Exercícios Resolvidos Integrais Duplas Calculo de Area e Volume - Guia Completo

8 O mapa de contorno mostra a temperatura em graus Celsius às 4 horas da tarde do dia 26 de fevereiro no Estado do Colorado O Estado mede 624 km de Leste a Oeste e 444 km de Norte a Sul Utilize a Regra do Ponto Médio com m n 4 para estimar a temperatura média do Colorado nessa hora c Determine o volume de S 3942 A figura mostra uma superfície e um retângulo R no plano xy a Defina uma integral iterada para o volume do sólido que está sob a superfície e acima de R b Calculando a integral iterada determine o volume do sólido a D não é do tipo I nem do tipo II b D D₁ D₂ D₁ é do tipo I D₂ é do tipo II A próxima propriedade de integrais diz que se integrarmos a função constante fxy 1 sobre uma região D obteremos a área de D D 1 dA AD A Figura 19 ilustra por que a Equação 9 é verdadeira um cilindro sólido cuja base é D e a altura é 1 tem volume AD 1 AD mas sabemos que também podemos escrever seu volume como D 1 dA Finalmente podemos combinar as Propriedades 6 7 e 9 para demonstrar a seguinte propriedade Veja o Exercício 73 10 Se m fxy M para todo xy em D então m AD D fxy dA M AD A Figura 20 ilustra a Propriedade 10 no caso em que m 0 O volume do sólido sob o gráfico de z fxy e acima de D está compreendido entre os volumes dos cilindros que têm base D e alturas m e M Compare esta figura com a Figura 5217 que ilustra a propriedade análoga das integrais simples EXEMPLO 6 Utilize a Propriedade 10 para estimar a integral D e sen x cos y dA onde D é o disco com centro na origem e raio 2 SOLUÇÃO Como 1 sen x 1 e 1 cos y 1 temos 1 sen x cos y 1 uma vez que a função exponencial natural é crescente temos e¹ e sen x cos y e¹ e Assim usando m e¹ 1e M e e AD π2² na Propriedade 10 obtemos 4π e D e sen x cos y dA 4π e 152 Exercícios 16 Calcule a integral iterada 1 1² 0³ 8x 2 y dy dx 2 0² 0⁶ x² y dx dy 3 0² 0² xeᵗ dx dy 4 0² 0¹² x sen y dy dx 5 0¹ 0³ cos s³ dt ds 6 0¹ 0¹ 1 eʳ du dv b Calcule a integral iterada 7 fxy 2y 8 fxy x y 9 fxy xy 10 fxy x 11 x x2 1 dA D xy 0 x 4 0 y x 12 2x y dA D xy 1 y 2 y 1 x 1 13 e y dA D xy 0 y 3 0 x y 14 x2 y2 dA D xy 0 x 2 0 y x 15 Desenhe um exemplo de uma região que seja a do tipo I mas não do tipo II b do tipo II mas não do tipo I 16 Desenhe um exemplo de uma região que seja a tanto do tipo I quanto do tipo II b nem do tipo I nem do tipo II 1718 Expresse D como a região do tipo I e também como uma região do tipo II Em seguida calcule a integral dupla de duas maneiras 17 x dA D é limitada pelas retas y x y 0 x 1 18 xy dA D é limitada pelas curvas y x2 y 3x 1922 Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração Então calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique por que ela é mais fácil 19 y dA D é limitada por y x 2 x y2 20 y2 ex dA D é limitada por y x y 4 x 0 21 sen2 x dA D é limitada por y cos x 0 x π2 y 0 x 0 22 6x2 dA D é limitada por y x3 y 2x 4 x 0 2328 Calcule a integral dupla 23 x cos y dA D é limitada por y 0 y x2 x 1 24 x2 2y dA D é limitada por y x y x3 x 0 25 y2 dA D é a região triangular com vértices 01 12 41 26 xy dA D é limitada pelo quarto de círculo y 1 x2 x 0 e pelos eixos 27 2x y dA D é limitada pelo círculo de centro na origem e raio 2 28 y dA D é a região triangular com vértices 00 11 e 40 2930 A figura mostra uma superfície e uma região D no plano xy a Defina uma integral dupla iterada que forneça o volume do sólido que está sob a superfície e acima de D b Calculando a integral iterada determine o volume do sólido 29 z 1 xy 30 z x2 y2 3140 Determine o volume do sólido dado 31 Abaixo do plano 3x 2y z 0 e acima da região limitada pelas parábolas y x2 e x y2 32 Abaixo da superfície z 1 x2 y2 e acima da região limitada por x y2 e x 4 33 Abaixo da superfície z xy e acima do triângulo e vértices 11 41 e 12 34 Limitado pelo paraboloide z x2 y2 1 e pelos planos x 0 y 0 z 0 e x y 2 35 O tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano 2x y z 4 36 Limitado pelos planos z x y x x y 2 e z 0 37 Limitado pelos cilindros z x2 y x2 e pelos planos z 0 y 4 38 Limitado pelo cilindro y2 z2 4 e pelos planos x 2y x 0 z 0 no primeiro octante 39 Limitado pelo cilindro x2 y2 1 e pelos planos y z x 0 z 0 no primeiro octante Então a área é AD dA π4π4 0cos 2θ r dr dθ π4π4 12 r2 cos2 2θ dθ 12 π4π4 cos2 2θ dθ 14 π4π4 1 cos 4θ dθ 14 θ 14 sen 4θπ4π4 π8 EXEMPLO 5 Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide z x2 y2 acima do plano xy e dentro do cilindro x2 y2 2x SOLUÇÃO O sólido está acima do disco D cujo limite tem equação x2 y2 2x ou para completar os quadrados x 12 y2 1 Veja as Figuras 10 e 11 Em coordenadas polares temos x2 y2 r2 e x r cos θ assim o limite circular x2 y2 2x fica r2 2r cos θ ou r 2 cos θ Portanto o disco D é dado por D r θ π2 θ π2 0 r 2 cos θ e da Fórmula 3 temos V x2 y2 dA π2π2 02 cos θ r2 r dr dθ π2π2 r4 402 cos θ dθ 4 π2π2 cos4 θ dθ 8 0π2 cos4 θ dθ 8 0π2 1 cos 2θ 22 dθ 2 0π2 1 2 cos 2θ 121 cos 4θ dθ 2 32 θ sen 2θ 18 sen 4θ0π2 2 32π2 3π2 10 2x y dA onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x2 y2 4 e as retas x 0 e y x 11 senx2 y2 dA onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro na origem e raios 1 e 3 12 y2 x2 y2 dA onde R é a região que fica entre os círculos x2 y2 a2 e x2 y2 b2 com 0 a b 13 ex2 y2 dA onde D é a região limitada pelo semicirculo x 4 y2 e o eixo y 14 cos x2 y2 dA onde D é o disco com centro na origem e raio 2 15 arctgx dA onde R xy 1 x2 y2 4 0 y x 16 D x dA onde D é a região no primeiro quadrante que se encontra entre os círculos x2 y2 4 e x2 y2 2x 1722 a Defina uma integral iterada em coordenadas polares que forneça o volume do sólido sob a superfície e acima da região D b Calculando a integral iterada determine o volume do sólido 23 z 1 xy 24 z x2 y2 25 fxy y 26 fxy xy2 27 fxy x 28 fxy 1 2937 Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado 29 Sob o paraboloide z x2 y2 e acima do disco x2 y2 25 30 Abaixo do cone z x2 y2 e acima do anel 1 x2 y2 4 31 Abaixo do plano 2x y z 4 e acima do disco x2 y2 1 32 Dentro da esfera x2 y2 z2 16 e fora do cilindro x2 y2 4 33 Uma esfera de raio a 34 Limitado pelo paraboloide z 1 2x2 2y2 e pelo plano z 7 no primeiro octante 35 Acima do cone z x2 y2 e abaixo da esfera x2 y2 z2 1 36 Limitado pelos paraboloides z 6 x2 y2 e z 2x2 2y2 37 Dentro tanto do cilindro x2 y2 4 quanto do elipsoide 4x2 4y2 z2 64 38 a Uma broca cilíndrica de raio r é usada para fazer um furo que passa pelo centro de uma esfera de raio r2 Determine o volume do sólido em formato de anel resultante