo o caminho de Nyquist a ser usado é o mesmo do exemplo 2 Com o desvio do pólo na origem representado em A seguir será feita a análise por trecho para determinar a forma da curva no plano Fs Hs Gs A análise será iniciada pelo trecho 2 28 Análise do trecho 2 Neste trecho a variável complexa será representada em sua forma polar com raio infinitesimal e centro na origem e s j Substituase a expressão anterior de s na função Fs para obter 1 e e 1 K e Fs j j j ej s Como o raio do complexo é infinitesimal os 2 termos nos parênteses numerador e denominador podem ser desprezados frente à unidade Logo a expressão se torna j ej s e K Fs e e K lim lim Fs j j 0 ej s 0 Examinandose a figura do contorno ao pólo segunda deste exemplo percebese que a fase varia de 2 a 2 passando por zero Logo podese concluir que quando s tiver Raio infinitesimal com fase 2 Fs terá raio infinito com fase 2 2 Raio infinitesimal com fase 0 Fs terá raio infinito com fase 0 Raio infinitesimal com fase 2 Fs terá raio infinito com fase 2 3 2 2 Assim percebese que enquanto s vai de 2 a 2 passando por zero com raio infinitesimal Fs vai de 2 a 3 2 passando por com raio infinito A figura geométrica descrita é um semi círculo de raio infinito ocupando o semiplano esquerdo e com orientação no sentido antihorário Análise do trecho 4 Neste trecho a variável complexa será representada em sua forma polar com raio R que tenderá a infinito e centro na origem R e s j Substituase a expressão anterior de s na função Fs para obter 1 R e e R 1 K R e Fs j j j R ej s Como R tenderá a infinito as duas parcelas unitárias que exitem nos parênteses podem ser desprezadas ficando a expressão como e R K R e e R K R e Fs j j j j R ej s 0 e e R K lim Fs lim j j R R ej s R 29 Examinandose a figura do caminho de Nyquist primeira deste exemplo percebese que a fase varia de 2 a 2 passando por zero Logo podese concluir que quando s tiver Raio infinito com fase 2 Fs terá raio infinitesimal com fase 2 Raio infinito com fase 0 Fs terá raio infinitesimal com fase 0 Raio infinito com fase 2 Fs terá raio infinitesimal com fase 2 Assim percebese que enquanto s vai de 2 a 2 passando por zero com raio inffinito Fs vai de 2 a 2 passando por zero com raio infinitesimal zero Assim a figura é um semicírculo de raio zero orientado de 2 a 2 passando por zero Análise dos trechos 1 e 3 Estes 2 trechos serão analisados em conjunto porque estão sobre o eixo imaginário Neles s será uma variável puramente imaginária com módulo variável j s Substituase a expressão anterior de s na função Fs para obter 1 ss K s 1 Hs Gs Fs j 1 2 K 1 j 2 K 1 j j 1 K j 1 j j 1 j K 1 j j 1 K j Fs 3 2 2 4 2 2 j s A expressão anterior é genérica para qualquer valor de entre e Há um ponto em que ocorre a sua interseção com o eixo real ou seja quando a parte imaginária de Fs é de nula A interseção ocorre em 0 1 Fs Im 3 2 Para que a expressão anterior se verifique é necessário que 1 Verifiquese o valor de Fs nas interseções K 1 K 2 Re j1 Fss Re 3 Vêse então que a curva intercepta o eixo real na abcissa K para as duas freqüências positiva e negativa Pela análise do trecho 4 sabese que à ordenada j corresponde o ponto de raio zero e fase 2 enquanto à ordenada j corresponde o ponto de raio zero e fase 2 Assim à medida que s se desloca sobre o eixo imaginário De j até 1 j no plano s F a curva é desenhada de r 0 com fase 2 até r K com com fase ou fase dependendo do sinal de K De j1 até j no plano s F a curva é simétrica indo de r K com com fase ou fase dependendo do sinal de K para r 0 com fase 2 30 Resta analisar os 2 pedaços deste trecho que vão de j1 j até cerca de zero e desde até cerca de zero até j1 j Sabese que em j1 j no plano s F o ponto será K com fase ou Quando a freqüência se aproxima do zero vindo do ponto positivo o ponto em s F irá para r com fase 2 Quando a freqüência se afasta do zero indo para o ponto negativo ela parte do ponto r com fase 2 e vai em direção ao ponto K com fase ou Com estas informações podese desenhar o diagrama Com o desenho feito podese concluir que tanto N 1 quanto N0 são 1 Por inspeção das funções dadas verificase que s F não possui pólos no SPAD mas possui um zero nele Logo Z0 1 P0 0 Como os pólos de s F e de Fs 1 s são os mesmos podese escrever 0 P P 0 1 Logo a relação que computa o número de pólos de Fs 1 s no SPAD pode ser escrita 1 0 1 1 Z N Z1 1 A condição de estabilidade que para o caso é Fs não ter pólos no SPAD é 1 1 Z N Assim vêse que para valores positivos de K o sistema é instável pois há um zero de Fs 1 s no SPAD V Exemplos Adicionais K 31 O objetivo desta seção é apresentar exemplos adicionais da aplicação do Método de Nyquist resolvidos utilizando o MATLAB Exemplo 4 Considerese a equação 0 4 Ks 2 ss Esta equação pode ser reescrita como K 1 2 ss 4 s O resultado obtido traçando o Critério de Nyquist no MATALAB é a figura a seguir Nela do lado esquerdo está desenhado o Caminho de Nyquist e do direito o traçado de Fs no seu plano Observe se que o sentido do Caminho de Nyquist é horário Exemplo 5 Considerese a equação 0 5 4s Ks 2 ss Esta equação pode ser reescrita como 32 K 1 2 ss 5 4s s O resultado obtido traçando o Critério de Nyquist no MATALAB é a figura a seguir Nela do lado esquerdo está desenhado o Caminho de Nyquist e do direito o traçado de Fs no seu plano Observe se que o sentido do Caminho de Nyquist é horário Exemplo 6 Considerese a equação 0 1 4s Ks 2 ss Esta equação pode ser reescrita como K 1 2 ss 1 4s s O resultado obtido traçando o Critério de Nyquist no MATALAB é a figura a seguir Nela do lado esquerdo está desenhado o Caminho de Nyquist e do direito o traçado de Fs no seu plano Observe se que o sentido do Caminho de Nyquist é horário 33 Exemplo 7 Considerese a equação 0 4 Ks 5 4 s s s 2 Esta equação pode ser reescrita como K 1 5 4 s s s 4 s 2 O resultado obtido traçando o Critério de Nyquist no MATALAB é a figura a seguir Nela do lado esquerdo está desenhado o Caminho de Nyquist e do direito o traçado de Fs no seu plano Observe se que o sentido do Caminho de Nyquist é horário 34 Exemplo 8 Considerese a equação 0 52 37 s 10 s K s 5 4 s s s 2 3 2 Esta equação pode ser reescrita como K 1 5 4 s s s 52 37 s 10 s s 2 2 3 O resultado obtido traçando o Critério de Nyquist no MATALAB é a figura a seguir Nela do lado esquerdo está desenhado o Caminho de Nyquist e do direito o traçado de Fs no seu plano Observe se que o sentido do Caminho de Nyquist é horário 35 VI Problemas Propostos Os exercícios propostos têm o objetivo de fixar os conceitos e exercitar o método para diferentes naturezas dos sistemas 01 Resolva o exemplo 2 para o caso em que K 0 e a 0 02 Resolva o exemplo 2 para o caso em que K 0 e a 0 03 Utilize o Método de RouthHurwitz para confirmar o resultado do exemplo 2 de que a estabilidade não depende de K 04 Resolva o exemplo 3 para K 0 VII Referência 01 Benjamin C Kuo Automatic Control System 4a edição PrenticeHall USA 1982 36 Capítulo 10 MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES I Introdução Os três últimos capítulos apresentaram assuntos relacionados à estabilidade dos sistemas Os assuntos foram divididos nos capítulos da seguinte maneira Conceitos de estabilidade associados ao vetor de estado e à relação entradasaída e suas expressoes matemáticas para os sistemas lineares e invariantes Ao final deste capítulo estabeleceuse que no caso destes sitemas a determinação das características de estabilidade se projetam na determinação da localização de raízes polinômios Os polinômios podem ser o característico da matriz de estado ou o do denominador da função de transferência de acordo com o tipo de estabilidade que esteja em consideração A localização no plano complexo pode ser relativa ao SPAE SemiPlano Aberto da Esquerda ou ao círculo de raio unitário centrado na origem em decorrência de estarem sendo examinados sistemas a tempo contínuo ou discreto respectivamente Métodos numéricos que permitem determinar de forma qualitativa a localizção das raízes dos polinômios Estes métodos não fornecem os valores das raízes mas as suas localizações no plano complexo Para o caso da localização relativa ao SPAE foi estudado o Método de RouthHurwitz e para a do círculo de raio unitário o de Jury Método gráfico Critério de Nyquist para estudar a estabilidade de um sistema linear invariante no tempo a tempo contínuo e realimentado O critério permite analisar a estabilidade da transferência de caminho malha aberta e a malha fechada Durante o projeto de sistemas de controle muitas vezes é necessário que seja examinado o desempenho de um sistema quando um ou mais parâmetros do projeto variam dentro de faixas de valores possíveis Como uma conseqüência dos valores que podem ser assumidos pelos parâmetros de síntese o polinômio do denominador da função de transferência varia e com ele suas raízes Desta forma os modos variam também e conseqüentemente a dinâmica do sistema Podese com o parâmetro variável passar de estabilidade para instabilidade ou de transitórios rápidos para mais lentos ou ainda de transitórios oscilantes para não oscilantes Quaisquer variações da dinâmica podem ocorrer como conseqüência da variação dos modos O propósito deste capítulo é introduzir uma técnica que permita acompanhar a trajetória das raízes no plano complexo de um polinômio quando um de seus parâmetros do polinômio varia Ela é conhecida com Método do Lugar das Raízes Root Locus Plot Este método é genérico podendo ser aplicado a qualquer polinômio ainda que não seja um polinômio associado a um sistema de controle Exemplifica se que o método é usado quando se estudam circuitos RLC com o R variável percebese a passagem entre os casos sub super e criticamente amortecidos II Apresentação do Método do Lugar das Raízes O Método do Lugar das Raízes para o caso de um único parâmetro variável que é o caso a ser tratado neste capítulo baseiase na equação a seguir 0 b s b b s b s K s a s a a s a s s Fs n 1 m 2 m 2 1 m 1 m n 1 n 2 n 2 1 n 1 n 1 Na expressão 1 K é o parâmetro que varia e que ao variar modifica os coeficientes da equação e por conseqüência suas raízes Em geral K pode ser qualquer número real no intervalo No caso em questão o K é considerado real pois em aplicações reais os polinômios não possuem coeficientes complexos Quando K varia as raízes variam também Os lugares que elas ocupam no plano complexo com a variação de K recebem o nome genérico de Lugar da Raízes Root Locus Especificamente identificam se três categorias para o Lugar das Raízes Lugares das Raízes localização que as raízes ocupam quando K varia no intervalo 0 37 Lugares Complementares das Raízes localização que as raízes ocupam quando K varia no intervalo o Contorno das Raízes localização que as raízes ocupam quando a equação 1 possui mais de um parâmetro variável Lugares Completos das Raízes localização que as raízes ocupam quando existindo um único parâmetro variável K varia no intervalo É o conjunto dos dois primeiros definidos Considerese o sistema realimentado da figura 1 Figura 1 Sistema linear e invariante a tempo contínuo obtido por conexão realimentada O resultado desta conexão foi estudado no capítulo referente aos sistemas compostos O sistema 1 é o que modela o caminho principal e o 2 é o de realimentação Anteriormente foram analisados os casos multi e monovariável Consideremse as transferências de cada um dos sistemas e particularizese para o caso monovariável s U Y s s H 1 1 1 ou H s U s Y s 1 1 1 2a s U Y s s H 2 2 2 ou H s U s Y s 2 2 2 2b O caso monovariável possui as duas formas alternativas para as expressões 2ab Seja a transferência equivalente à conexão designada de Hfs na qual a letra f significa feedback Ela já foi calculada em capítulos anteriores e sua expressão é H s H s 1 s H s U Ys Hf s s H 2 1 1 eq 3 Sabese que as transferências de cada um dos sistemas são funções racionais polinomiais em s tal como será a função equivalente O polinômio do denominador de 3 é o que determina as características de estabilidade bem como outras características da dinâmica tais como a existência ou não oscilações e as constantes de tempo Porém o polinômio do denominador de 3 é o polinômio do numerador de seu denominador ou seja a condição de determinação de seus zeros é 0 H s H s 1 2 1 4 Esta conclusão já havia sido obtida no estudo do Critério de Nyquist Considerese a expressão 1 e executese a divisão da mesma pelo primeiro polinômio aquele que não está entre parênteses para obter 0 a s a a s a s s b s b b s b s s K 1 n 1 n 2 n 2 1 n 1 n n 1 m 2 m 2 1 m 1 m 5 H1s H2s Us Ys 38 Comparemse as expressões 4 e 5 Podese associar a transferência de caminho função a malha aberta em 4 H s H s 2 1 à parte racional polinomial em 5 Ou seja podese escrever n 1 n 2 n 2 1 n 1 n n 1 m 2 m 2 1 m 1 m 2 1 a s a a s a s s b s b b s b s s K s H s H 6 A expressão 6 é que será usada para apresentar o conceito de Lugares das Raízes Definição 1 Lugares Completos das Raízes Os Lugares Completos da Raízes são todos os lugares do plano complexo S que satisfazem à equação 0 H s H s 1 2 1 4 quando K varia no intervalo Para estabelecer as condições sob as quais 4 é satisfeita reescrevase a 6 sob a forma n 1 n 2 n 2 1 n 1 n n 1 m 2 m 2 1 m 1 m 2 r 1 r 2 1 a s a a s a s s b s b b s b s s K K H s H s s H s H 7 Em 7 s H1 r e s H2 r não contêm K que foi separado O produto H s H s 2 r 1 r é igual à fração da expressão 7 Substituase 7 em 4 para obter 0 K H s H s 1 2 r 1 r 8 K 1 H s H s 2 r 1 r 9 A partir de 9 estabelecemse as condições a serem satisfeitas para que a equação seja resolvida São elas Condição de módulo K 1 2s 1s Hr Hr 10 Condição de fase 0 1 K 2 2s 1s Hr Hr 11a 0 2 K 2s 1s Hr Hr 11b Onde é um inteiro podendo ser positivo ou negativo Para determinar os lugares das raízes determinamse todos os pontos do plano complexo S que satisfazem 11a e 11b e finalmente os valores de K ao longo dos lugares são determinados a partir de 10 A determinação dos lugares das raízes é um problema gráfico ainda que algumas regras analíticas possam ser formuladas a priori O ponto de partida do desenho dos lugares das raízes é o 39 conhecimento dos pólos e dos zeros das funções que modelam os blocos da malha aberta caminho ie H1s e H2s ou s H1 r e s H2 r Observese que existe um paralelo com o método de Nyquist no qual o conhecimento de H1s e H2s é necessário para que se possa analisar o comportamento do sistema a malha fechada No caso em questão a função a ser conhecida deve estar sob a forma da expressão 7 modificada como a seguir A modificação consiste na fatoração dos polinômios do numerador e do denominador em suas raízes n 2 1 m 2 1 2 r 1 r 2 1 p s p s p s z s z s z s K K H s H s H s H s 12 Em 12 1m zi i e 1n pj j são respectivamente os negativos dos zeros e dos pólos de H s H s 2 1 Esta maneira de escrever a fatoração é a mesma usada no traçado do Diagrama de Bode no estudo dos Circuitos Elétricos Como em todos os outros casos em consideração como o sistema é real os pólos e zeros ou são reais ou são pares complexos conjugados Substituindo os polinômios fatorados nas condições se obtém Condição de módulo K 1 p s z s rs Hr s H n 1 j j m 1 i i 2 1 13 Condição de fase 0 1 K 2 p s z s rs Hr s H n 1 j j m 1 i i 2 1 14a 0 2 K p s z s rs Hr s H n 1 j j m 1 i i 2 1 14b A partir das expressões 13 e 14ab podese desenhar os lugares completos das raízes Considere se o exemplo de viabilidade que segue Exemplo do Traçado Seja a função de transferência do caminho 3 2 1 2 1 p s p s s z s K H s H s Para fins do desenho considerese que 1 z é um real positivo implicando um zero negativo e sendo 2 p e 3 p um par complexo conjugado de parte real positiva implicando um par de pólos complexos conjugados com parte real negativa A existência de um termo em s indica que há um pólo na origem Considerese que existe um ponto genérico do plano S que será chamado 1 s Este ponto o zero e os pólos são mostrados na figura a seguir Cada pólo e zero é ligado ao ponto 1 s 40 Os ângulos formados pelo eixo real positivo com cada um dos vetores que ligam o zeros e os pólos aos ponto 1 s são respectivamente z1 p1 p2 e p3 Examinemse as condições para que o ponto 1 s pertença ao Lugares Completos das Raízes Considerando que K seja positivo para que isto aconteça é necessário que as seguintes condições sejam satisfeitas simultaneamente Condição de módulo K 1 p s p s s z s 3 1 2 1 1 1 1 Condição de fase 1 2 p s p s s z s 3 1 2 1 1 1 1 1 2 p3 p2 p1 z1 A condição de fase contida na última expressão é usada para determinar 1 s para os pontos dos lugares e dos lugares complementares das raízes a condição de ganho serve para determinar o ganho K que está associado a estes pontos Suponhase que 1 s tenha sido determinado ser um ponto de lugar das raízes então o K a ele correspondente é K z s p s p s s 1 1 3 1 2 1 1 Sejam A B C e D respectivamente os módulos dos vetores que ligam o zero e os 3 pólos ao ponto 1 s Como K foi suposto positivo podese modificar a expressão anterior para K A B C D A partir deste exemplo ilustrativo da parte gráfica do método podese sumarizar a solução do problema de determinar os pontos dos Lugares Completos das Raízes Re Im s1 41 Procuramse os pontos 1 s que satisfaçam a condição de fase Determinados os pontos 1 s determinamse as magnitudes que ligam cada um destes pontos aos pólos e zeros Determinadas as magnitudes calculamse os valores de K correspondentes a cada um dos pontos dos Lugares e dos Lugares Complemtares das Raízes Esta seção serviu para apresentar os princípios básicos do Método do Lugares das Raízes Para que o gráfico completo seja desenhado sem que um trabalho muito tedioso seja desenvolvido tornase necessário que algumas propriedades do método sejam tratadas Estas propriedades servem também para dar ao engenheiro uma sensibilidade sobre o assunto Quando este a tiver pode usar métodos numéricos de determinação dos Lugares das Raízes sem prejuízo da interpretação dos resultados obtidos A próxima seção tem o propósito de discutir tais propriedades III Propriedades dos Lugares das Raízes Completos As propriedades apresentadas para a construção dos Lugares Completos das Raízes são baseadas nas relações que existem entre os pólos e os zeros de H s H s 2 1 e os pólos e zeros de H s H s 1 2 1 As mesmas relações são a base do Critério de Nyquist estudado anteriormente Atenção deve ser dada ao fato que os gráficos obtidos de tais propriedades representam somente aproximações do desenho exato e por conseguinte servem somente como auxílio As subseções que se seguem abordam alguns pontos caracterísitcos do gráfico os números de ramos que o mesmo possui suas simetrias e outros pontos importantes do traçado Pontos com K 0 Os pontos nos quais K 0 são bem determinados no gráfico Eles podem ser obtidos a partir do resultado do teorema que segue Teorema 1 Pontos de K 0 dos Lugares Completos das Raízes Os pontos de K 0 dos Lugares Completos das Raízes são os pólos de H s H s 2 1 Este teorema é facilmente demonstrável para fazêlo basta partir da expressão 9 O resultado vale para os lugares e os complementares visto que K 0 Pontos com K Os pontos nos quais K são bem determinados no gráfico Eles podem ser obtidos a partir do resultado do teorema que segue Teorema 2 Pontos de K dos Lugares Completos das Raízes Os pontos de K dos Lugares Completos das Raízes são os zeros de H s H s 2 1 Como no caso anterior este teorema é facilmente demonstrável para fazêlo basta partir da expressão 9 Observese que este resultado vale tanto para os lugares como para os lugares complementares em se tratando que o sinal de K não está em consideração pois 1 1K é zero e o sinal oriundo de serve somente para indicar a maneira como o zero de H s H s 2 1 é aproximado Por ser H s H s 2 1 uma função racional polinomial em s existirão também zeros da mesma no infinito Exemplo 1 Considerese a equação 42 0 1 Ks 3 2s ss Esta equação pode ser reescrita como 0 3 2s s s 1 Ks 1 K 1 3 2s s s 1 s Observandose a última expressão percebese que Os pontos de K 0 levam o quociente a valer infinito logo serão os valores de s que levarão o denominador a zero portanto os pólos da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmo pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Logo os pontos de K 0 são p1 0 p2 2 p3 3 Os pontos de K levam o quociente a valer zero logo serão os valores de s que levarão o numerador a zero portanto os zeros da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmo pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Logo os pontos de K são z1 1 z2 z3 Os 2 últimos zeros os que são inifinitos levam a função a zero por tornar o denominador infinito Número de Ramos dos Lugares das Raízes Completos Um ramo dos Lugares das Raízes Completos é a trajetória descrita por uma das raízes quando K varia de a Desta maneira o número de ramos dos Lugar das Raízes Completos é o número de raízes da equação O teorema que segue estabelece este número Teorema 3 Número de Ramos dos Lugares Completos das Raízes O número de ramos dos Lugares das Raízes Completos correpondendo à equação 1 é dado pelo maior entre m e n Para demonstrar este teorema basta inspecionar a equação 1 para ver qual será o seu grau o maior entre n e m Simetria dos Lugares das Raízes Completos O traçado dos Lugares das Raízes Completos é simétrico com respeito ao eixo horizontal Esta propriedade simplifica o desenho pois basta desenhar um dos semiplanos e espelhar o desenho O teorema a seguir garante esta propriedade Teorema 4 Simetria do Gráfico dos Lugares Completos das Raízes O gráfico dos Lugares das Raízes Completos é simétrico com respeito ao eixo horizontal De uma maneira geral ele é simétrico com respeito ao eixo de simetria dos pólos e zeros Este teorema possui uma prova óbvia em se tratando que os coeficientes de H1s e H2s são reais Assim as raízes dos numeradores e dos denominadores de ambas as funções ou são reais ou são pares de complexos conjugados A segunda afirmativa do enunciado é provada através de se considerar qualquer outro eixo com respeito ao qual as raízes sejam simétricas 43 Exemplo 2 Considerese a equação 0 K 2 1s ss Esta equação pode ser reescrita como K 1 2 1s s s 1 Os pontos de K 0 levam o quociente a valer infinito logo serão os valores de s que levarão o denominador a zero portanto os pólos da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmo pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Logo os pontos de K 0 são p1 0 p2 1 p3 2 Os pontos de K levam o quociente a valer zero logo serão os valores de s que levarão o numerador a zero portanto os zeros da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmo pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Como o numerador é uma constante os pontos de K são os que levam o denominador a infinito logo são z1 z2 z3 O número de ramos é a ordem da equação pois é o número de raízes logo é Número de ramos 3 Eixos de simetria há 2 eixos de simetria O primeiro é o eixo horizontal e o segundo é um eixo vertical que passa em 1 visto facilmente pelos valores dos pólos A figura a seguir mostra a localização do segundo eixo de simetria Re Im 44 Assíntotas dos Lugares das Raízes Completos Comportamento das Raízes em s As propriedades dos lugares completos das raízes nas proximidades do infinito são importantes já que quando n for diferente de m então 2 n m dos lugares vão tender a no plano complexo S O teorema que se segue expressa esta propriedade Teorema 5 Assíntotas do Gráfico dos Lugares Completos das Raízes Para valores grandes de s os Lugares das Raízes para K 0 são assintóticos a linhas retas com ângulos dados por m n 1 2 onde 1 m 0 n e n e m são os graus dos polinômios em 1 Para K 0 os Lugares Completos das Raízes terão ângulos de assíntotas dados por m n 2 onde 1 m 0 n e n e m são os graus dos polinômios em 1 Exemplo 2 continuação Considerese a equação 0 K 2 1s ss Esta equação pode ser reescrita como K 1 2 1s s s 1 Nesta equação n 3 m 0 3 n m Assim serão 6 assíntotas 3 nos Lugares e 3 nos Lugares Complementares das Raízes Os ângulos são 3 1 2 3 0 1 3 5 2 3 2 0 0 3 2 1 3 4 2 Interseção das Assíntotas O teorema enunciado a seguir define o centróide que é o lugar de interseção das assíntotas dos Lugares Completos das Raízes 45 Teorema 6 Interseção das Assíntotas do Gráfico dos Lugares Completos das Raízes a A interseção das 2 n m assíntotas dos Lugares das Raízes Completos acontece sobre o eixo real b A interseção ocorre em m n a b 1 1 1 onde 1 a 1 b n e m são da expressão 1 OBS Considerando a maneira como são gerados os coeficientes de um polinômio a fórmula apresentada tem uma maneira mais fácil de ser calculada utilizando os pólos e zeros que em geral são conhecidos pois são necessários para determinar os pontos iniciais e finais do traçado Ela é m n z p m 1 j j n 1 i i 1 Lugares das Raízes no Eixo Real As considerações aqui apresentadas permitem determinar pontos dos Lugares e dos Lugares Complementares das Raízes que ficam sobre o eixo real Elas facilitam o traçado do gráfico Teorema 7 Lugares das Raízes Completos sobre o Eixo Real a Os Lugares das Raízes ie para K 0 só podem ser encontrados em uma dada seção do eixo real se o número total de pólos e zeros de H s H s 2 1 à direita da seção for ímpar b Os Lugares Complementares das Raízes ie para K 0 só podem ser encontrados em uma dada seção do eixo real se o número total de pólos e zeros de H s H s 2 1 à direita da seção for par Isto permite que se afirme que não é possível encontrar Lugares Complementares das Raízes em pontos do eixo real onde se encontram Lugares das Raízes e viceversa Qualquer que seja o caso pólos e zeros de H s H s 2 1 que sejam complexos conjugados não alteram os resultados apresentados em a e b A prova deste teorem se baseia nos seguintes pontos Quando um ponto genérico 1 s estiver localizado sobre o eixo real a soma dos ângulos de fase dos pólos e zeros que são complexos conjugados é sempre nula Somente os pólos e zeros que estiverem localizados à direita do ponto genérico 1 s sobre o eixo real contribuirão para o ângulo de fase em se tratando que os que estiverem à esquerda terão vetores com ângulos de fase nulos Considerando os pólos e zeros que estiverem à direita do ponto genérico 1 s sobre o eixo real as contribuições serão 1 zeros contribuirão com e 2 pólos contribuirão com Com respeito ao item a do teorema comentase que é fácil compreender que seja verdadeiro pois a fase deve ser já que K é positivo 1 Ângulos de Partida dos Pólos e Ângulos de Chegada aos Zeros dos Lugares Completos das Raízes O ângulo de partidachegada dos Lugares Completos das Raízes em um pólozero do produto H s H s 2 1 denota o comportamento do traçado na proximidade da referida raíz Os ângulos são 46 importantes pois permitem conhecer a trajetória dos Lugares Completos das Raízes sobre os póloszeros do produto Uma vez determinado o ângulo de partidachegada em um pólozero dos Lugares das Raízes para determinar o correspondente nos Lugares Complementares das Raízes basta adicionar ao valor obtido Considerese que está sendo traçado o gráfico dos Lugares das Raízes ou seja K 0 Para determinar o ângulo com o qual o gráfico se afasta de um pólo ou chega a um zero deve ser satisfeita a equação 14a que é a correspondente condição de fase a equação é repetida por conveniência 0 1 K 2 p s z s rs Hr s H n 1 j j m 1 i i 2 1 14a Para examinar 14a desenhamse os vetores que ligam cada um dos pólos e dos zeros ao ponto genérico 1 s que está muito próximo e se afastando de um pólo ou chegando a um zero A expressão 14a contém os ângulos de fase de todos os pólos e zeros Isolase aquele que se quer determinar e substituemse os demais que foram medidos no desenho dos vetores e calculados no desenho dos vetores e executase a conta Por exemplo suponhase que ângulo com o qual o gráfico se aproxima do zeros de número 3 Em 14a isolase a fase correspondente a este zeros em função dos demais 0 1 K 2 zi s z s p s z s 2 1 i m 4 i i n 1 j j 3 15 Existem duas expressões mais simples que servem de alternativas à 14a A primeira delas é para o cálculo do ângulo de partida de um pólo complexo e a segunda para o de chegada a um zero complexo Lembrando que há simetria com respeito ao eixo horizontal basta calcular somente o ângulo a um dos complexos que o do seu conjugado é facilmente determinado Designando de o ângulo de partida ou de chegada são as seguintes as expressões quando a singularidade for um pólo 2s 1s Hr s1 Hr s s1 s 14b quando a singularidade for um zero 2s 1s Hr s1 Hr s s1 s 14c Interseções dos Lugares das Raízes Completos com o Eixo Imaginário Os pontos nos quais os Lugares das Raízes Completos interceptam o eixo imaginário podem ser determinados através do Critério de RouthHurwitz Para tal apliquese o referido critério em função de K e se determine qualais os valores de K que levam à condição de raízes sobre o eixo imaginário Pontos de Sela de Afastamento dos Lugares das Raízes Completos Os pontos de sela que são pontos de afastamento dos Lugares Completos das Raízes correspondem a raízes múltiplas da equação Um exemplo no tão conhecido circuito RLC é aquele em que o discriminante é nulo e os dois pólos são iguais O número de caminhos que se cruzam no ponto é a multiplicidade da raíz em consideração que se olcaliza no ponto Os ângulos que separam os caminhos se afastamchegam ao ponto de sela o fazem em ângulos de n onde n é número de caminhos que saemchegam ao ponto Como a equação possui coeficientes reais os pontos de sela ou são reais ou ocorrem em pares complexos conjugados É importante ressaltar que um diagrama pode ter mais de um ponto de sela Há várias maneiras de se determinar um ponto de sela algumas são gráficas e outras são analíitcas A maneira mais usual enunciada no teorema que segue é analíica 47 Teorema 8 Pontos de Sela dos Lugares Completos das Raízes Os pontos de sela dos Lugares Completos das Raízes de 0 K H s H s 1 2 r 1 r 8 satisfazem à equação 0 ds d H s H s 2 r 1 r 16 A condição do teorema anterior é necessária ainda que não seja suficiente Assim todos os pontos de sela devem satisfazer 16 ainda que nem todas as raízes de 16 sejam pontos de sela Além de satisfazer à condição de derivada os pontos de sela devem satisfazer 0 K H s H s 1 2 r 1 r que é a expressão 8 Duas conclusões sobre os pontos de sela podem ser enunciadas Todas as soluções reais da condição de derivada 16 são pontos de sela do Lugar Completo das Raízes K em se tratando que o eixo real é ocupado pelos Lugares das Raízes Completos As soluções da condição de derivada 16 que são complexas conjugadas devem também satisfazer à equação 1 Em geral em condição adicional não causa maiores problemas porque podem existir pontos suficientes no desenho obtidos por outras propriedades Cálculo de K nos Lugares das Raízes Uma vez que os Lugares das Raízes esteja desenhados o valor do K em cada ponto é calculado através da expressão s H s H 1 K 2 r 1 r 17a Caso os polinômio estejam nas suas formas fatoradas então a expressão é m 1 i i n 1 j j z s p s K 17b Examinandose 17b podese concluir que o numerador é o produto dos módulos dos vetores que ligam o ponto genérico 1 s a cada um dos pólos e o denomiador é o equivalente mas ligando aos zeros A equação 17b ou a sua interpretação posterior é passível de solução analítica ou numérica Se a solução gráfica estiver em escala podese medir o gráfico para determinar os vetores e calcular K IV Alguns Exemplos O objetivo desta seção é apresentar alguns exemplos de aplicação do Método do Lugar das Raízes Exemplo 3 Considerese a equação 48 0 4 Ks 2 ss Esta equação pode ser reescrita como K 1 2 ss 4 s Os pontos de K 0 levam o quociente a valer infinito logo serão os valores de s que levarão o denominador a zero portanto os pólos da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmo pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Logo os pontos de K 0 são p1 0 2 p 2 Os pontos de K levam o quociente a valer zero logo serão os valores de s que levarão o numerador a zero portanto os zeros da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmos pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Os zeros são 4 z 1 z2 O número de ramos é a ordem da equação pois é o número de raízes logo é Número de ramos 2 O número de assíntotas para as duas situações K 0 e K 0 é Número de assíntotas 2 1 22 Os ângulos das assíntotas são 0 K 0 0 0 K 0 Os pontos de sela são calculados por 0 2 s s 8 8s s 2 ss 4 s ds d 2 2 2 6828 s 1 2 s 2 O gráfico correspondente ao Lugar das Raízes desenhado no MATLAB é apresentado a seguir 49 Exemplo 4 Considerese a equação 0 5 4s Ks 2 ss Esta equação pode ser reescrita como K 1 2 ss 5 4s s Os pontos de K 0 levam o quociente a valer infinito logo serão os valores de s que levarão o denominador a zero portanto os pólos da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmo pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Logo os pontos de K 0 são p1 0 2 p 2 Os pontos de K levam o quociente a valer zero logo serão os valores de s que levarão o numerador a zero portanto os zeros da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmos pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Os zeros são 4 z 1 5 z 2 O número de ramos é a ordem da equação pois é o número de raízes logo é Número de ramos 2 50 O número de assíntotas para as duas situações K 0 e K 0 é zero pois os dois zeros da função são finitos Os pontos de sela são calculados por 0 2 s s 4 40 s s 7 2 ss 5 4s s ds d 2 2 2 0 44 s 1 13 s 2 O gráfico correspondente ao Lugar das Raízes desenhado no MATLAB é apresentado a seguir Exemplo 5 Considerese a equação 0 1 4s Ks 2 ss Esta equação pode ser reescrita como K 1 2 ss 1 4s s Os pontos de K 0 levam o quociente a valer infinito logo serão os valores de s que levarão o denominador a zero portanto os pólos da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmo pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Logo os pontos de K 0 são p1 0 2 p 2 51 Os pontos de K levam o quociente a valer zero logo serão os valores de s que levarão o numerador a zero portanto os zeros da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmos pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Os zeros são 4 z 1 1 z 2 O número de ramos é a ordem da equação pois é o número de raízes logo é Número de ramos 2 O número de assíntotas para as duas situações K 0 e K 0 é zero pois os dois zeros da função são finitos Neste caso não há pontos de sela porque não há dois pólos finitos reais juntos e nem dois zeros finitos reais juntos Os pólos e zeros se alternam sobre o eixo real O gráfico correspondente ao Lugar das Raízes desenhado no MATLAB é apresentado a seguir Exemplo 6 Considerese a equação 0 4 Ks 5 4 s s s 2 Esta equação pode ser reescrita como K 1 5 4 s s s 4 s 2 52 Os pontos de K 0 levam o quociente a valer infinito logo serão os valores de s que levarão o denominador a zero portanto os pólos da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmo pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Logo os pontos de K 0 são p1 0 j 2 p 23 Os pontos de K levam o quociente a valer zero logo serão os valores de s que levarão o numerador a zero portanto os zeros da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmos pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Como o numerador é um polinômio de grau inferior ao do denominador por duas unidades haverá e zeros no infinito e um finito Os zeros são 4 z 1 z23 O número de ramos é a ordem da equação pois é o número de raízes logo é Número de ramos 3 O número de assíntotas para as duas situações K 0 e K 0 é Número de assíntotas 4 1 23 Os ângulos das assíntotas são 0 K 2 0 0 K 2 3 1 0 0 K 0 0 K 1 Neste caso não há pontos de sela porque não há dois pólos finitos reais juntos e nem dois zeros finitos reais juntos Há um só pólo e um só zero no eixo real O gráfico correspondente ao Lugar das Raízes desenhado no MATLAB é apresentado a seguir 53 Exemplo 7 Considerese a equação 0 52 37 s 10 s K s 5 4 s s s 2 3 2 Esta equação pode ser reescrita como K 1 5 4 s s s 52 37 s 10 s s 2 2 3 Os pontos de K 0 levam o quociente a valer infinito logo serão os valores de s que levarão o denominador a zero portanto os pólos da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmo pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Logo os pontos de K 0 são p1 0 j 2 p 23 Os pontos de K levam o quociente a valer zero logo serão os valores de s que levarão o numerador a zero portanto os zeros da função racional polinomial que pode ser H s H s 2 1 ou H s H s 2 r 1 r visto que ambas possuem os mesmos pólos e zeros diferindo somente pelo fator de escala K Os zeros são 4 z 1 j2 3 z 23 O número de ramos é a ordem da equação pois é o número de raízes logo é Número de ramos 3 54 Não haverá assintotas pois todos os zeros são finitos Neste caso não há pontos de sela porque não há dois pólos finitos reais juntos e nem dois zeros finitos reais juntos Há um só pólo e um só zero no eixo real O gráfico correspondente ao Lugar das Raízes desenhado no MATLAB é apresentado a seguir Exemplos Adicionais A disciplina Linear Physical Systems Analysis httplpsaswarthmoreedu do Swarthmore College httpwwwswathmoreedu oferece em acesso aberto um ótimo conjunto de exemplos do Método do Lugar da Raízes Estudeos em httplpsaswarthmoreeduRootLocusRLocusExampleshtmlex1 É particularmente importante a parte referente à uma fraqueza do método V Conclusões As regras apresentadas nas seções anteriores auxiliam na construção dos Lugares das Raízes em todas as suas opções de um grande número de problemas Alguns casos mais complicados que não podem ser resolvidos através do uso destas regras requerem o uso do computador para calcular os valores dos pontos das trajetórias VI Exercícios Propostos Os exercícios propostos têm o objetivo de fixar os conceitos e exercitar o método para diferentes naturezas dos sistemas 55 01 No capítulo referente ao Critério de Nyquist foi resolvido o exemplo com as funções 0 a a s 1 Hs e 0 s K K Gs Resolvao pelo Método dos Lugares das Raízes 02 Resolva o exercício 1 para o caso em que K 0 e a 0 03 Resolva o exercício 1 para o caso em que K 0 e a 0 04 Resolva o exercício 1 para o caso em que K 0 e a 0 VII Referências 01 Katsuhiko Ogata Engenharia de Controle Moderno 3a edição PHB Brasil 1998 02 Benjamin C Kuo Automatic Control System 4a edição PrenticeHall USA 1982