Lista de Exercícios - Problemas de Otimização com Aplicações em Cálculo

4 fx y 3x x3 2y3 y4 47 Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo 48 Encontre três números positivos cuja soma é 12 e cuja soma dos quadrados é a menor possível 49 Encontre o volume máximo de uma caixa retangular que está inscrita em uma esfera de raio r 50 Encontre as dimensões de uma caixa com volume de 1000 cm3 que tenha a área de sua superfície mínima 51 Determine o volume da maior caixa retangular no primeiro octante com três faces nos planos coordenados e com um vértice no plano x 2y 3z 6 52 Determine as dimensões da caixa retangular de maior volume se a área total de sua superfície é dada por 64 cm2 53 Determine as dimensões de uma caixa retangular de volume máximo tal que a soma dos comprimentos de suas 12 arestas seja uma constante c 54 A base de um aquário com volume V é feita de ardósia e os lados são de vidro Se o preço da ardósia por unidade de área equivale a cinco vezes o preço do vidro determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material 55 Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de 32000 cm3 Determine as dimensões que minimizem a quantidade de papelão utilizado 56 Um prédio retangular está sendo projetado para minimizar a perda de calor As paredes leste e oeste perdem calor a uma taxa de 10 unidadesm2 por dia as paredes norte e sul a uma taxa de 8 unidadesm2 por dia o piso a uma taxa de 1 unidadem2 por dia e o teto a uma taxa de 5 unidadesm2 por dia Cada parede deve ter pelo menos 30 m de comprimento a altura deve ser no mínimo 4 m e o volume exatamente 4000 m3 a Determine e esboce o domínio da perda de calor como uma função dos comprimentos dos lados b Encontre as dimensões que minimizam a perda de calor Analise tanto os pontos críticos como os pontos sobre a fronteira do domínio c Você poderia projetar um prédio com precisamente menos perda de calor ainda se as restrições sobre os comprimentos das paredes fossem removidas 57 Se o comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser L qual é o maior volume possível 58 Um modelo para a colheita Y de uma cultura agrícola como função do nível de hidrogênio N e do nível de fósforo P no solo medida nas unidades apropriadas é YN P k N P e N P onde k é uma constante positiva Que níveis de nitrogênio e fósforo resultam na melhor colheita 59 O índice de Shannon às vezes chamado de índice de ShannonWiener ou índice de ShannonWeaver é uma medida da diversidade em um ecossistema Para o caso de três espécies ele é definido como H p1 ln p1 p2 ln p2 p3 ln p3 onde pi é a proporção da espécie i no ecossistema a Expresse H como uma função de duas variáveis usando o fato de que p1 p2 p3 1 b Qual é o domínio de H c Encontre o valor máximo de H Para quais valores de p1 p2 p3 ele ocorre 60 Três alelos versões alternativas de um gene A B e O determinam os quatro tipos de sangue A AA ou AO B BB ou BO O OO e AB A Lei de HardyWeinberg afirma que a proporção de indivíduos em uma população que carregam dois alelos diferentes é P 2pq 2pr 2rq onde p q e r são as proporções de A B e O na população Use o fato de que p q r 1 para mostrar que P é no máximo 32 61 Método dos Quadrados Mínimos Suponha que um cientista tenha razões para acreditar que duas quantidades x e y estejam relacionadas linearmente ou seja y mx b pelo menos aproximadamente para algum valor de m e de b O cientista realiza uma experiência e coleta os dados na forma de pontos x1 y1 x2 y2 xn yn e então colocaos em um gráfico Os pontos não estão todos alinhados de modo que o cientista quer determinar as constantes m e b para que a reta y mx b ajuste os pontos tanto quanto possível veja a figura Seja di yi mxi b o desvio vertical do ponto xi yi da reta O método dos quadrados mínimos determina m e b de modo que minimize i1n di2 a soma dos quadrados dos desvios Mostre que de acordo com esse método a reta de melhor ajuste é obtida quando m i1n xi bn i1n yi e m i1n xi2 b i1n xi i1n xi yi Dessa forma a reta é determinada ao resolver essas duas equações nas incógnitas m e b Veja a Seção 12 no Volume 1 para mais discussões e aplicações do método dos quadrados mínimos 62 Determine uma equação do plano que passa pelo ponto 1 2 3 e que corta o menor volume do primeiro octante