Lista de Exercícios - Cálculo 2

MeuGuru Matheus Exercício 45 Determine os pontos do cone 𝑧2 𝑥2 𝑦2 que estão mais próximos do ponto 4 2 0 Resolução Vamos usar 𝑑 para representar a distância do ponto 4 2 0 para qualquer ponto no cone Então nós temos que 𝑑 𝑥 42 𝑦 22 𝑧2 𝑑2 𝑥 42 𝑦 22 𝑧2 Como nós temos que a função do cone é dada por 𝑧2 𝑥2 𝑦2 Substituindo na equação que define a distância do ponto 𝑑2 𝑥 42 𝑦 22 𝑥2 𝑦2 Agora nós já temos a equação que precisamos minimizar 𝑓𝑥 𝑦 𝑑2 𝑥 42 𝑦 22 𝑥2 𝑦2 Então encontrando as derivadas parciais em 𝑥 e 𝑦 𝑓𝑥𝑥 𝑦 2𝑥 4 2𝑥 4𝑥 8 𝑓𝑦𝑥 𝑦 2𝑦 2 2𝑦 4𝑦 4 Os pontos críticos ocorrem quando 𝑓𝑥 0 e 𝑓𝑦 0 então igualando as derivadas parciais a zero 4𝑥 8 0 𝑥 2 4𝑦 4 0 𝑦 1 Por fim vamos usar a equação do cone para encontrar o valor de 𝑧 nesse ponto crítico 𝑧2 22 12 5 Portanto os pontos do cone que estão mais próximos do ponto 4 2 0 são 2 1 5 Exercício 51 Determine o volume da maior caixa retangular no primeiro octante com três faces nos planos coordenados e com um vértice no plano 𝑥 2𝑦 3𝑧 6 Resolução O volume de uma caixa retangular é descrito por 𝑉𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑦𝑧 Isolando 𝑧 na equação do plano encontramos 3𝑧 6 𝑥 2𝑦 𝑧 1 3 6 𝑥 2𝑦 Aplicando na fórmula do volume da caixa retangular 𝑓𝑥 𝑦 𝑥𝑦 3 6 𝑥 2𝑦 Encontrando as derivadas parciais 𝑓𝑥 1 3 6𝑦 2𝑥𝑦 𝑦2 1 3 𝑦6 2𝑥 2𝑦 𝑓𝑦 1 3 6𝑥 𝑥2 4𝑥𝑦 1 3 𝑥6 𝑥 4𝑦 Nós iremos encontrar os pontos críticos quando 𝑓𝑥 e 𝑓𝑦 forem iguais a zero então igualando as equações a 0 6 2𝑥 2𝑦 0 1 6 𝑥 4𝑦 0 2 Isolando 𝑥 na equação 2 e substituindo na equação 1 6 26 4𝑦 2𝑦 0 𝑦 1 Substituindo o valor encontrado na equação 2 6 𝑥 4 0 𝑥 2 Usando esses valores na equação do plano dado no enunciado 2 2 3𝑧 6 𝑧 2 3 Sendo assim o volume da caixa será 𝑉 21 2 3 4 3 Exercício 35 Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano 2𝑥 𝑦 𝑧 4 Resolução O plano 2𝑥 𝑦 𝑧 4 só intercepta o 𝑥𝑦 quando 𝑧 0 então podemos reescrever 2𝑥 𝑦 4 Isolando 𝑦 𝑦 4 2𝑥 O plano irá interceptar 𝑥 somente quando 𝑥 e 𝑦 forem 0 logo os limites de 𝑥 são 0 4 2𝑥 𝑥2 2 𝑥1 0 Portanto a região 𝐸 da nossa integral pode ser entendida da seguinte forma 𝐸 𝑥 𝑦 𝑧 0 𝑥 2 0 𝑦 4 2𝑥 0 𝑧 4 2𝑥 𝑦 Sendo seu gráfico descrito por Logo o volume pode ser calculado pela integral tripla 𝑉 𝑑𝑧 42𝑥𝑦 0 𝑑𝑦 42𝑥 0 𝑑𝑥 2 0 Integrando em relação a 𝑧 e aplicando os limites 𝑉 4 2𝑥 𝑦 42𝑥 0 𝑑𝑦𝑑𝑥 2 0 Integrando em relação a 𝑦 𝑉 4𝑦 2𝑥𝑦 𝑦2 2 0 42𝑥 𝑑𝑥 2 0 Aplicando os limites 𝑉 44 2𝑥 2𝑥4 2𝑥 1 2 4 2𝑥2 2 0 𝑑𝑥 Distribuindo e simplificando os termos 𝑉 2𝑥2 8𝑥 8 2 0 𝑑𝑥 Integrando 𝑉 2 3 𝑥3 4𝑥2 8𝑥 0 2 Aplicando os limites encontramos 𝑉 16 3 Exercício 39 Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro 𝑥2 𝑦2 1 e pelos planos 𝑦 𝑧 𝑥 0 𝑧 0 no primeiro octante Resolução O enunciado nos deu que os limites de 𝑧 são 0 𝑧 𝑦 Então já podemos montar a primeira parte da nossa integral 𝑉 𝑑𝑧 𝑦 0 𝑑𝐴 𝐷 Já a região 𝐷 é limitada pelo plano 𝑥𝑦 𝑥 0 e 𝑦 0 e pelo círculo 𝑥2 𝑦2 1 então reorganizando a equação do círculo 𝑦 1 𝑥2 Podemos perceber que se 𝑥2 1 o resultado assumirá números imaginários logo a região 𝐷 é definida por 𝐷 𝑥 𝑦 0 𝑥 1 0 𝑦 1 𝑥2 Sendo seu gráfico representado abaixo Portanto nossa integral é 𝑉 𝑑𝑧 𝑦 0 𝑑𝑦 1𝑥2 0 𝑑𝑥 1 0 Integrando em relação a 𝑧 e aplicando os limites 𝑉 𝑦 1𝑥2 0 𝑑𝑦 1 0 𝑑𝑥 Integrando em relação a 𝑦 𝑉 𝑦2 2 0 1𝑥2 1 0 𝑑𝑥 Aplicando os limites 𝑉 1 2 1 𝑥2 1 0 𝑑𝑥 Integrando 𝑉 1 2 𝑥 𝑥3 3 0 1 Por fim o volume do sólido é 𝑉 1 3 Exercício 37 Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dentro tanto do cilindro 𝑥2 𝑦2 4 quanto do elipsoide 4𝑥2 4𝑦2 𝑧2 64 Resolução Primeiro vamos reorganizar a equação do elipsoide 𝑧2 64 4𝑥2 4𝑦2 𝑧 64 4𝑥2 4𝑦2 Agora nós já temos os limites de 𝑧 para a integral 𝑉 𝑑𝑧 644𝑥24𝑦2 644𝑥24𝑦2 𝑑𝐴 𝐷 E a região 𝐷 como no exercício anterior pode ser interpretada como um círculo Porém agora ele tem raio 2 e dá a volta completa Então em coordenadas polares onde 𝑥 𝑟 cos 𝜃 𝑦 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝐴 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 A região 𝐷 pode ser entendida da seguinte forma 𝐷 𝑟 𝜃 0 𝑟 2 0 𝜃 2𝜋 Logo voltando para a integral 𝑉 𝑑𝑧 644𝑥24𝑦2 644𝑥24𝑦2 𝑑𝐴 𝐷 Integrando e aplicando os limites 𝑉 64 4𝑥2 4𝑦2 64 4𝑥2 4𝑦2 𝑑𝐴 𝐷 𝑉 264 4𝑥2 4𝑦2 𝑑𝐴 𝐷 Transformando em coordenadas polares com os valores já descritos 𝑉 2 64 4𝑟2cos2 𝜃 sin2 𝜃 2 0 𝑑𝑟 2𝜋 0 𝑑𝜃 Simplificando 𝑉 4 16 𝑟2 2 0 𝑑𝑟 2𝜋 0 𝑑𝜃 Integrando em relação 𝑟 𝑉 4 1 3 16 𝑟232 0 2 2𝜋 0 𝑑𝜃 Aplicando os limites 𝑉 4 3 64 243 𝑑𝜃 2𝜋 0 Por fim o volume do sólido é dado por 𝑉 8𝜋 3 64 243