Apostila Lugar Geométrico das Raízes com Exemplos Resolvidos-2022 1

(ma Gey (tm (za Zo e (a Ee 'D) — 4 (am Lugar Geometrico das Raizes I)) ( ~~ ( ~N ( ~~ (Root-Locus) A técnica do lugar geométrico das raizes é utilizada para analisar e projetar o efeito de um ganho de malha sobre a resposta transitoria e estabilidade do sistema [1]. Admita um sistema na forma: R(s) 4 Y(s) r hee : H(s) Figura 1 — Sistema de malha fechada com realimentacdo negativa A funcao de transferéncia de malha fechada fica: KG(s) T(s) = —————"~ 1+ KG(s)H(s) (1) Considerando que as funcdes de G(s) e H(s) possuem numeradores e denominadores, ou seja, Ne(s) Nu(s) G(s) = —— e H(s) = ——=~ (2) D,(s) Dy(s) entdo, a equacdo de T(s) fica: K Ne (s) D T(s) _ G (s) 14+ x Nels) Nu(s) Dg(s) Dy(s) KNe (s) T(s) _ Dg (s) De(s)Du(s) + KNg(S)Nu(S) Dg(s)Duy(s) rs) = KNg(s)Dn(s) Dg(s)Dy(s) + KNg(s)Nx(s) (3) Analisando 0 denominador de T(s), ou seja, Dr(s) = Dg (s)Dy(s) + KNg(s)Ny(s) é possivel ver que: Se K > 0,entaéo Dr(s) > Dg (s)Dy(s), ou seja, os pdlos tendem aos pélos combinados de G(s) e H(s) Se K > o, entéo Dr(s) — KNg(s)Ny(s), ou seja, os polos tendem aos zeros combinados de G(s) e H(s) Portanto, o que é necessario analisar sao os pdlos e zeros de G(s)H(s). Exemplo “= Considere um sistema cuja equac30 KG(s)H(s) é: K(s + 7)(s + 10) KG(s)H(s) = ——————— (s +1)(s + 3) O sistema em malha fechada saira dos polos -1 e -3 e terminara nos zeros -7 e -10 Root Locus 4, 2 1 | \ 8 & | 2 OF ann xx < | = | | = +1 \ / @ \ £ \ | -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 Real Axis (seconds™') Figura 2 — Lugar geométrico das raizes obtido no MATLAB utilizando o comando rlocus. Para desenhar essa figura temos que seguir 0 passo a passo abaixo. 1 —Primeiro é necessario saber quais partes do eixo real pertencem ao rlocus. Para isso colocamos todos os polos e zeros no plano. A -10 -7 -3 -1 Figura 3 — polos e zeros de um sistema no plano s Os intervalos no eixo real que pertencerdo ao root-locus sdo os intervalos a esquerda de um numero impar de pdlos+zeros. A niimero de pélos+zeros ! mmm = pertence ao root-locus | {[ 1d0 pertence ao root-locus 4 3 2 1 a 3 EE -10 -7 3 “1: Figura 4 —intervalos do eixo real que pertencem ao root-locus Como o intervalor entre -3 e -7 nado pertence ao root-locus, é possivel concluir que ele sai do eixo real em algum lugar entre -1 e -3 e volta ao eixo real em algum lugar entre -7 e -8. Segundo [1], ha 3 formas de se calcular os pontos de saida e entrada do eixo real. Aqui neste material sera apresentada um método é que maximizar e minimizar o ganho K, utilizando calculo diferencial. Dada a equacao (1), para todos os pontos do root-locus, a equacdo (1) fornecera: K=—— (4) ~ -G(s)H(s) Para maximizar o ganho K a derivada de K em funcao de s e iguala a zero. dK —=0. (5) ds Considerando o exemplo 1 K —(s+1)(s+3) —-(s?+4s +43) ~ (s+7)(s+10) (s2+17s +70) dK —(2s+4)(s* +17s +70) + (s? + 4s + 3)(2s + 17) 0 ds (s2 +17s + 70)2 — dK —(13s? + 134s + 229) 0 ds (s2 + 17s + 70)? 13s? + 134s + 229 =0 S, = —8,145 es, = —2,123 Através da figura tragada pelo programa MATLAB podemos confirmar esses numeros System: G \ System: G Gain: 17.3 / | Gain: 0.0257 Pole: -8.14 - 0.0125i | \ Pole: -2.16 - 0.0373: Damping: 1 | Damping: 1 Overshoot (%): 0 | | Overshoot (%): 0 Frequency (rad/s): 8.14 | | Frequency (rad/s): 2.16 Oi 5 | Figura 5 — Lugar geométrico das raizes com lugares de saida e entrada no eixo real marcados. No exemplo 1 mostrado o numero de polos é igual ao numero de zeros. Portanto cada pdlo finito vai para um zero finito quando o ganho K varia. No entanto, quando se tem sistemas que o numero de polos é maior que o numero de zeros entdo tem-se zeros no infinito, ou seja, alguns polos tendem a zeros no infinito quando o ganho K varia. A questdo que fica é: onde estado esses zeros no infinito? O lugar geométrico das raizes tende a reta assintoticas quando o lugar geométrico tende ao infinito. Além disso, a equacdo das assintotas é dada pela intersegdo com 0 eixo real dg € 0 angulo 0, como se segue [1]: Para saber onde estdo os zeros no infinito e como os pdlos saem do eixo real calculamos as assintotas através das seguintes equacdes: Y polos — >) zeros Oq = (6) Np — Nz (2k+1)a 94 = _ (7) Np — Nz onde e Nye nz sdo os numero de polos finitos e os numeros de zeros finitos e em k=0,1,2,3.... Exemplo 2° Vamos mostrar o conceito com um exemplo. Seja o sistema abaixo: R(s) + 7 K (s+3) Y(s) (s+1)(s+2) 1 s(s +4) Figura 6 — Exemplo de sistema com realimentacdo para analise do lugar geométrico das raizes. Vamos resolver através do passo a passo abaixo: 1 -— Encontrar KG(s)H(s) KG(s)H(s) = K(s +3) SIONS = S54 Dis + 208 +4) 2 — Quais intervalos do eixo real pertencem ao root-locus? Os intervalos do eixo real que pertencem ao root-locus estdo sempre a esquerda de um numero impar de polos+ zeros. 4 numero de pélos + zeros regiao 4 esquerda de numero impar de : polostzeros pertence ao root- locus 5 4 3 2 #14 -4 -3 -2 -1 0 Figura 7 — polos e zeros do sistema do exemplo 2 no plano s 3 -— Tem zeros infinitos? Se a resposta for sim entao devemos calcular as assintontas. Np =4en,=1 élos — )\ zeros 0-—1-2-4)-(-3 —4 Og = L polos ~ Yi zeros = @= 1-2-4) ©3) = — = —1,33333 Np — Nz 4-1 3 9. = (2k +1) “Ny — Nz 1 Parak=0 Og= 3 Parak=1 O0,=T7 5 Paak=2 9@,= on 3 A -1,333 = Meee -4 “3 “2 “1 0 Figura 8 — assintotas do root-locus do exemplo 2 4 - Pontos de saida e entrada sobre o eixo real Os pontos de saida e entrada sobre o eixo real é dado pelas equacées (4) e (5). K= —s(s+1)(s+2)(s+4)__ —(s*+7s° + 14s? + 8s) — (s + 3) - (s + 3) dK —(4s* + 21s? + 28s + 8)(s + 3) + (1)(s* + 78° + 1457 + 8s) | 0 ds (s + 3)? - 3s* + 26s? + 77s? + 845+ 24=0 sy, = —0,46 s2 = —1,6 S34 = —3,3 + 0,68i Como 53, $3 e€ S4 ndo pertencem ao root-locus, o Unico ponto de saida do root-locus do eixo real 60S). Como dito no passo 3 as assintotas mostram o comportamento da curva quando K tende ao infinito. Root Locus 10 8 | 6 | g 4 | c : Q : o 2 ; & g 0 O-- ¥—O: O-+O <x oc -2 O : & : o 4 ; £ 6 8 : -10 ! -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 Real Axis (seconds”') Figura 9 — lugar geométrico das raizes do exemplo 2 feito no programa MATLAB Resta-nos agora saber onde o sistema corta 0 eixo jw. 5 — Cruzamento no eixo imaginario Para saber onde o sistema cruza 0 eixo imaginario deve-se calcular a funcdo de transferéncia de malha fechada T(s) e fazer a tabela de Routh-Hurwitz dessa. K(s +3 T(s)=—___KS*9 ig s*+7s3+14s2+(8+K)s+3K Fazendo a tabela: st 1 14 3K s* (8+K) | 0 s? s} —K? — 65K + 720 oo 90 — K s° 21K Uma linha de zeros fornece a possibilidade de raizes sobre o eixo imaginario. Para isso acontecer —K? — 65K + 720 = 0 0 que da K=9,65. Para saber o valor da raiz que no eixo imaginario faz-se 0 polindmio par utilizando a linha s*e substitua o valor de K=9,65. (90 — K)s* +21K =0 80,35s* + 202,7 = 0 S42 = j1,59 [1] Nise, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle, Sexta Edicdo, Rio de Janeiro, LTC, 2012.