Fundamentos de Álgebra

Álgebra 3 Questão 01 Queremos encontrar x e y tais que 2x 3y 75 Temos pela Identidade de Bezout que existem x e y tais que 2x 3y mdc23 1 2 e 3 são primos Multiplicando os dois lados da equação por 75 obtemos 275x 375y 75 Sendo assim vamos encontrar x e y Temos pelo algoritmo da divisão de Euclides que 3 21 1 Logo 3 2 1 21 31 1 Assim temos 375 275 75 Com isso x0 75 e y0 75 são soluções particulares A solução geral será x x0 3t e y y0 2t Ou seja x 75 3t e y 75 2t Obs A solução geral de ax by c é x x0 bt d e y y0 at d onde d mdc ab Como quantidade de legumes é não negativa uma solução plausível seria x 0 e y 25 Questão 2 Para calcular o mdc entre 4270 e 3129 vamos realizar divisões sucessivas completando a tabela onde na primeira linha estão os quocientes e na terceira os restos 4270 3129 1141 847 294 259 35 14 7 1141 847 294 259 35 14 7 0 Quocientes Restos Portanto mdc 4270 3129 7 Obs As divisões feitas foram 4270 31291 1141 14 72 0 Paramos quando o resto é 0 Questão 01 A denominação equação diofantina é uma homenagem a Diofanto de Alexandria matemático grego do século III aC No livro Aritmética Diofanto registrou uma pequena introdução sobre as equações e hoje certas equações cujas soluções são números inteiros são chamadas de Equações Diofantinas Sabemos ainda que uma equação diofantina possui solução quando MDC ab divide c conforme descrito no teorema Teorema A equação diofantina ax by c admite solução se e somente se a b divide c Sabemos também que a solução geral de uma equação diofantina é dada por Teorema Seja x0y0 uma solução da equação ax by c onde MDC ab 1 Então as soluções x e y em Z da equação são x x0 bt y y0 at com t Z Diante disso considere a situação exposta a seguir Um restaurante necessita adquirir 75 quilos de legumes que são comercializados em caixas contendo 2 ou 3 quilos Com estes dados o gerente de compras necessita determinar a quantidade necessária de caixas de legumes contendo 2 ou 3 quilos para a aquisição do restaurante A partir dessas informações determine a solução geral da equação diofantina dada por 2x 3y 75 Questão 02 Algoritmo da Divisão de Euclides I Sejam a e b ℤ existe um único par de números inteiros q e r tal que a bq r com 0 r b onde r é o resto e q o quociente da divisão de a por b II Dados inteiros a e b os divisores comuns de a e b são os mesmos que os divisores comuns de a e b ac para todo inteiro c fixado Este enunciado é conhecido como O Lema de Euclides O Lema de Euclides nos diz que os divisores comuns de a e b são os mesmos divisores comuns de a e b ac Este teorema pode ser sistematizado pelo que conhecemos como o Algoritmo da Divisão de Euclides descrito abaixo Pelo Algoritmo da Divisão de Euclides temos que o MDC 4230 6 pois 1 2 2 42 30 12 6 12 6 0 Aplique a sistematização do Algoritmo da Divisão de Euclides descrita acima e determine o MDC entre os números 4270 e 3129