Apostila Modelagem de Sistemas de Controle com Exemplos Resolvidos-2022 2

1 - Modelagem de Sistemas de Controle 1.1 – Introdução e Definições Básicas Sistemas de Controle Consiste em subsistemas e processos (ou plantas) construídos com o objetivo de se obter uma saída desejada com um desempenho desejado, dada uma entrada específica. Exemplo: Elevador Quando o botão do quarto andar é pressionado no primeiro andar, o elevador sobe até o quarto andar com uma velocidade e uma exatidão de nivelamento projetadas para o conforto do passageiro. Definições Importantes: Plantas: Pode ser parte de um equipamento ou apenas um conjunto de componentes de um equipamento que funcione de maneira integrada, com o objetivo de realizar determinada operação. Processos: Toda operação a ser controlada. Exemplos: processos químicos, eletromecânicos, biológicos, econômicos, etc. Sistemas: Combinação de componentes que agem em conjunto para atingir determinado objetivo. Distúrbios: Sinal que tende a afetar de maneira adversa o valor da variável de saída de um sistema. Variável Controlada: Grandeza ou condição que é medida e controlada. Normalmente é a saída do sistema. Sinal de Controle ou Variável Manipulada: Grandeza ou condição manipulada pelo controlador de modo que afete o valor da variável controlada. Atividade 1 - Encontrar uma fonte confiável e escrever o conceito do que é Sistemas de Controle. Colocar a referência no texto. 1.2 – Modelagem de sistemas dinâmicos contínuos no domínio da frequência e do tempo Transformada de Laplace Através da Transformada de Laplace podemos representar a entrada, a saída e o sistema como entidades diferentes, o que não ocorre em uma equação diferencial. Além disso, seu inter- relacionamento será apenas algébrico. Tabela de Transformada de Laplace: 𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠) 𝛿(𝑡) 1 𝑢(𝑡) 1 𝑠 𝑡𝑢(𝑡) 1 𝑠2 𝑡𝑛𝑢(𝑡) 𝑛! 𝑠𝑛 + 1 𝑒−𝑎𝑡𝑢(𝑡) 1 𝑠 + 𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)𝛿𝑢(𝑡) 𝜔 𝑠2 + 𝜔2 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)𝛿𝑢(𝑡) 𝑠 𝑠2 + 𝜔2 𝑑𝑛𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 𝑠𝑛𝑌(𝑠) − [𝑠𝑛−1𝑦(0) + 𝑠𝑛−2 𝑑𝑦(0) 𝑑𝑡 + ⋯ + 𝑠0 𝑑𝑛−1𝑦(0) 𝑑𝑡 ] Atividade 2 - Encontrar exemplos de 4 sistemas dinâmicos diferentes (elétrico, mecânico, hidráulico, biológico, químico, etc - um exemplo de cada) e nomear quais são as entradas, saídas e possíveis variáveis desses sistemas. Função de Transferência Relação entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada, admitindo-se todas as condições iniciais nulas. Função que relaciona algebricamente a saída de um sistema à sua entrada. Esta função permitirá a separação da entrada do sistema e da saída em três partes separadas e distintas. A função também permite combinar algebricamente representações matemáticas de subsistemas para reproduzir uma representação do sistema como um todo. Exemplo 1: Circuito Elétrico de Primeira Ordem 𝑣𝑒(𝑡) = 𝑣𝑅(𝑡) + 𝑣𝐿(𝑡) = 𝑅𝑖𝐿(𝑡) + 𝐿 𝑑𝑖𝐿(𝑡) 𝑑𝑡 Aplicando Laplace 𝑉𝑒(𝑠) = 𝑅𝐼𝐿(𝑠) + 𝐿𝑠𝐼𝐿(𝑠) 𝑉𝑒(𝑠) = (𝑅 + 𝐿𝑠)𝐼𝐿(𝑠) 𝐼𝐿(𝑠) = 1 (𝑅 + 𝐿𝑠) 𝑉𝑒(𝑠) Saída = Função de Transferência x Entrada 𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝑈(𝑠) Exemplo 2: Circuito Elétrico de Segunda Ordem 𝑣𝑒(𝑡) = 𝑣𝑅1(𝑡) + 𝑣𝐿(𝑡) + 𝑣𝐶(𝑡) = 𝑅𝑖𝐿(𝑡) + 𝐿 𝑑𝑖𝐿(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑣𝐶(𝑡) 𝑖𝐿(𝑡) = 𝑖𝑅2(𝑡) + 𝑖𝐶(𝑡) 𝑣𝐶(𝑡) = 𝑣𝑅2(𝑡) 𝑣𝐶(𝑡) = 1 𝐶 ∫ 𝑖𝐶(𝑡)𝑑𝑡 → 𝑖𝐶(𝑡) = 𝐶 𝑑𝑣𝐶(𝑡) 𝑑𝑡 𝑣𝐶(𝑡) = 𝑣𝑅2(𝑡) = 𝑅2𝑖𝑅2(𝑡) → 𝑖𝑅2(𝑡) = 𝑣𝐶(𝑡) 𝑅2 𝑖𝐿(𝑡) = 𝑣𝐶(𝑡) 𝑅2 + 𝐶 𝑑𝑣𝐶(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑖𝐿(𝑡) 𝑑𝑡 = 1 𝑅2 𝑑𝑣𝐶(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝐶 𝑑2𝑣𝐶(𝑡) 𝑑𝑡2 Substituindo os valores de 𝑖𝐿(𝑡) e 𝑑 𝑖𝐿(𝑡) 𝑑𝑡 ⁄ na equação de malha do circuito e reorganizando-a tem-se: 𝐿𝐶 𝑑2𝑣𝐶(𝑡) 𝑑𝑡2 + (𝑅1𝐶 + 𝐿 𝑅2 ) 𝑑𝑣𝐶(𝑡) 𝑑𝑡 + (1 + 𝑅1 𝑅2 ) 𝑣𝐶(𝑡) = 𝑣𝑒(𝑡) Aplicando Laplace 𝐿𝐶𝑠2𝑉𝐶(𝑠) + (𝑅1𝐶 + 𝐿 𝑅2 ) 𝑠𝑉𝐶(𝑠) + (1 + 𝑅1 𝑅2 ) 𝑉𝐶(𝑠) = 𝑉𝑒(𝑠) 𝑎𝑠2𝑉𝐶(𝑠) + 𝑏𝑠𝑉𝐶(𝑠) + 𝑐𝑉𝐶(𝑠) = 𝑉𝑒(𝑠) (𝑎𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑐)𝑉𝐶(𝑠) = 𝑉𝑒(𝑠) 𝑉𝐶(𝑠) = 1 (𝑎𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑐) 𝑉𝑒(𝑠) Saída = Função de Transferência x Entrada 𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝑈(𝑠) 1.3 – Representação no espaço de estados Variáveis de Estado de um Sistema Dinâmico O estado de um sistema é um conjunto de variáveis cujos valores, em conjunto com os sinais de entrada e as equações descrevendo a dinâmica, irão fornecer o estado e a saída futuros do sistema. As variáveis de estado descrevem a configuração presente de um sistema e podem ser usadas para determinar a resposta futura, dadas as excitações de entrada e as equações descrevendo a dinâmica. Exemplo 3: Circuito Elétrico de Segunda Ordem Sistema de Segunda Ordem → 𝐷𝑢𝑎𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑚 Atividade 3 - Buscar exemplo de um sistema que tenha significado físico encontrar a função de transferência desse sistema. Equacionar no MATLAB, aplicar uma entrada nesse sistema, obter os gráficos da(s) saída(s) e explicar o comportamento da(s) resposta(s). Estudo de Caso: Exemplo 2.5 Função de transferência de um motor CC . Página 45. Livro: Dorf, R. C., Bishop, R. H. Sistemas de Controle Modernos. 11ª Edição. Pergunta 1: Quais poderiam ser as variáveis de estados desse sistema?? Escolhendo 𝑖𝐿(𝑡) e 𝑣𝐶(𝑡) como variáveis de estado e lembrando que 𝑣𝑒(𝑡) é a entrada do sistema. Temos que encontrar duas equações diferencias de primeira ordem em função das variáveis de estado e da entrada do sistema. 𝑣𝑒(𝑡) = 𝑣𝑅1(𝑡) + 𝑣𝐿(𝑡) + 𝑣𝐶(𝑡) 𝑣𝑒(𝑡) = 𝑅1𝑖𝐿(𝑡) + 𝐿 𝑑𝑖𝐿(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑣𝐶(𝑡) Isolando 𝑑𝑖𝐿(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑖𝐿(𝑡) 𝑑𝑡 = − 𝑅1 𝐿 𝑖𝐿(𝑡) − 1 𝐿 𝑣𝐶(𝑡) + 1 𝐿 𝑣𝑒(𝑡) 𝑖𝐿(𝑡) = 𝑖𝑅2(𝑡) + 𝑖𝐶(𝑡) 𝑣𝐶(𝑡) = 𝑣𝑅2(𝑡) 𝑣𝐶(𝑡) = 1 𝐶 ∫ 𝑖𝐶(𝑡)𝑑𝑡 → 𝑖𝐶(𝑡) = 𝐶 𝑑𝑣𝐶(𝑡) 𝑑𝑡 𝑣𝐶(𝑡) = 𝑣𝑅2(𝑡) = 𝑅2𝑖𝑅2(𝑡) → 𝑖𝑅2(𝑡) = 𝑣𝐶(𝑡) 𝑅2 𝑖𝐿(𝑡) = 𝑣𝐶(𝑡) 𝑅2 + 𝐶 𝑑𝑣𝐶(𝑡) 𝑑𝑡 Isolando 𝑑𝑣𝐶(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑣𝐶(𝑡) 𝑑𝑡 = − 1 𝐶𝑅2 𝑣𝐶(𝑡) + 1 𝐶 𝑖𝐿(𝑡) Organizando de forma matricial tem-se: [ 𝑑𝑖𝐿(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑣𝐶(𝑡) 𝑑𝑡 ] = [ − 𝑅1 𝐿 − 1 𝐿 1 𝐶 − 1 𝐶𝑅2] [ 𝑖𝐿(𝑡) 𝑣𝐶(𝑡)] + [ 1 𝐿 0 ] 𝑣𝑒(𝑡) Então o sistema pode ser representado pela notação compacta da equação diferencial de estado como: 𝒙̇ = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖 Pergunta 2: Quais poderiam ser as saídas desse sistema?? Escolhendo 𝑣𝐶(𝑡) como a saída do sistema: 𝑦(𝑡) = 𝑣𝐶(𝑡) Organizando de forma matricial tem-se: [𝑦(𝑡)] = [1 0] [𝑣𝐶(𝑡) 𝑖𝐿(𝑡)] + [0]𝑣𝑒(𝑡) Relacionando as saídas com as variáveis de estado e as entradas chegamos na forma geral da equação de saída: 𝒚 = 𝑪𝒙 + 𝑫𝒖 1.4 – Convertendo o espaço de estados para uma função de transferência Dado o sistema no espaço de estados descrito pelas equações abaixo no domínio do tempo: 𝒙̇ (𝒕) = 𝑨𝒙(𝒕) + 𝑩𝒖(𝒕) 𝒚(𝒕) = 𝑪𝒙(𝒕) + 𝑫𝒖(𝒕) Aplicando a transformada de Laplace nesse sistema tem-se: 𝒔𝑿(𝒔) = 𝑨𝑿(𝒔) + 𝑩𝑼(𝒔) 𝒀(𝒔) = 𝑪𝑿(𝒔) + 𝑫𝑼(𝒔) Isolando 𝑿(𝒔) na primeira equação e substituindo na segunda tem-se: (𝒔𝑰 − 𝑨)𝑿(𝒔) = 𝑩𝑼(𝒔) 𝑿(𝒔) = (𝒔𝑰 − 𝑨)−𝟏𝑩𝑼(𝒔) 𝒀(𝒔) = 𝑪(𝒔𝑰 − 𝑨)−𝟏𝑩𝑼(𝒔) + 𝑫𝑼(𝒔) 𝒀(𝒔) = [𝑪(𝒔𝑰 − 𝑨)−𝟏𝑩𝑼(𝒔) + 𝑫]𝑼(𝒔) 𝒀(𝒔) 𝑼(𝒔) = 𝑮(𝒔) = 𝑪(𝒔𝑰 − 𝑨)−𝟏𝑩𝑼(𝒔) + 𝑫 1.5 – Convertendo uma função de transferência para o espaço de estados Seja o sistema abaixo com a seguinte função de transferência: A equação diferencial que descreve o sistema é obtida aplicando a transformada inversa de Laplace, admitindo todas as condições iniciais nulas. 𝑌(𝑠) 𝑈(𝑠) = 24 𝑠3 + 9𝑠2 + 26𝑠 + 24 𝑠3𝑌(𝑠) + 9𝑠2𝑌(𝑠) + 26𝑠𝑌(𝑠) + 24𝑌(𝑠) = 24𝑈(𝑠) 𝑦⃛(𝑡) + 9𝑦̈(𝑡) + 26𝑦̇(𝑡) + 24𝑦(𝑡) = 24𝑢(𝑡) 𝑥1(𝑡) = 𝑦(𝑡) 𝑥2(𝑡) = 𝑦̇(𝑡) 𝑥3(𝑡) = 𝑦̈(𝑡) 𝑥̇1(𝑡) = 𝑦̇(𝑡) → 𝑥̇1(𝑡) = 𝑥2(𝑡) 𝑥̇2(𝑡) = 𝑦̈(𝑡) → 𝑥̇2(𝑡) = 𝑥3(𝑡) 𝑥̇3(𝑡) = 𝑦⃛(𝑡) 𝑥̇3(𝑡) + 9𝑥3(𝑡) + 26𝑥2(𝑡) + 24𝑥1(𝑡) = 24𝑢(𝑡) 𝑥̇3(𝑡) = −24𝑥1(𝑡) − 26𝑥2(𝑡) − 9𝑥3(𝑡) + 24𝑢(𝑡) Colocando na forma matricial temos: [ 𝑥̇1(𝑡) 𝑥̇2(𝑡) 𝑥̇3(𝑡) ] = [ 0 1 0 0 0 1 −24 −26 −9 ] [ 𝑥1(𝑡) 𝑥2(𝑡) 𝑥3(𝑡) ] + [ 0 0 24 ] 𝑢(𝑡) 𝑦(𝑡) = [1 0 0] [ 𝑥1(𝑡) 𝑥2(𝑡) 𝑥3(𝑡) ] + [0]𝑢(𝑡) Comparando a função de transferência com o sistema no espaço de estados consegue-se perceber o seguinte: 24 𝑠3 + 9𝑠2 + 26𝑠 + 24 [ 𝑥̇1(𝑡) 𝑥̇2(𝑡) 𝑥̇3(𝑡) ] = [ 0 1 0 0 0 1 −24 −26 −9 ] [ 𝑥1(𝑡) 𝑥2(𝑡) 𝑥3(𝑡) ] + [ 0 0 24 ] 𝑢(𝑡) 𝑦(𝑡) = [1 0 0] [ 𝑥1(𝑡) 𝑥2(𝑡) 𝑥3(𝑡) ] + [0]𝑢(𝑡) 24 𝑠3 + 9𝑠2 + 26𝑠 + 24 Na página 108 do livro Engenharia de Sistemas de Controle, do autor Norman S. Nise, sexta edição entenda o desenvolvimento de obter a representação no espaço de estados do sistema da figura 3.11 (a) e encontre o espaço de estados para a seguinte função de transferência: 𝑌(𝑠) 𝑈(𝑠) = 𝑠3 + 8𝑠2 + 2𝑠 + 4 𝑠4 + 32𝑠3 + 9𝑠2 + 10𝑠 + 5 Atividade 4 - Encontre a representação no espaço de estados para o sistema escolhido na atividade 4.