Trabalho - Frequencia - 2024-1

ET64A - Sinais e Sistemas Professor: Cristiano Marcos Agulhari 1s2023 1 Objetivo O principal objetivo deste trabalho consiste na elabora¸c˜ao de um sistema linear e invariante no tempo que realize separa¸c˜ao de dois sinais, utilizando conceitos de filtragem. O procedimento ser´a realizado em ambiente MATLAB ou equivalente, a ser discutido com o professor. 2 Resposta em Frequˆencia Seja H(s) a fun¸c˜ao de transferˆencia de um sistema BIBO-est´avel. Neste caso, a sa´ıda `a aplica¸c˜ao de um sinal senoidal x(t) = sin(ω0t), em regime permanente, ´e dada por yRP (t) = |H(jω0)| sin(ω0t + ∠H(jω0)), sendo | · | o m´odulo e ∠ a fase de um n´umero complexo. Em outras palavras, a sa´ıda em regime permanente de um sinal de frequˆencia ω0 ´e um sinal de mesma frequˆencia ω0, por´em com uma mudan¸ca em amplitude (dada por |H(jω0)|) e uma mudan¸ca em fase (dada por ∠H(jω0)). Note que, para cada componente de frequˆencia do sinal de entrada, ´e poss´ıvel saber quais as mudan¸cas em amplitude e em fase que o sistema vai causar, a partir do estudo da fun¸c˜ao H(jω). Tal fun¸c˜ao ´e chamada de Resposta em frequˆencia, e ´e obtida a partir da fun¸c˜ao de transferˆencia H(s), substituindo s → jω. Exemplo 1 A resposta em frequˆencia do sistema H(s) = 1 s2 + 3s + 2 (1) ´e dada por H(jω) = 1 (jω)2 + 3(jω) + 2 = 1 2 − ω2 + j3ω. A sa´ıda em regime permanente do sistema `a entrada x(t) = cos(0.7t) + 3 sin(5.27t) ´e, portanto, dada por yRP (t) = 0.3866 cos(0.7t − 0.9474) + 0.0331 sin(5.27t − 2.5914), pois H(j0.7) = 0.2257 − 0.3139j ⇒ |H(j0.7)| = 0.3866, ∠H(j0.7) = −0.9474, H(j5.27) = −0.0282 − 0.0173j ⇒ |H(j5.27)| = 0.0331, ∠H(j5) = −2.5914. (2) Os gr´aficos das fun¸c˜oes |H(jω)| e ∠H(jω) (isto ´e, do m´odulo e da fase da resposta em frequˆencia) ´e comumente chamado de Diagrama de Bode. A Figura 1 mostra o Diagrama de Bode referente ao Sistema (1). A partir da Figura 1, ´e poss´ıvel obter, de forma aproximada, os valores de m´odulo e fase mostrados em (2). Note, por´em, que a informa¸c˜ao de m´odulo na figura ´e dada na unidade Decibeis (dB). Para realizar a convers˜ao correta, deve-se utilizar a rela¸c˜ao (|H(jω0)|)dB = 20 log10 |H(jω0)| ⇔ |H(jω0)| = 10 (|H(jω0)|)dB 20 . Por exemplo, na frequˆencia ω = 2, tem-se que (|H(j0.7)|)dB = −8.28dB. Portanto, |H(j0.7)| = 10 −8.28 20 = 0.3855, pr´oximo ao valor 0.3866 mostrado em (2). 1 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 Magnitude (dB) 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -180 -135 -90 -45 0 Phase (deg) Bode Diagram Frequency (rad/s) System: H Frequency (rad/s): 0.704 Magnitude (dB): -8.28 System: H Frequency (rad/s): 5.27 Magnitude (dB): -29.6 System: H Frequency (rad/s): 0.704 Phase (deg): -54.6 System: H Frequency (rad/s): 5.27 Phase (deg): -148 Figura 1: Diagrama de Bode do Sistema (1). De maneira semelhante, a fase mostrada na Figura 1 ´e dada em graus; para converter em radianos, basta aplicar a rela¸c˜ao (∠H(jω0))rad = 2π 360(∠H(jω0))graus. Da figura, (∠H(j2))graus = −54.6, portanto (∠H(jω0))rad = −0.9529, pr´oximo ao valor −0.9474 mostrado em (2). Quest˜ao 1 • Determine os valores de |H(j5.27)| e ∠H(j5.27), obtidos a partir do Diagrama de Bode da Figura 1, e compare com os valores exatos obtidos em (2). 3 S´ıntese de Filtros Filtros s˜ao sistemas respons´aveis por atenuar ou acentuar componentes espec´ıficas de frequˆencia dos sinais de entrada. Em geral existem quatro classes de filtros: 1. Filtros Passa-Baixas (FPB): S˜ao sistemas cuja resposta em frequˆencia H(jω) ´e idealmente dada como mostrado na Figura 2(a), sendo ωc denominada frequˆencia de corte. Quando um sinal ´e aplicado a este tipo de sistema, todas as componentes de frequˆencia menores que ωc s˜ao mantidas sem nenhum ganho ou atenua¸c˜ao (caso a magnitude da resposta em frequˆencia seja igual a 1 para ω < ωc), e as componentes de frequˆencia maiores que ωc s˜ao completamente eliminadas. Em outras palavras, apenas baixas frequˆencias “passam” pelo filtro. 2. Filtros Passa-Altas (FPA): S˜ao complementares aos FPB, uma vez que mantˆem apenas as componentes de alta frequˆencia, isto ´e, de frequˆencia ω > ωc, conforme ilustrado na Figura 2(b). 3. Filtros Passa-Faixas (FPF): Tais filtros conservam apenas as componentes de frequˆencia na faixa determinada por ωc1 < ω < ωc2. A resposta em frequˆencia ´e ilustrada na Figura 2(c). 4. Filtros Rejeita-Faixas (FRF): S˜ao complementares aos FPF, e rejeitam apenas frequˆencias no intervalo ωc1 < ω < ωc2. A resposta em frequˆencia ´e ilustrada na Figura 2(d). No entanto, as respostas em frequˆencia mostradas na Figura 2, que possuem uma queda abrupta (des- continuidade) nas frequˆencias de corte, s˜ao ideais, e infelizmente n˜ao s˜ao implement´aveis na pr´atica. 2 -10 0 10 -10 0 10 -10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -10 0 10 -10 0 10 -10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -10 0 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -10 0 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (a)F P B HF P B(jω) (b)F P A HF P A(jω) (c)F P F HF P f (jω) (d)F RF HF RB(jω) −ωc −ωc −ωc −ωc ωc ωc ωc ωc −ωc2 −ωc2 −ωc1 −ωc1 ωc1 ωc1 ωc2 ωc2 Figura 2: Respostas em Frequˆencia dos filtros. Quest˜ao 2 • Justifique porque os filtros da Figura 2 n˜ao s˜ao implement´aveis. N˜ao ser˜ao aceitas respostas circulares, por exemplo, “N˜ao s˜ao implement´aveis porque s˜ao ideais”. Dica: Calcule a resposta ao impulso do Filtro Passa-Baixas, por exemplo, e classifique o sistema resultante em termos de causalidade. Em situa¸c˜oes pr´aticas, s˜ao utilizados filtros com resposta em frequˆencia mais suaves. A Figura 3 ilustra a resposta em frequˆencia de um filtro passa-baixas, com frequˆencia de corte ωc = 10 rad/s, tanto em escala linear quanto em escala logar´ıtmica (como representado em um diagrama de Bode). Existem diversas t´ecnicas para determinar fun¸c˜oes de transferˆencia que implementem os filtros desejados. As metodologias mais comuns s˜ao os filtros de Butterworth, Chebyshev Tipo 1 e Chebyshev Tipo 2. 3 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 ω (Escala linear) |HF P B(jω)| ω (Escala logar´ıtmica) |HF P B(jω)|dB Figura 3: Resposta em frequˆencia reais de um FPB com frequˆencia de corte ωc = 10. 4 3.1 Filtros de Butterworth A resposta em frequéncia de um filtro passa-baixas de Butterworth de ordem m € Z satisfaz . 1 |H (jw) |? = ———_.. Ww i+(2) We As principais propriedades deste tipo de filtro sao: e O ganho DC é 1, e o ganho tende a 0 para w — +00; e Na frequéncia w = w, o ganho é 1/,/2 do ganho DC; e A resposta em frequéncia é suave tanto na faixa de passagem (isto é, para w < w,) quanto na faixa de rejeigado (isto é, para w > w); e Quanto maior a ordem m do filtro, maior é a queda na faixa de rejeigao. O filtro mostrado na Figura 3 corresponde a um filtro de Butterworth. E possivel aplicar transformacoes em frequéncia para obter FPA, FPF e FRF a partir do FPB [1]. 3.2 Filtros de Chebyshev Tipo 1 Os filtros passa-baixas de Chebyshev Tipo 1 de ordem m € Z possuem resposta em frequéncia dada por 1 H(jw)|? = ———— NGe)P = a sendo € um escalar pertencente ao intervalo (0, 1] e ¢(3) o polindmio real de ordem m denominado polinémio de Chebyshev, obtido pela relacao Cm+1(8) = 28¢m(B) — Gm—1(8), co(8) = 1, 1(8) = 8. A principal caracteristica do filtro de Chebyshev Tipo 1 é6 que, para um valor fixo para a ordem m, a transicao entre a faixa de passagem e a faixa de rejeicao é a mais abrupta possivel. Em contrapartida, a resposta em frequéncia do filtro na faixa de passagem apresenta oscilagdes, que podem distorcer o sinal filtrado. 3.3 Filtros de Chebyshev Tipo 2 Os filtros passa-baixas de Chebyshev Tipo 2 de ordem m € Z, por outro lado, apresentam resposta em frequéncia . 1 |H(joo)|? = ———;—. 1+>3,———- 7 (w/w) De maneira semelhante ao Tipo 1, o filtro de Chebyshev Tipo 2 apresenta a mais abrupta transicao possivel entre a faixa de passagem e a faixa de rejeicao, porém a oscilacaéo ocorre na faixa de rejeigao. A Figura 4 apresenta a resposta em frequéncia dos filtros Butterworth, Chebyshev Tipo 1 e Chebyshev Tipo 2 de mesma ordem m = 5. 4 Modulagao AM A modulagéo em amplitude (Amplitude Modulation) é um procedimento comumente utilizado para trans- mitir diferentes sinais de Audio utilizando um mesmo meio. Suponha que se deseje efetuar a modulacao AM de um sinal g;(t). Para tanto, o sinal modulado ¢,,(t) é gerado a partir da expressao g(t) = gi(t) cos(wyt), sendo w; uma frequéncia fixa denominada frequéncia de portadora. A Figura 5 ilustra o sinal modulado e seu espectro em frequéncia ®1(w). 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 butter cheby1 cheby2 ω |H(jω)| Figura 4: Respostas em frequˆencia dos filtros Butterworth, Chebyshev Tipo 1 e Chebyshev Tipo 2, de ordem m = 5. 0 2 4 6 8 10 -2 -1 0 1 2 -10 -5 0 5 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 2 4 6 8 10 -2 -1 0 1 2 -10 -5 0 5 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t g1(t) ω |G1(jω)| t φg1(t) ω |Φ1(ω)| Figura 5: Ilustra¸c˜ao da modula¸c˜ao AM Considere agora que se deseje enviar dois sinais diferentes g1(t) e g2(t) utilizando o mesmo meio de transmiss˜ao. Para isso, pode-se realizar a modula¸c˜ao AM utilizando, para cada sinal, diferentes frequˆencias de portadora. Considerando ω1 e ω2 as frequˆencias usadas para modular, respectivamente, g1(t) e g2(t), 6 cada sinal modulado ´e computado como φg1(t) = g1(t) cos(ω1t), φg2(t) = g2(t) cos(ω2t), e ´e transmitida a soma y(t) = φg1(t) + φg2(t). A Figura 6 ilustra tal procedimento em frequˆencia. |G1(ω)| |G2(ω)| ω ω ω ω ω |Φ1(jω)| |Φ2(jω)| |Φ1(jω) + Φ2(jω)| −ω1 −ω1 ω1 ω1 −ω2 −ω2 ω2 ω2 × cos(ω1t) × cos(ω2t) Soma Figura 6: Esquema do procedimento de modula¸c˜ao AM de dois sinais distintos. 5 Demodula¸c˜ao AM O procedimento de demodula¸c˜ao AM consiste em receber o sinal y(t), composto de diferentes sinais modu- lados, e recuperar o sinal desejado. Por exemplo, supondo que se deseje recuperar o sinal g1(t), modulado utilizando a frequˆencia ω1, deve-se seguir os seguintes passos: 1. Calcular ˜y(t) = y(t) cos(ω1t); 2. Aplicar um Filtro Passa-Baixas (FPB) em ˜y(t). A sa´ıda do filtro ser´a dada por g1(t). Quest˜ao 3 • Comente porque os dois passos descritos anteriormente resultam na recupera¸c˜ao de g1(t). Dica: Considerando o espectro em frequˆencia de y(t) mostrado na Figura 6, esboce o espectro de ˜y(t) e o resultado da aplica¸c˜ao do FPB. Parte Pr´atica: Recupera¸c˜ao de sinais O arquivo sinalrecebido.mat, dispon´ıvel no Moodle da disciplina, cont´em um sinal composto por dois sinais de ´audio modulados: Um sinal g1(t) modulado na frequˆencia ω1 = 120000 rad/s, e um sinal g2(t) modulado na frequˆencia ω2 = 560000 rad/s. O objetivo da parte pr´atica deste trabalho ´e projetar um sistema de demodula¸c˜ao, seguindo os passos mostrados na Se¸c˜ao 5, apara recuperar dois sinais com ´audios reconhec´ıveis. Programe uma rotina que fa¸ca a s´ıntese do filtro, aplique o procedimento de demodula¸c˜ao e, por fim, toque os ´audios em seu computador. Para tanto, considere que as informa¸c˜oes aud´ıveis dos sinais g1(t) e g2(t), antes da modula¸c˜ao, est˜ao contidas na faixa de frequˆencias ω < 2π2000 rad/s. A seguir, ser˜ao apresentados alguns comandos, na ferramenta MATLAB®, que podem ajudar neste trabalho. Abrir um arquivo Para abrir um arquivo, por exemplo sinalrecebido.mat, basta entrar com o comando load sinalrecebido.mat 7 As vari´aveis que foram gravadas neste arquivo ser˜ao carregadas no workspace do MATLAB. Por exemplo, no arquivo utilizado para este trabalho, duas vari´aveis s˜ao carregadas: sig, que cont´em o ´audio, e Fs, que corresponde `a frequˆencia de amostragem (em Hz) utilizada para digitalizar o ´audio. Tocar um sinal de ´audio O conte´udo do sinal de ´audio pode ser ouvido utilizando o comando soundsc(sig,Fs) sendo sig o sinal e Fs a frequˆencia de amostragem utilizada no armazenamento. Visualizar um sinal Para visualizar um sinal qualquer, basta utilizar o comando plot, da forma plot(sig) Por padr˜ao, a abscissa do gr´afico conter´a os ´ındices inteiros do vetor (´ındice 1, ´ındice 2, etc). Caso se conhe¸ca o vetor de tempo t, pode-se utilizar o comando plot(t,sig) para que a abscissa contenha a informa¸c˜ao temporal. No sinal considerado no trabalho, ´e poss´ıvel obter tal gr´afico utilizando a seguinte sequˆencia de comandos: tam = length(sig); %Numero de amostras do sinal Ts = 1/Fs; %Intervalo de tempo entre duas amostras t = 0:Ts:(tam-1)*Ts; %Construcao do vetor de tempo plot(t,sig); Produto entre sinais Como, no MATLAB, a opera¸c˜ao de produto ∗ ´e vetorial, o produto entre os sinais sig e cos(100*t) deve ser realizado utilizando o operador .* da forma sig.*cos(100*t); S´ıntese de filtros A s´ıntese de filtros utilizando a plataforma MATLAB pode ser realizada utilizando comandos apropriados. Para sintetizar um filtro de Butterworth, utilize o comando [num,den] = butter(m,wc,'s') Os argumentos de entrada s˜ao a ordem m do filtro desejado (vari´avel m) e a frequˆencia de corte ωc (vari´avel wc). O terceiro parˆametro, 's', ´e utilizado para especificar que o filtro sintetizado ´e de tempo cont´ınuo (para sintetizar filtros discretos, basta n˜ao colocar o terceiro argumento). As vari´aveis de sa´ıda s˜ao o numerador (num) e o denominador (den) da fun¸c˜ao de transferˆencia resultante. Para sintetizar um filtro de Chebyshev Tipo 1, basta utilizar a sintaxe [num,den] = cheby1(m,rp,wc,'s') A sintaxe ´e similar ao comando butter, com a inclus˜ao do parˆametro rp, que indica a magnitude da oscila¸c˜ao (em dB) que a resposta em frequˆencia do filtro apresentar´a na faixa de passagem. De maneira similar, o comando [num,den] = cheby2(m,rr,wc,'s') 8 gera um filtro de Chebyshev Tipo 2, sendo o parˆametro rr referente `a atenua¸c˜ao apresentada na faixa de rejei¸c˜ao. Defini¸c˜ao e visualiza¸c˜ao da fun¸c˜ao de transferˆencia Dados os vetores num referentes ao numerador e den ao denominador, a fun¸c˜ao de transferˆencia pode ser obtida pelo comando H = tf(num,den) Por exemplo, a fun¸c˜ao de transferˆencia H(s) = s2 + 2s + 3 4s3 + 5s2 + 6s + 7 ´e definida pelo comando H = tf([1 2 3],[4 5 6 7]) Aplica¸c˜ao de um sinal a um sistema Para obter a sa´ıda y(t) resultante da aplica¸c˜ao de um sinal x(t) a um sistema com fun¸c˜ao de transferˆencia H(s), basta utilizar o comando y = lsim(H,x,t) sendo H a fun¸c˜ao de transferˆencia definida pelo comando tf(), x o sinal no tempo e t o vetor de tempo. Entrega do Trabalho O trabalho dever´a ser entregue at´e o dia 20/06, pelo Moodle. A entrega dever´a ser um arquivo em formato .pdf, e deve relatar: • As respostas das Quest˜oes 1, 2 e 3; • O c´odigo usado para resolver o trabalho; • O diagrama de Bode do filtro utilizado para a demodula¸c˜ao; • Uma breve descri¸c˜ao dos ´audios ouvidos. Referˆencias [1] B. P. Lathi. Sinais e Sistemas Lineares. Bookman, 2nd edition, 2007. 9