Cálculo de Integrais e Áreas de Regiões Planas - Lista de Exercícios

Calcule as integrais 1 1 2 0 y y dy e 2 1 3 2 0 4 x dx x 3 3 3 1 x ln x dx 4 1 3 2 0 4 10 6 x x dx x x 5 4 2 2 ln dx x x 6 2 0 3cos xsen x dx 7 4 tg 2 0 1 sec e d 8 4 2 1 4 1 ln e dt t t Esboce a região definida pelas curvas indicadas e encontre sua área 9 4 2 0 x y y x y 10 9 2 x y x y x 11 2 4 4 4 1 x y x y 12 13 1 11 x4 4x2 5 dx f x x4 4x2 5 dx fx 11 x4 4x2 5 dx Com limites simétricos integral de função par 201 x4 4x2 5 dx Fx x55 4x33 5x F1 15 43 5 F0 0 11 x4 4x2 5 dx 10415 2 Interseção entre x9 y1 x y2 x2 y3 x9 y9 93 3 Interseção entre x9 y49 y x y x2 y 9 92 int04 x 12 x x32 dx int04 x dx int04 12 x x32 dx x121 121 04 12 x2 x32 1 321 04 23 432 x2 2 25 x52 04 23 432 162 25 452 5912 3 13 x3 ln x dx Integração por partes f g f g f g f lnx f 1x g x3 g x3 dx x4 4 x4 lnx4 13 x34 dx x4 lnx4 x416 Cálculo a parte x34 14 x44 x416 pois como 14 é uma constante eu posso tirar deixar para fora da integral e o que sobra x3 segue a regra x3131 x44 F3 F1 81 ln34 5 9 Y2x Y x¼ ① 00 ② 11 ③ 20 Encontrei esses pontos fazendo a intersecção das funções e encontrando suas raízes x¼0 x0 y0 2x0 x2 é raiz y0 y0 x0 x2 y0 1ª parte do ponto 1 ao 2 S área ⁰¹ x¼ dx S 45 x⁵4 ⁰¹ S 45 1⁵4 0⁵4 S 45 ua 5 ₂⁴ dx xlnx² ₂⁴ 1 xlnx² dx Substituição diferencial 1 lnx² dlnx ulnx du 1x dx 1 u² du Integração da função de potência uⁿ du uⁿ¹ n1 com n2 1 u desfaz a substituição ulnx 1 lnx Como a integração é no intervalo de 2 a 4 f4 f2 1 ln4 1ln2 1ln2 1ln4 2ª parte pontos 23 S ²³ 2x dx Seja u2x dudx S u du 23 u³² S 23 2x³² ²³ mas u2x logg S 23 22³² 23³² S 23 umu Somando SS 45 23 2215 umu integral 0 to pi4 1etgtheta sec2 theta dtheta Substituição xtg theta dx1cos2theta dtheta integral ex1 dx Linearidade integral ex dx integral 1 dx ex x desfazer substituição xtg theta tg theta etgtheta fpi4f0e11e integral 1 to epi4 4t1ln2 t dt Substituição xlnt dx1t dt 4 integral 1x21 dx varfx 4 varf x desfazer substituição xlnt 4 varfln t fepi4 f1 4 varfln epi4 4 varfln 1 4pi4 varfln e 4 varfln 1 pi varf1 4 varf0 pi24 0 pi24 xy4 y sqrt2x y0 Para construir os gráficos basta assumir valores para x 6 ₀π 3 cos²x senx dx Substituição diferencial cos²x udcosx u cosx du senx dx 3 u²du Integração da função de potência uⁿ du uⁿ¹n1 com n 2 3 u³3 u³ desfazer a substituição u cosx cos³x Como a função é contínua de 0 a π fπ f0 1 1 2 F1 F0 ln3 ln2 33 F1 F0 753 163 163 753 2x2 1x3 dx Linearidade 21x2 dx 1x3 dx 2 ln1x2 ln1x3 Demais cálculos 1x2 dx diferencial 1x2 dx2 1u du lnu ln1x2 1x3 dx diferencial 1x3 dx3 1u du lnu ln1x3 x dx x²2 pois xn dx xn1n1 e nesse caso n 1 1 dx integral de constante x 4 x³ 4x 10x² x 6 dx Vamos fazer a quebração de toda a parte 3x 4x² x 6 x 1 dx Linearidade 3x 4x² x 6 dx x dx 1 dx 2 ln1x2 x²2 x ln1x3 Cálculos na parte 3x 4x² x 6 dx 1 Fatoração 3x 4x3x2 dx 2 Agora vamos utilizar o método dos coeficientes indeterminados 3x 4x3x2 Ax2 Bx3 Reduzindo a um denominador comum 3x 4x3x2 B Ax 2B 3Ax3x2 Coeficientes de igualdade de potências iguais x⁰ 2B 3A 4 x¹ B A 3 A 2 B 1 Algumas definições 1ex dx substituição u x x u dx du eu du 1eu eu desfazer substituição u x x u 1ex ba fy dy Quando temos uma integral da forma resolvemos da seguinte forma fxyba fb fa Vale ressaltar que a função é contínua no intervalo a b 10 Para achar o ponto 1 interseção entre Y x2 e Y x x2 x x²4 x x² 4x x 4 y 2 4 2 12 Y x 4 x² Precisamos determinar a área dada no gráfico Portanto deve 1 x 2 umax 0 dx 4 2x yquando x2 uma 0 mesmo que x0 A 2 0 to 4 x4 x² dx 2 0 to 4 u du du2x A 0 to 4 u du u du2x 0 4 A u x u 4 x 2 3 4 A 2 6 23 34 A 28 163 12 Y x 4 x² Precisamos determinar a área dada no gráfico Portanto deve existir um intervalo 0 b dentro na curva devx x0 lhe dar e gx x gx dx dx uma área interna de funções que identificam uma variável fx e gx AC x são dois valores quaisquer quaisquer funções fx e gx no intervalo ab uma função lá gx fx é impossivel as formas de vier e se formar um função Ax f x gx dx gx gx x4x dx 0 A 2 4x² dx