Controle Moderno - Espaço de Estados e Variáveis de Estados

datahora rodapé 1 EDSON SIMÕES Graduado ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO IFF Msc PESQUISA OPERACIONAL E INTELIGENCIA COMPUTACIONAL UCAM Espaço de Estados CONTROLE MODERNO Não Unicidade das Variáveis de Estados Podemos mostrar que o conjunto de variáveis de estado não é único ou seja podemos selecionar um conjunto diferente de variáveis de tal modo que o modelo do sistema possa ser representado por um conjunto de equações semelhante CONTROLE MODERNO Não Unicidade das Variáveis de Estados P matriz de transformação P é uma matriz não singular det 0 Ẋ AX Bu Eq De Estados CONTROLE MODERNO Não Unicidade das Variáveis de Estados CONTROLE MODERNO Não Unicidade das Variáveis de Estados CONTROLE MODERNO Não Unicidade das Variáveis de Estados Equações nas novas bases Ż An Z Bn u em que Z Z1 Z2 Zn Y Cn Z Du An P1 A P Bn P1 B Cn C P CONTROLE MODERNO Mudança de Base em Espaço de Estados Exemplo Mudar da base canônica Observável para base canônica Controlável utilizando PMW Forma canônica controlável CONTROLE MODERNO Mudança de Base em Espaço de Estados WMatriz das equações características CONTROLE MODERNO Mudança de Base em Espaço de Estados M A0B A1B A2B An1B M B AB A2B An1B M Matriz de controlabilidade CONTROLE MODERNO Solução Ż An Z Bn u em que Z Z1 Z2 Zn Y Cn Z Du An P1 A P Bn P1 B Cn C P CONTROLE MODERNO Solução Matlab Command Window A0 51 3 A 0 5 1 3 B40 B 4 0 C0 1 C 0 1 Command Window MB AB M 4 0 0 4 W3 1 1 0 W 3 1 1 0 PMW P 12 4 4 0 Command Window AninvPAP An 0 1 5 3 BninvPB Bn 0 1 CnCP Cn 4 0 CONTROLE MODERNO Solução Matlab Transposta apóstrofo CONTROLE MODERNO Base canônica controlável CONTROLE MODERNO Desacoplamento de Variáveis Na maioria dos casos as variáveis de estado estão acopladas no qual podemos ver que a matriz de estado A é uma matriz cheia ou seja não é uma matriz diagonal ou triangular o que denuncia a presença de uma variável de estado em mais de uma equação Tal fato se chama acoplamento e matematicamente significa que as equações não podem ser tratadas separadamente a não ser que consigamos desacoplálas CONTROLE MODERNO Desacoplamento de Variáveis Para desacoplar as equações de estado podemos usar a transformação matricial x P x onde P é a matriz modal associada com a matriz A ou seja P é a matriz cujas colunas são os autovetores da matriz A Da Álgebra Linear sabemos que CONTROLE MODERNO Desacoplamento de Variáveis onde Λ é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são os autovalores da matriz A São equações da função característica detΛ0 Λ λIA Eq característica Ps SIA CONTROLE MODERNO Desacoplamento de Variáveis CONTROLE MODERNO Desacoplamento de Variáveis CONTROLE MODERNO Desacoplamento de Variáveis CONTROLE MODERNO Desacoplamento de Variáveis CONTROLE MODERNO Desacoplamento de Variáveis raízes de sua equação característica Polos Equação característica Sλ1Sλ2Sλ3Sλn Laplace Equação característica detSIA CONTROLE MODERNO Desacoplamento de Variáveis Λ λIA Eq característica Ps SIA CONTROLE MODERNO Desacoplamento de Variáveis Eq Característica Ps Ps S0S54 S2 5S 4 S1S4 Matriz modal P 1 1 4 1 Diagonalização Λ P1 A P 1 1 4 1 1 0 1 4 5 1 1 4 1 4 0 0 1 Aplicando as eqs 12 x 4 0 0 1 x 1 1 4 1 1 0 1 ft y 1 0 1 1 4 1 x 0ft CONTROLE MODERNO Finalmente x 4 0 0 1 x 13 13 ft y 1 1 x x₁ x₂ 0 1 4 5 x₁ x₂ 0 1 ft y 1 0 x₁ x₂ 0ft CONTROLE MODERNO Representação das equações de Estado e de saída em diagramas de blocos Eq de Estados Ẋ AX Bu Eq De Saída Y CX Du CONTROLE MODERNO Representação das equações de Estado e de saída em diagramas de blocos Exemplo SS0Vt t 01s S0 00m V 2ms S02x01 S 02 m SS0Vt t 01s S0 02m V 2ms S022x01 S 04 m SS0Vt t 01s S0 04m V 2ms S042x01 S 06 m CONTROLE MODERNO Representação das equações de Estado e de saída em diagramas de blocos Exemplo SS0Vt ΔS Vt Vt dt Neste caso podemos comparar de forma simples as variáveis de estado X com a posição final S e a posição inicial S0 em que vamos atualizando a cada intervalo de tempo analisado para se obter a posição final CONTROLE MODERNO Base de representação em Espaço de Estados Exemplo CONTROLE MODERNO Base de representação em Espaço de Estados Exemplo CONTROLE MODERNO Base de representação em Espaço de Estados Vamos representar as três bases através do diagrama de blocos e comparar o comportamento das variáveis de estado e as variáveis de saída Matlab Simulink CONTROLE MODERNO Base de representação em Espaço de Estados Canônica Controlável CONTROLE MODERNO Base de representação em Espaço de Estados Canônica Observável CONTROLE MODERNO Base de representação em Espaço de Estados Canônica Diagonal CONTROLADOR PID PARÂMETROS giffindercom