Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia: Análise de Circuitos RL e RC

Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Faculdade de Engenharia da Computação e Telecomunicações Circuitos Elétricos e Sinais e Sistemas Texto de apoio Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia Circuitos RL e RC Com base nos conhecimentos de Circuitos Elétricos encontre a resposta 𝑣0𝑡 para o circuito mostrado na Figura 1b Considere 𝑉𝑠𝑡 como sinal de entrada Figura 1a 𝑅 2𝑘Ω e 𝐶 1𝜇𝐹 Figura 1a Figura 1b Para a análise do circuito da Figura 1 precisamos encontrar a Equação que define o comportamento do circuito ou seja o funcionamento considerando todos os elementos Para tanto devemos usar a Lei de Kirchhoff para as Tensões LKT Dessa forma teremos 𝑉𝑠𝑡 𝑣𝑅 𝑣𝑐 0 1 Considerando que 𝑣𝑐 𝑣0𝑡 e 𝑣𝑅 𝑅𝑖𝑐𝑡 e substituindose essas expressões na Equação 1 obteremos 𝑅𝑖𝑐𝑡 𝑣0𝑡 𝑉𝑠𝑡 2 Recordando a relação constitutiva para o capacitor 𝑖𝑐𝑡 𝐶 𝑑𝑣𝑐𝑡 𝑑𝑡 e substituindose na Equação 2 teremos 𝑅𝐶 𝑑𝑣𝑐𝑡 𝑑𝑡 𝑣0𝑡 𝑉𝑠𝑡 3 𝑅𝐶 𝑑𝑣0𝑡 𝑑𝑡 𝑣0𝑡 𝑉𝑠𝑡 4 Reorganizandose a Equação 4 chegamos em 𝑑𝑣0𝑡 𝑑𝑡 𝑣0𝑡 𝑅𝐶 𝑉𝑠𝑡 𝑅𝐶 5 A Equação 5 é uma equação diferencial de 10 ordem e para determinarmos a resposta do circuito 𝑣0𝑡 à entrada 𝑉𝑠𝑡 precisamos resolver a equação 5 A solução para a Equação 5 é obtida a partir da aplicação dos métodos para se resolver equações diferenciais Usemos então os seguintes métodos método da separação de variáveis método do fator de integração Teorema da Superposição atalho através substituição pelo equivalente de Thévenin e através da utilização da tabela para a obtenção da resposta forçada Método da separação de variáveis A equação diferencial que desejamos resolver é 𝑑𝑣0𝑡 𝑑𝑡 𝑣0𝑡 𝑅𝐶 𝑉𝑠𝑡 𝑅𝐶 Reorganizandose essa equação diferencial podemos obter 𝑑𝑣0𝑡 𝑑𝑡 𝑉𝑠𝑡 𝑅𝐶 𝑣0𝑡 𝑅𝐶 6 𝑑𝑣0𝑡 𝑑𝑡 𝑉𝑠𝑡 𝑣0𝑡 𝑅𝐶 7 Como o nome do método sugere vamos separar as variáveis As equações que seguem ilustram esse procedimento 𝑑𝑣0𝑡 𝑉𝑠𝑡 𝑣0𝑡 𝑑𝑡 𝑅𝐶 𝑑𝑣0𝑡 𝑣0𝑡 𝑉𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑅𝐶 8 Na Equação 8 a variável 𝑣0𝑡 foi separada e vamos agora integrar ambos os lados da Equação 8 𝑑𝑣0𝑡 𝑣0𝑡 𝑉𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑅𝐶 ln𝑣0𝑡 𝑉𝑠𝑡 𝑡 𝑅𝐶 𝐷 𝑣0𝑡 𝑉𝑠𝑡 𝑒 𝑡 𝑅𝐶𝐷 𝑣0𝑡 𝑒 𝑡 𝑅𝐶𝐷 𝑉𝑠𝑡 𝑣0𝑡 𝑒 𝑡 𝑅𝐶𝑒𝐷 𝑉𝑠𝑡 𝑣0𝑡 𝑒 𝑡 𝑅𝐶 𝐴 𝑉𝑠𝑡 9 Nesse ponto na Equação 9 precisamos determinar a constante 𝐴 O procedimento para isso envolve a utilização das condições iniciais sendo assim 𝑣𝑐0 𝑒 0 𝑅𝐶𝐴 𝑉𝑠𝑡 𝑣𝑐0 1 𝐴 𝑉𝑠𝑡 𝐴 𝑣00 𝑉𝑠𝑡 10 Substituindose a Equação 10 na equação 9 obtemos 𝑣00 𝑒 𝑡 𝑅𝐶𝑣𝑐0 𝑉𝑠𝑡 𝑉𝑠𝑡 𝑣0𝑡 𝑉𝑠𝑡 𝑣𝑐0 𝑉𝑠𝑡𝑒 𝑡 𝑅𝐶 11 A Equação 11 é a resposta completa para a tensão no capacitor Método do fator de integração A equação diferencial que desejamos resolver é 𝑑𝑣0𝑡 𝑑𝑡 𝑣0𝑡 𝑅𝐶 𝑉𝑠𝑡 𝑅𝐶 Determinandose o fator 𝑝 1 𝑅𝐶 𝑒 1 𝑅𝐶𝑑𝑡 𝑒 𝑡 𝑅𝐶 𝑑 𝑣0𝑡𝑒 𝑡 𝑅𝐶 𝑑𝑡 𝑉𝑠𝑡 𝑅𝐶 𝑒 𝑡 𝑅𝐶 𝑒 𝑡 𝑅𝐶 𝑑𝑣0 𝑉𝑠𝑡 𝑅𝐶 𝑒 𝑡 𝑅𝐶 𝑑𝑡 𝑒 𝑡 𝑅𝐶 𝑣0 𝑉𝑠𝑡 𝑅𝐶 1 1 𝑅𝐶 𝑒 𝑡 𝑅𝐶 𝑣0𝑡 𝑉𝑠𝑡 13 A Equação 13 corresponde a resposta forçada que chamaremos de 𝑣𝑓𝑡 𝑉𝑠𝑡 Já a resposta natural será da forma 𝑣𝑛 𝐴 𝑒𝑡𝑡0 𝑅𝐶 Logo obtemos 𝑣0𝑡 𝑉𝑠 𝐴𝑒 𝑡 𝑅𝐶 14 Vale a pena recordar que a resposta completa pode ser expressa como 𝑣0𝑡 𝑣𝑛 𝑣𝑓 Usando se as condições iniciais para determinar o coeficiente da resposta natural obtemos 𝑣𝑐0 𝑉𝑠 𝐴𝑒 0 𝑅𝐶 𝐴 𝑣𝑐0 𝑉𝑠 15 Substituindose a Equação 15 na equação 14 teremos 𝑣𝑐𝑡 𝑉𝑠𝑡 𝑣𝑐0 𝑉𝑠𝑒 𝑡 𝑅𝐶 16 Compare as Equações 11 e 16 Observe que são iguais Por que1 Vamos substituir os valores nas equações já que são iguais vamos usar somente uma 𝑣0𝑡 𝑉𝑠 𝑉𝑠𝑒 𝑡 2𝑚 𝑉𝑠 1 𝑒 𝑡 2𝑚 0 𝑡 4 𝑚𝑠 17 𝑣0𝑡 𝑉𝑠 𝑉𝑠 1 𝑒4𝑚 2𝑚 𝑉𝑠 𝑒𝑡4𝑚 2𝑚 4 𝑚𝑠 𝑡 20 𝑚𝑠 18 Observe que o termo 𝑉𝑠 1 𝑒4𝑚 2𝑚 corresponde à condição inicial para o intervalo definido por 4 𝑚𝑠 𝑡 20 𝑚𝑠 Vamos analisar a entrada 𝑣𝑠𝑡 Observemos primeiro a entrada representada pela Figura 1a Por essa figura vemos que 𝑉𝑠𝑡 4 𝑉 0 𝑡 4 𝑚𝑠 19 𝑉𝑠𝑡 1 𝑉 4 𝑚𝑠 𝑡 20𝑚𝑠 20 Sendo assim 𝑣0𝑡 4 1 𝑒 𝑡 2𝑚 0 𝑡 4 𝑚𝑠 21 𝑣0𝑡 1 41 𝑒4𝑚 2𝑚 1 𝑒𝑡4𝑚 2𝑚 4𝑚𝑠 𝑡 20𝑚𝑠 𝑣0𝑡 1 345 1𝑒𝑡4𝑚 2𝑚 4 𝑚𝑠 𝑡 20 𝑚𝑠 𝑣0𝑡 1 445𝑒𝑡4𝑚 2𝑚 4 𝑚𝑠 𝑡 20 𝑚𝑠 22 As Equações 21 e 22 são as respostas para o circuito da Figura 1b considerando o sinal de saída mostrado na Figura 1a A Figura 2 mostra o sinal de entrada na cor roxa e a resposta do circuito na cor verde para 0 𝑡 4 𝑚𝑠 e na cor vermelha para 4 𝑚𝑠 𝑡 20 𝑚𝑠 Este gráfico foi plotado usandose o GeoGebra 1 Porque resolvemos a mesma equação diferencial A única mudança foi no método de resolução escolhido Figura 2 Teorema da Superposição Vamos agora determinar a resposta usando o Teorema da Superposição Para tanto vamos representar 𝑣𝑠𝑡 por uma combinação de funções degrau unitário Figura 3 da forma 𝑉𝑠𝑡 5𝑢𝑡 𝑢𝑡 5𝑢𝑡 4 Figura 3 A Figura 4 apresenta o circuito da Figura 1b com a representação de 𝑉𝑠𝑡 em termos de funções degrau unitário Figura 4 Observe as polaridades das fontes de tensão Elas foram organizadas para se ter 𝑉𝑠𝑡 com a polaridade indicada na Figura 4 e concordando com o sinal apresentado na Figura 1a Vamos analisar cada fonte de tensão individualmente lembrando que o comportamento das demais fontes são de curtoscircuitos considerando que são fontes de tensão Temos de atentar aos seguintes fatos Quando estamos trabalhando com a função degrau unitário assumimos as condições iniciais iguais a zero Devemos observar os tempos em que as fontes irão atuar para definir corretamente a resposta total Assim vamos iniciar nossa análise com a fonte de 𝑉𝑠 5𝑢𝑡 5 𝑉 Essa fonte começa a funcionar em 𝑡 0𝑠 usandose a equação 𝑣0𝑡 𝑉𝑠 𝑣𝑐0 𝑉𝑠𝑒𝑡𝑡0 𝑅𝐶 e assumindo 𝑡0 0𝑠 𝑣𝑐0 0 𝑉 𝑣𝑠𝑡 5𝑢𝑡 5 𝑉 e 𝑅𝐶 2𝑚𝑠 obteremos 𝑣0𝑡 5 5𝑒 𝑡 2𝑚𝑠 5 1 𝑒 𝑡 2𝑚𝑠 23 Analisandose a fonte 𝑉𝑠𝑡 𝑢𝑡 1𝑉 observandose a polaridade da fonte e sabendose que ela funciona a partir de 𝑡 0 𝑠 chegaremos a 𝑣0𝑡 1 1𝑒 𝑡 2𝑚𝑠 1 𝑒 𝑡 2𝑚𝑠 24 Vamos passar para a fonte 𝑉𝑠 5𝑢𝑡 4 5𝑉 que terá seu funcionamento a partir de 𝑡 4 𝑚𝑠 Sendo assim 𝑣0𝑡 5 1 𝑒𝑡4𝑚 2𝑚 25 Usandose o Teorema da Superposição teremos 𝑣0𝑡 5 1 𝑒 𝑡 2𝑚𝑠 1 𝑒 𝑡 2𝑚𝑠 5 5𝑒 𝑡 2𝑚𝑠 1 𝑒 𝑡 2𝑚𝑠 4 4𝑒 𝑡 2𝑚𝑠 4 1 𝑒 𝑡 2𝑚𝑠 26 Observe que a Equação 26 só é válida para 0 𝑡 4 𝑚𝑠 onde temos as fontes 5𝑢𝑡 e 1𝑢𝑡 atuando Para o intervalo 4 𝑚𝑠 𝑡 20 𝑚𝑠 teremos as três fontes funcionando Sendo assim 𝑣0𝑡 5 1 𝑒 𝑡 2𝑚𝑠 1 𝑒 𝑡 2𝑚𝑠 5 1 𝑒𝑡4𝑚 2𝑚 1 4𝑒 𝑡 2𝑚𝑠 5𝑒𝑡4𝑚 2𝑚 27 A Figura 5 representa os sinais de entrada na cor roxa o sinal descrito pela Equação 26 na cor verde e o sinal indicado pela Equação 27 na cor azul Figura 5 Teorema de Thévenin Recordemos que para os casos dos circuitos de 1o ordem que puderem ser representados pelos seus equivalentes de Thévenin ou Norton acoplados a um capacitor e indutor respectivamente já temos as soluções Sendo assim vamos verificar se podemos chegar em um circuito que seja representado pelo equivalente de Thévenin acoplado a um capacitor O circuito equivalente de Thévenin é formado por uma fonte de tensão em série com um resistor Se observarmos o circuito da Figura 1b notamos que o circuito já possui uma estrutura de um circuito equivalente de Thévenin sendo 𝑉𝑇𝐻 𝑣𝑂𝐶 𝑉𝑠𝑡 28 𝑅𝑇𝐻 𝑅 29 Dessa forma podemos usar os resultados já obtidos para esse caso sendo assim 𝑣0𝑡 𝑣𝑂𝐶 𝑣𝑡0 𝑣𝑂𝐶𝑒𝑡𝑡0 𝜏 30 A equação 30 é a solução para o problema porém precisamos preencher os espaços em brancos2 Para essa finalidade precisamos observar que podemos representar o sinal de entrada por 2 Jargão utilizado em sala que significa encontrar os valores de 𝑡0 𝑣𝑂𝐶 𝑣𝑡0e 𝜏 funções degrau unitário 𝑉𝑠𝑡 5𝑢𝑡 𝑢𝑡 5𝑢𝑡 4 tal como foi realizado para a aplicação do Teorema da Superposição e mostrado na Figura 4 Notemos que podemos usar o Teorema da Superposição no circuito da Figura 4 e aplicarmos os resultados traduzidos pela Equação 30 lembrando que ao trabalharmos com as funções degrau unitário as condições iniciais são zero Sendo assim para a fonte 𝑉𝑠𝑡 5𝑢𝑡 5 𝑉 a partir da Equação 30 obtemos 𝑉0𝑡 5 0 5𝑒 𝑡 𝑅𝐶 31 𝑉0𝑡 5 5𝑒 𝑡 2𝑚 32 𝑉0𝑡 5 1 𝑒 𝑡 2𝑚 33 Para a fonte 𝑉𝑠𝑡 1𝑢𝑡 1 𝑉e a partir da Equação 30 teremos 𝑉0𝑡 1 0 1𝑒 𝑡 𝑅𝐶 34 𝑉0𝑡 1 𝑒 𝑡 𝑅𝐶 35 Para a fonte 𝑉𝑠𝑡 5𝑢𝑡 4 5 𝑉 que funciona a partir de 𝑡0 4 𝑚𝑠 determinamos 𝑉0𝑡 5 0 5𝑒𝑡4𝑚 2𝑚 36 𝑉0𝑡 51 𝑒𝑡4𝑚 2𝑚 37 Somandose os resultados chegaremos a 𝑉0𝑡 5 5𝑒 𝑡 2𝑚 1 𝑒 𝑡 2𝑚 4 4𝑒 𝑡 2𝑚 0 𝑡 4 𝑚𝑠 38 𝑉0𝑡 5 5𝑒 𝑡 2𝑚 1 𝑒 𝑡 2𝑚 5 5𝑒𝑡4 2𝑚 𝑉0𝑡 1 4𝑒 𝑡 2𝑚 5𝑒𝑡4 2𝑚 4 𝑚𝑠 𝑡 20 𝑚𝑠 39 Observe que as Equações 38 e 39 são iguais as Equações 26 e 27 respectivamente A diferença entre a aplicação do Teorema da Superposição e o Teorema de Thévenin está relacionada com o fato de que ao usarmos o Teorema de Thévenin usamos diretamente a resposta enquanto no caso da Superposição tivemos de resolver a equação diferencial para usarmos a Equação 11 ou 16 Determinação da resposta através da utilização da tabela para a obtenção da resposta forçada A equação diferencial do circuito que desejamos resolver é a indicada pela Equação 5 que reproduzimos aqui por conveniência 𝑑𝑣0𝑡 𝑑𝑡 𝑣0𝑡 𝑅𝐶 𝑉𝑠𝑡 𝑅𝐶 Sabemos que a resposta completa da Equação 5 é composta de duas parcelas a resposta natural 𝑣𝑛𝑡 e a resposta forçada 𝑣𝑓𝑡 A resposta natural ligase aos elementos do circuito já a resposta forçada ao sinal de entrada do circuito Vimos que para uma entrada constante a saída forçada é uma constante também ou seja Entrada Saída 𝐴 𝐵 Se substituirmos essa resposta forçada na equação diferencial do circuito resultará em 𝑑𝑣𝑓𝑡 𝑑𝑡 𝑣𝑓𝑡 𝑅𝐶 𝑉𝑠𝑡 𝑅𝐶 𝑑𝐵 𝑑𝑡 𝐵 𝑅𝐶 𝑉𝑠𝑡 𝑅𝐶 𝐵 𝑉𝑠𝑡 40 Como a resposta natural é da forma 𝑣𝑛 𝐾𝑒𝑡𝑡0 𝑅𝐶 podemos obter a resposta completa Assim 𝑣0𝑡 𝐾𝑒𝑡𝑡0 𝑅𝐶 𝑉𝑠𝑡 41 Determinamos o coeficiente 𝐾 usandose as condições iniciais logo 𝑣0𝑡0 𝐾𝑒𝑡𝑡0 𝑅𝐶 𝑉𝑠𝑡 42 𝑣0𝑡0 𝐾 𝑉𝑠𝑡 43 𝐾 𝑣0𝑡0 𝑉𝑠𝑡 44 𝑣0𝑡 𝑣0𝑡0 𝑉𝑠𝑡𝑒𝑡𝑡0 𝑅𝐶 𝑉𝑠𝑡 45 Observe que a Equação 45 é igual a Equação 11 16 e 30 Sendo assim podese adotar qualquer procedimento realizado a partir das Equações 11 16 e 30 para se chegar na resposta Observações A análise do circuito envolve o conhecimento das relações constitutivas do resistor capacitor e indutor comportamento individual a análise do circuito envolve o conhecimento das Leis de Kirchhoff tanto para caso das correntes como para o caso das tensões quando o circuito possui um elemento armazenador de energia capacitor ou indutor o circuito é chamado de circuito de primeira ordem pois sua equação é uma equação diferencial de primeira ordem na determinação da equação diferencial devese ter a priori o conhecimento que qual variável se deseja avaliar Em geral a tensão no capacitor circuitos RC ou a corrente no indutor circuitos RL para a resolução da equação diferencial devese conhecer as condições iniciais que passam pela obtenção da tensão no capacitor ou corrente no indutor o Quando não fornecidas as condições iniciais devem ser determinadas o Tais condições iniciais devem sempre ser conhecidas a cada início de nova fase de funcionamento do circuito a cada evento o Interessante ressaltar que o uso da função degrau unitário para descrever as fontes do circuito implica em se assumir as condições iniciais são iguais a zero Para a resolução da equação diferencial podese optar por usar qualquer método para se resolver a equação no presente caso tanto fez usarmos o método da separação de variáveis como o método do fator de integração A resposta completa para a equação diferencial pode ser visualizada com formada pela resposta natural somada à resposta forçada o A resposta natural corresponde à resposta transitória do circuito e é da forma 𝑥𝑛 𝐾 𝑒𝑡𝑡0 𝜏 A resposta natural está relacionada aos elementos do circuito o A resposta forçada está relacionada ao sinal de entrada do circuito Ainda com relação à resolução da equação diferencial existem métodos que nos proporcionam a aceleração da obtenção da resposta como o do uso dos Teorema de Thévenin ou Norton para o caso de fontes constantes Nesse caso o circuito é transformado em seus equivalentes de Thévenin ou Norton acoplados a capacitores e a indutores o A resposta forçada pode ser mapeada a partir do conhecimento do sinal de entrada As condições iniciais são importantes no contexto da resolução da equação diferencial do circuito para a determinação do coeficiente da resposta natural Essa determinação coeficiente da resposta natural é feita somente quando já temos definida a resposta forçada Circuitos RLC Com base nos conhecimentos de Circuitos Elétricos encontre a resposta completa 𝑣𝑐𝑡 para o circuito mostrado na Figura 6 Considere 𝑅1 3Ω 𝑅2 1Ω 𝐶 1𝐹 𝐿 1𝐻 𝑣𝑠𝑡 𝑢𝑡 𝑉 Figura 6 O circuito mostrado na Figura 6 é um circuito formado por dois elementos armazenadores de energia Como consequência teremos uma equação diferencial de 2ª ordem para descrever o comportamento da tensão no capacitor Sendo assim vamos determinar a equação diferencial do circuito Para essa finalidade vamos analisar o circuito para 𝑡 0𝑠 Figura 7 Figura 7 Podemos iniciar a análise usandose a Lei de Kirchhoff para as Tensões na malha indicada na Figura 8 Sendo assim Figura 8 𝑣𝑠𝑡 𝑣𝐿𝑡 𝑣𝑅1𝑡 𝑣𝐶𝑡 0 46 Vamos mexer na Equação 46 para que a equação fique em função da variável de interesse que é a tensão no capacitor 𝐿 𝑑𝑖𝐿𝑡 𝑑𝑡 𝑅1𝑖𝐿𝑡 𝑣𝐶𝑡 𝑣𝑠𝑡 47 Observe que não conseguimos obter uma equação somente com a tensão no capacitor Então vamos usar a Lei de Kirchhoff para as Correntes no nó 𝑎 indicado na Figura 9 Dessa forma teremos Figura 9 𝑖𝐿𝑡 𝑖𝑅2𝑡 𝑖𝐶𝑡 48 Manipulandose a equação para conter a variável de interesse chegaremos em 𝑖𝐿𝑡 𝑣𝑐𝑡 𝑅2 𝐶 𝑑𝑣𝑐𝑡 𝑑𝑡 49 Substituindose a Equação 49 na Equação 47 obteremos 𝐿 𝑑𝑣𝑐𝑡 𝑅2 𝐶 𝑑𝑣𝑐𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑅1𝑣𝑐𝑡 𝑅2 𝐶 𝑑𝑣𝑐𝑡 𝑑𝑡 𝑣𝐶𝑡 𝑣𝑠𝑡 50 𝐿 𝑅2 𝑑𝑣𝑐𝑡 𝑑𝑡 𝐿𝐶 𝑑2𝑣𝐶𝑡 𝑑𝑡2 𝑅1 𝑅2 𝑣𝑐𝑡 𝑅1𝐶 𝑑𝑣𝑐𝑡 𝑑𝑡 𝑣𝐶𝑡 𝑣𝑠𝑡 51 Reorganizando a Equação 51 temos como resultado 𝑑2𝑣𝐶𝑡 𝑑𝑡2 1 𝐶𝑅2 𝑅1 𝐿 𝑑𝑣𝑐𝑡 𝑑𝑡 𝑅1 𝐿𝐶𝑅2 1 𝐿𝐶𝑣𝑐𝑡 𝑣𝑠𝑡 𝐿𝐶 52 O próximo passo será o de resolvermos a Equação 52 Para esse fim vamos recordar que a solução completa para a Equação 52 pode ser visualizada como a formada pela soma da resposta natural com a resposta forçada ou seja 𝑣𝑐𝑡 𝑣𝑛𝑡 𝑣𝑓𝑡 53 Antes de passarmos para a determinação das respostas natural e forçada vamos substituir os valores para as resistências capacitância e indutância na Equação 52 Como consequência teremos 𝑑2𝑣𝐶𝑡 𝑑𝑡 1 11 3 1 𝑑𝑣𝑐𝑡 𝑑𝑡 3 111 1 11𝑣𝑐𝑡 𝑢𝑡 11 54 𝑑2𝑣𝐶𝑡 𝑑𝑡 4 𝑑𝑣𝑐𝑡 𝑑𝑡 4𝑣𝑐𝑡 1 55 Determinação da resposta forçada Para uma entrada constante a resposta forçada é uma constante Entrada Saída 𝐴 𝐵 Sendo assim 𝑣𝑓𝑡 𝐵 Para determinarmos B vamos substituir a resposta forçada na Equação 55 logo 𝑑2𝐵 𝑑𝑡 4 𝑑𝐵 𝑑𝑡 4𝐵 1 56 4𝐵 1 57 𝐵 1 4 58 Consequentemente 𝑣𝑓𝑡 𝐵 1 4 59 Determinação da resposta natural Para determinarmos a resposta natural precisamos saber quais são as raízes da equação característica A equação característica é obtida através da equação diferencial homogênea e utilizando os operadores 𝑠 Sendo assim a partir da Equação 55 e usando a transformação 𝑠𝑛 𝑑𝑛 𝑑𝑡𝑛 obtemos 𝑠2𝑣𝐶𝑡 4𝑠𝑣𝑐𝑡 4𝑣𝑐𝑡 0 60 𝑠2 4𝑠 4 𝑣𝐶𝑡 0 61 𝑠2 4𝑠 4 0 62 A Equação 62 é a Equação característica Vamos determinar as raízes dessa equação A Equação 62 é uma equação do 2º grau cujas raízes podem ser determinadas pela equação de Bhaskara ou seja 𝑠 4 42 414 21 6 𝑠 4 2 61 𝑠1 𝑠2 2 61 As raízes da equação característica Equação 62 são reais e iguais logo a resposta natural será da forma 𝑣𝑛 𝐴1 𝐴2𝑡𝑒𝑠𝑡 61 𝑣𝑛 𝐴1 𝐴2𝑡𝑒2𝑡 62 A resposta completa será então 𝑣𝑐𝑡 𝑣𝑛 𝑣𝑓 𝐴1 𝐴2𝑡𝑒2𝑡 1 4 63 A determinação dos coeficientes 𝐴1 e 𝐴2 é realizada usandose as condições iniciais Sendo assim vamos determinar as condições iniciais para a tensão no capacitor e corrente no indutor Porém considerando que a entrada é um sinal degrau unitário as condições iniciais são iguais a zero ou seja 𝑣𝑐0 0𝑉 64 𝑖𝐿0 0 𝐴 65 Substituindose a Equação 64 na Equação 63 obtemos 𝑣𝑐0 𝐴1 𝐴20𝑒20 1 4 66 𝑣𝑐0 𝐴1 1 4 0 67 A utilização da condição inicial da tensão no capacitor não foi suficiente para determinarmos os coeficientes da resposta natural Precisamos de uma outra equação para compor com a Equação 67 a fim de determinarmos 𝐴2 Vamos pensar no que sabemos Conhecemos a outra condição inicial que é a corrente no indutor Portanto podemos verificar se podemos usar essa informação Nesse momento voltemos para o início do desenvolvimento desta análise No momento em que estávamos determinando a equação diferencial para o circuito Basicamente manipulamos duas equações a Equação 47 e a Equação 49 reproduzidas a seguir 𝐿 𝑑𝑖𝐿𝑡 𝑑𝑡 𝑅1𝑖𝐿𝑡 𝑣𝐶𝑡 𝑣𝑠𝑡 𝑖𝐿𝑡 𝑣𝑐𝑡 𝑅2 𝐶 𝑑𝑣𝑐𝑡 𝑑𝑡 As Equações 47 e 49 são equação que traduzem o funcionamento do circuito Portanto podemos usálas A questão então é qual delas usaremos Vamos verificar qual das equações irá no ajudar Vamos iniciar uma análise por substituir as condições iniciais na Equação 47 𝑑𝑖𝐿0 𝑑𝑡 𝑅1𝑖𝐿0 𝐿 𝑣𝐶0 𝐿 68 Com todas as condições iguais a zero a Equação 68 ficará reduzida a 𝑑𝑖𝐿0 𝑑𝑡 0 69 Não temos condições por ora de determinarmos 𝑑𝑖𝐿0 𝑑𝑡 por não conhecemos 𝑖𝐿𝑡 Assim parecenos que essa equação não nos ajudou muito Vamos então para a equação 49 𝑖𝐿0 𝑣𝑐0 𝑅2 𝐶 𝑑𝑣𝑐𝑡 𝑑𝑡 70 Substituindose as condições iniciais teremos 𝑑𝑣𝑐0 𝑑𝑡 𝑖𝐿0 𝐶 𝑣𝑐0 𝐶𝑅2 0 71 Nesse ponto devese observar que 𝑑𝑣𝑐0 𝑑𝑡 pode ser determinado conhecemos De onde ou como Ora sabemos que 𝑣𝑐𝑡 𝐴1 𝐴2𝑡𝑒2𝑡 1 4 então se substituirmos na Equação 71 obteremos 𝑑𝐴1 𝐴2𝑡𝑒2𝑡 1 4 𝑑𝑡 𝑑𝐴1𝑒2𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐴2𝑡𝑒2𝑡 𝑑𝑡 𝑑 1 4 𝑑𝑡 0 72 2𝐴1𝑒2𝑡 𝐴2𝑒2𝑡 2𝐴2𝑡𝑒2𝑡𝑡0 0 73 2𝐴1𝑒20 𝐴2𝑒20 2𝐴2 0 𝑒20𝑡0 0 74 2𝐴1 𝐴2 0 75 Formandose um sistema de equação com as Equações 67 e 75 podemos determinar os valores para 𝐴1 e 𝐴2 𝐴1 1 4 0 2𝐴1 𝐴2 0 76 Logo 𝐴1 1 4 e 𝐴2 1 2 Substituindose esses valores na Equação 63 obteremos 𝑣𝑐𝑡 𝑣𝑛 𝑣𝑓 1 4 1 2 𝑡 𝑒2𝑡 1 4 77 A Equação 77 corresponde a resposta completa para o cenário apresentado na Figura 6 A Figura 10 mostra o sinal de entrada 𝑣𝑠𝑡 𝑢𝑡 na cor vermelha e a resposta do circuito através da tensão no capacitor 𝑣0𝑡 1 4 1 2 𝑒2𝑡 1 4 na cor azul Figura 10 Observações A análise de circuitos RLC envolve o conhecimento das relações constitutivas do resistor capacitor e indutor comportamento individual a análise de circuitos RLC envolve o conhecimento das Leis de Kirchhoff tanto para caso das correntes como para o caso das tensões quando o circuito possui dois elementos armazenadores de energia capacitores indutores e capacitor e indutor o circuito é chamado de circuito de segunda ordem pois sua equação é uma equação diferencial de segunda ordem na determinação da equação diferencial devese ter a priori o conhecimento que qual variável se deseja avaliar Em geral a tensão no capacitor ou a corrente no indutor para a resolução da equação diferencial devese conhecer as condições iniciais que passam pela obtenção da tensão no capacitor ou corrente no indutor o Quando não fornecidas as condições iniciais devem ser determinadas o Tais condições iniciais devem sempre ser conhecidas a cada início de nova fase de funcionamento do circuito a cada evento A resposta completa para a equação diferencial pode ser visualizada com formada pela resposta natural somada à resposta forçada o A resposta natural no caso de circuitos RLC é determinada usando como informação as raízes da equação diferencial do circuito A resposta natural está relacionada aos elementos do circuito o A resposta forçada está relacionada ao sinal de entrada do circuito As condições iniciais são importantes no contexto da resolução da equação diferencial do circuito para a determinação dos coeficientes da resposta natural Essa determinação coeficientes da resposta natural é feita somente quando já temos definida a resposta forçada Muito bom que você chegou a este ponto do texto de apoio Se leu com atenção raciocinando de acordo com o que discutimos em sala de aula creio que você está com um bom conhecimento acerca de circuitos elétricos A intenção deste texto foi de fornecer um material de apoio ao seu estudo Gostou Ressalto que seu conhecimento sobre circuitos elétricos pode aumentar muito através da leitura e estudo nos livros Vale muito lêlos Aplicações da Transformada de Laplace A análise de SLIT pode ser realizada em diferentes domínios a saber no tempo e na frequência A migração de um domínio para o outro é realizada através das transformadas No escopo do curso de Sinais e Sistemas discutimos duas ferramentas que permitem realizar essa migração de um domínio para o outro ou seja a Transformada de Fourier e a Transformada de Laplace A presente discussão que realizaremos será direcionada para algumas aplicações da transformada de Laplace Para esse fim usaremos conhecimentos de Circuitos Elétricos Sabemos que a Transformada de Laplace permite a transformação de Equações Integro Diferenciais de SLIT em equações algébricas Dessa forma vamos analisar o circuito apresentado na Figura 1 que reproduziremos aqui Figura 11 por conveniência lembrando que 𝑅 2𝑘Ω e 𝐶 1𝜇𝐹 Figura 11 Desejamos determinar a resposta 𝑣0𝑡 à entrada 𝑣𝑠𝑡 De acordo com a teoria de circuitos elétricos3 a equação diferencial do circuito pode ser expressa pela Equação 5 reproduzida a seguir 𝑑𝑣0𝑡 𝑑𝑡 𝑣0𝑡 𝑅𝐶 𝑣𝑠𝑡 𝑅𝐶 A partir da Equação 5 vamos usar a Propriedade da Diferenciação da Transformada de Laplace e assumir que 𝑣𝑠𝑡 e 𝑣0𝑡 tenham transformadas de Laplace Sendo assim e recordando a Propriedade da Diferenciação 𝑑𝑥1𝑡 𝑑𝑡 𝑠𝑋1𝑠 𝑥10 78 𝑑𝑛𝑥1𝑡 𝑑𝑡𝑛 𝑠𝑛𝑋1𝑠 𝑠𝑛𝑘 𝑛 𝑘1 𝑥1 𝑘10 onde 𝑥𝑘0 𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑡𝑘 𝑡0 79 e aplicandose a propriedade Equações 78 e 79 à Equação 5 e podemos obter 𝑑𝑣0𝑡 𝑑𝑡 𝑠𝑉0𝑠 𝑉00 80 3 Para a dedução completa da equação veja o início deste documento 𝑣0𝑡 𝑅𝐶 1 𝑅𝐶 𝑉0𝑡 81 𝑉𝑠𝑡 𝑅𝐶 1 𝑅𝐶 𝑉𝑠𝑠 82 o que resulta em 𝑠𝑣0𝑠 𝑣00 1 𝑅𝐶 𝑉0𝑠 1 𝑅𝐶 𝑉𝑠𝑠 83 Assumindose a condição inicial igual a zero 𝑣00 0 𝑉 e arrumando a Equação 83 podemos obter 𝑉0𝑠 𝑠 1 𝑅𝐶 𝑉𝑠𝑠 𝑅𝐶 84 𝑉0𝑠 𝑉𝑠𝑠 𝑅𝐶 1 𝑠 1 𝑅𝐶 85 𝑉0𝑠 1 𝑅𝐶𝑠 1 𝑉𝑠𝑠 86 Observe que a Equação 86 é a resposta desejada no domínio da frequência Nesse momento precisamos especificar 𝑉𝑠𝑠 Pela forma de onda mostrada na Figura 11 podemos ter o sinal representado através de funções degrau unitário Assim podemos compor o sinal de entrada da forma apresentada na Figura 12 Figura 12 Onde o sinal 𝑣𝑠𝑡 é representado matematicamente como 𝑣𝑠𝑡 5𝑢𝑡 𝑢𝑡 5𝑢𝑡 4 87 Então como 𝑣𝑠𝑡 𝑉𝑠𝑠 ou seja 𝑣𝑠𝑡 possui transformada de Laplace 𝑉𝑠𝑠 podemos obter usando a Propriedade da Linearidade a Propriedade do Deslocamento no Tempo e assumindo os tempos em milissegundos ℒ𝑣𝑠𝑡 ℒ5𝑢𝑡 𝑢𝑡 5𝑢𝑡 4 88 ℒ𝑣𝑠𝑡 ℒ5𝑢𝑡 ℒ𝑢𝑡 ℒ5𝑢𝑡 4 89 Determinandose as transformadas de Laplace obteremos ℒ5𝑢𝑡 5 1 𝑠 90 ℒ𝑢𝑡 1 𝑠 91 ℒ5𝑢𝑡 4 5 1 𝑠 𝑒4𝑠 92 Observe que a Equação 92 foi obtida a partir da Equação 90 e usandose a Propriedade do Deslocamento no Tempo 𝑥1𝑡 𝑡0 𝑋1𝑠𝑒𝑠𝑡0 O próximo passo será somar as Equações 90 91 e 92 para obtermos a transformada de Laplace de 𝑣𝑠𝑡 ou seja 𝑉𝑠𝑠 5 1 𝑠 1 𝑠 5 1 𝑠 𝑒4𝑠 93 Substituindose a Equação 93 na Equação 86 obteremos 𝑉0𝑠 1 𝑅𝐶𝑠 1 5 1 𝑠 1 𝑠 5 1 𝑠 𝑒4𝑠 94 Substituindose os valores para 𝑅 2𝑘Ω e 𝐶 1𝜇𝐹 𝑅𝐶 2𝑘1𝜇 2𝑚𝑠 a Equação 94 ficará da forma 𝑉0𝑠 1 2𝑠 1 5 1 𝑠 1 𝑠 5 1 𝑠 𝑒4𝑠 95 Organizandose a expressão 95 chegaremos na Equação 96 𝑉0𝑠 5 2 1 𝑠 1 2 1 𝑠 1 2 1 𝑠 1 2 1 𝑠 5 2 1 𝑠 1 2 1 𝑠 𝑒4𝑠 96 Para a determinação do sinal 𝑣𝑠𝑡 devemos encontrar a Transformada Inversa de Laplace Para tanto vamos usar a expansão em frações parciais 1 𝑠 1 2 1 𝑠 𝐴 𝑠 𝐵 𝑠 1 2 𝐴 𝑠 1 𝑠 1 2 1 𝑠 𝑠0 2 97 𝐵 𝑠 1 2 1 𝑠 1 2 1 𝑠 𝑠1 2 2 98 Substituindose as Equações 97 e 98 na Equação 95 teremos 𝑉0𝑠 5 2 2 𝑠 2 𝑠 1 2 1 2 2 𝑠 2 𝑠 1 2 5 2 2 𝑠 2 𝑠 1 2 𝑒4𝑠 99 𝑉0𝑠 5 1 𝑠 1 𝑠 1 2 1 1 𝑠 1 𝑠 1 2 5 1 𝑠 1 𝑠 1 2 𝑒4𝑠 100 𝑉0𝑠 5 1 𝑠 1 𝑠 1 2 1 1 𝑠 1 𝑠 1 2 5 1 𝑠 𝑒4𝑠 1 𝑠 1 2 𝑒4𝑠 101 Mapeandose as frações da Equação 101 na tabela de transformadas de Laplace obteremos 1 𝑠 𝑢𝑡 102 1 𝑠 1 2 𝑒1 2𝑡𝑢𝑡 103 1 𝑠 1 2 𝑒4𝑠 𝑒1 2𝑡4𝑢𝑡 4 104 Sendo assim 𝑣0𝑡 5 𝑢𝑡 𝑒1 2𝑡𝑢𝑡 1 𝑢𝑡 𝑒1 2𝑡𝑢𝑡 105 𝑣0𝑡 5𝑢𝑡 5𝑒1 2𝑡𝑢𝑡 1𝑢𝑡 𝑒1 2𝑡𝑢𝑡 106 𝑣0𝑡 4 4𝑒1 2𝑡 0 𝑡 4 𝑚𝑠 107 𝑣0𝑡 5 𝑢𝑡 𝑒1 2𝑡𝑢𝑡 1 𝑢𝑡 𝑒1 2𝑡𝑢𝑡 5 𝑢𝑡 4 𝑒1 2𝑡4𝑢𝑡 4 108 Uma observação importante deve ser notada na Equação 108 Essa composição para o sinal só é verdade para 4 𝑚𝑠 𝑡 20 𝑚𝑠 Como consequência a Equação 108 pode ser reescrita da forma apresentada na Equação 109 𝑣0𝑡 5 5𝑒1 2𝑡 1 𝑒1 2𝑡 5 5𝑒1 2𝑡4 para 4 𝑚𝑠 𝑡 20 𝑚𝑠 109 𝑣0𝑡 1 4𝑒1 2𝑡 5𝑒1 2𝑡4 4 𝑚𝑠 𝑡 20 𝑚𝑠 110 Compare as Equações 107 e 110 com as Equações 2627 3839 Encontramos a mesma resposta O procedimento para a solução representada pelas Equações 107 e 110 foi o de modelar o circuito no domínio do tempo encontrar a equação diferencial A partir da equação diferencial usamos a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica Resolvemos essa equação no domínio da frequência usando vários conhecimentos da transformada de Laplace como uso da tabela propriedades linearidade e diferenciação no domínio do tempo e expansão em frações parciais para a determinação da transformada inversa de Laplace Vamos resolver o mesmo problema só que dessa vez vamos representar o circuito da Figura 11 no domínio da frequência através da transformada de Laplace Figura 12 Observando que a condição inicial da tensão no capacitor é igual a zero teremos Figura 12 onde 𝑣𝑠𝑡 𝑉𝑠𝑠 111 𝑍𝑅𝑡 R 112 𝑉𝑆𝑠 𝑍𝐶𝑡 1 𝐶𝑠 113 Recorde que as representações dos elementos do circuito na frequência através da transformada de Laplace são da forma a apresentada na Figura 13 com 𝑣0 0 𝑉 Figura 13 Aplicandose a Lei de Kirchhoff para o caso das tensões na única malha do circuito no circuito da Figura 12 teremos 𝑉𝑠𝑠 𝑉𝑅 𝑉𝐶𝑠 0 114 R𝐼𝐶s 𝑉𝐶𝑠 𝑉𝑠𝑠 115 𝑅𝐶s𝑉𝑐s 𝑣0 𝑉𝐶𝑠 𝑉𝑠𝑠 𝑣𝑒𝑟 𝑛𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑑𝑎𝑝á 4 116 𝑅𝐶s𝑉𝑐s 𝑉𝐶𝑠 𝑉𝑠𝑠 117 𝑅𝐶s 1𝑉𝐶𝑠 𝑉𝑠𝑠 118 𝑉𝑐𝑠 𝑉0𝑠 1 𝑅𝐶s 1 𝑉𝑠𝑠 119 A Equação 119 é a resposta para o problema proposto no domínio da frequência usando a transformada de Laplace Desejamos determinar a resposta no domínio do tempo 𝑣0𝑡 Supondo o conhecimento de 𝑉𝑠𝑠 veja a Equação 93 podemos ter algumas opções para chegarmos na resposta desejada A primeira é ter o mesmo procedimento realizado a partir da Equação 86 até as Equações 107 e 110 Observe que a Equação 119 é igual a Equação 86 Note que a Equação 86 foi obtida de uma forma e a Equação 119 usando um outro procedimento Uma outra possibilidade para chegarmos na resposta a partir da Equação 119 é usarmos a Função de Transferência para o circuito Portanto da Equação 119 podemos obter 𝐻𝑠 𝑉𝐶𝑠 𝑉𝑠𝑠 1 𝑅𝐶s 1 120 4 𝐼𝑠 𝐶𝑠𝑉𝑠 𝑣0 𝑅 1 𝐶𝑠 𝑣0 𝑠 Substituindose os valores numéricos teremos 𝐻𝑠 𝑉0𝑠 𝑉𝑠𝑠 1 2 1 s 1 2 121 Ora 𝑉0𝑠 𝐻𝑠𝑉𝑠𝑠 e conhecendose 𝑉𝑠𝑠 determinamos a resposta para o circuito Porém vamos encontrar a transformada inversa de Laplace da Função de transferência Equação 121 Usandose a tabela de pares da Transformada de Fourier5 obtemos ℎ𝑡 1 2 𝑒𝑡 2𝑢𝑡 122 Se estamos migrando para o domínio do tempo temos de recordar a Propriedade da Convolução no tempo6 e obter 𝑣0𝑡 𝑣𝑠𝑡 ℎ𝑡 123 A operação de convolução pode não ser um problema para se resolver De nosso curso de Sinais e Sistemas vimos três formas7 de se resolver uma operação de convolução a saber pela integral de convolução usandose a tabela de convolução de pares de sinais e através de uma análise gráfica Todos esses métodos são possibilidades existentes para escolhermos São opções Em um determinado problema diante das opções que dispomos escolhemos uma conveniente lembrese que qualquer método terá o mesmo resultado Vamos à convolução Trazendo a representação do sinal 𝑣𝑠𝑡 5𝑢𝑡 𝑢𝑡 5𝑢𝑡 4 temos 𝑣0𝑡 𝑣𝑠𝑡 ℎ𝑡 5𝑢𝑡 𝑢𝑡 5𝑢𝑡 4 1 2 𝑒𝑡 2𝑢𝑡 124 Sabendose que a operação de convolução é distributiva podemos fazer 𝑣0𝑡 5𝑢𝑡 1 2 𝑒𝑡 2𝑢𝑡 𝑢𝑡 1 2 𝑒𝑡 2𝑢𝑡 5𝑢𝑡 4 1 2 𝑒𝑡 2𝑢𝑡 125 Neste ponto de nossa análise vamos observar que o sinal de entrada é definido em dois intervalos de tempo 𝑣𝑠𝑡 5𝑢𝑡 𝑢𝑡 para 0 t 4ms 126 𝑣𝑠𝑡 5𝑢𝑡 𝑢𝑡 5𝑢𝑡 4 para 4m t 20ms 127 5 𝑒𝜆𝑡 1 𝑠𝜆 6 𝑥𝑡 𝑦𝑡 𝑋𝑠 𝑌𝑠 7 Na verdade todas as opções passam pela aplicação da integral de convolução Porém as outras duas opções são resultados da aplicação da integral de convolução Sendo assim teremos 𝑣0𝑡 5𝑢𝑡 1 2 𝑒𝑡 2𝑢𝑡 𝑢𝑡 1 2 𝑒𝑡 2𝑢𝑡 para 0 t 4ms 128 𝑣0𝑡 5𝑢𝑡 1 2 𝑒𝑡 2𝑢𝑡 𝑢𝑡 1 2 𝑒𝑡 2𝑢𝑡 5𝑢𝑡 4 1 2 𝑒𝑡 2𝑢𝑡 para 4m t 20ms 129 Resolvendose a Equação 128 via tabela de convolução8 obtemos 𝑣0𝑡 5 2 1 𝑒𝑡 2 1 2 1 2 1 𝑒𝑡 2 1 2 130 𝑣0𝑡 51 𝑒𝑡 2 11 𝑒𝑡 2 131 𝑣0𝑡 4 4𝑒𝑡 2 0 𝑡 4 𝑚𝑠 132 e resolvendose Equação 129 via tabela de convolução teremos 𝑣0𝑡 5 2 1 𝑒𝑡 2 1 2 1 2 1 𝑒𝑡 2 1 2 5 2 1 𝑒𝑡4 2 1 2 132 𝑣0𝑡 5 1 𝑒𝑡 2 1 𝑒𝑡 2 5 1 𝑒𝑡4 2 𝑣𝑒𝑟 𝑛𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑑𝑎𝑝é9 133 𝑣0𝑡 1 4𝑒𝑡 2 5𝑒𝑡4 2 4𝑚𝑠 𝑡 20 𝑚𝑠 134 Compare as Equações 132 e 134 com as Equações 107 e 110 Elas são iguais e se constituem na resposta para o problema proposto Observações A análise que fizemos nesta atividade está relacionada à aplicação da Transformada de Laplace Nossa análise consistiu em olharmos o problema no domínio da frequência através do conhecimento acerca da ferramenta Transformada de Laplace Usamos a Transformada de Laplace para mapear a equação diferencial do circuito da Figura 11 em equações algébricas o Equações algébricas são aparentemente mais fáceis para se resolver o Resolvemos as equações e retornamos para o domínio do tempo 8 𝑢𝑡 𝑒𝜆𝑡𝑢𝑡 1𝑒𝜆𝑡 𝜆 𝑢𝑡 9 Note que o último termo desta expressão foi obtido usandose a propriedade do deslocamento da convolução o Esse retorno consiste na Transformação Inversa de Laplace e que o fizemos usando se a expansão em frações parciais Usamos a aplicação da Transformada de Laplace para representar o circuito no domínio da frequência o O conceito de impedância apareceu o Analisamos a representação do circuito através das metodologias empregadas em circuitos elétricos Usamos a representação do circuito para determinar a Função de Transferência do circuito o Usamos o mapeamento através da tabela de pares de transformadas de Laplace para encontrar a representação da Função de Transferência no domínio do tempo o Embora a análise no domínio do tempo traga ao problema uma operação de convolução Propriedade da Convolução no Tempo a ideia dessa volta para o domínio do tempo foi a de usar a tabela de pares de convolução para se ter o resultado das convoluções Pelo estudo podese perceber que o domínio das habilidades em usar uma ferramenta nos permite criar uma competência na solução de problemas o Foram usados conhecimentos acerca das Propriedades da Transformada de Laplace e da Convolução Função de Transferência expansão em frações parciais e utilização de tabelas tanto para a Transformada de Fourier como da Convolução Muito bom que você chegou a este ponto do texto de apoio Se leu com atenção raciocinando de acordo com o que discutimos em sala de aula creio que você está com um bom conhecimento acerca de sinais e sistema e circuitos elétricos A intenção deste texto foi de fornecer um material de apoio ao seu estudo Gostou Ressalto que seu conhecimento sobre o assunto pode aumentar muito através da leitura e estudo nos livros Vale muito lêlos