Convertendo uma Ft para Espaço de Estados-2023-2

CONTROLE 1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Cornélio Procópio Resumo • Convertendo função de transferência para espaço de estados • Convertendo espaço de estados para função de transferência Convertendo uma FT para Espaço de Estados • 1º Caso: Termo constante no numerador • Exemplo 1: Obtenha a representação no Espaço de Estados O produto cruzado fornece Aplicando a inversa de Laplace, obtém-se a equação diferencial ( ) 3 9 2 26 24 ( ) 24 ( ) s s s C s R s + + + = 9 26 24 24 c c c c r + + + = ɺɺɺ ɺɺ ɺ 3 2 ( ) 24 ( ) 9 26 24 C s R s s s s = + + + Sistema de 3º ordem Escolhendo as variáveis Derivando ambos os lados, de estado como: obtemos Da equação Obtemos 1 2 3x c x c x c = = = ɺ ɺɺ 3 1 2 x c x c x c = = = ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺɺɺ 9 26 9 4 2 6 4 2 2 2 2 4 4 c c c c r c c c c r + + ⇔ = − − − + = + ɺ ɺ ɺɺɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺɺ ɺ 3 2 3 1 9 26 24 24 x x r x x = − − − + ɺ substituir — X, =C X, =C NX, =C NX, =C X,=C Xz, =C Como a solugao da equagao diferencial € ce c = x,, temos x = X5 xX, = x, X, = —24x, -22x, —9x, 24r y = C=X, Na forma matricial-vetorial, temos • Observe que a terceira linha da matriz possui os mesmos coeficientes do denominador da FT, porém com sinal negativo e na ordem inversa. [ ] 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 1 0 0 0 0 1 0 , 1 0 0 24 26 9 24 x x x x x r y x x x x                     = + =                     − − −           ɺ ɺ ɺ 3 2 ( ) 24 ( ) 9 26 24 C s R s s s s = + + + Sistema de 3º ordem Diagrama de blocos mostrando as variáveis de fase. [ ] 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 1 0 0 0 0 1 0 , 1 0 0 24 26 9 24 x x x x x r y x x x x                     = + =                     − − −           ɺ ɺ ɺ 2 3x x = ɺ 1 2x x = ɺ 1x = y • 2º Caso: polinômio no numerador de ordem inferior ao polinômio do denominador Sua representação em diagrama de blocos é: ou • Exemplo 2: Obtenha a representação no Espaço de Estados Passo 1: Separar o sistema em dois blocos em cascata contém o numerador contém o denominador Passo 2: Obtenha as equações de estado para o bloco que contem o denominador Logo, a equação de estado é 1 3 2 ( ) 1 ( ) 9 26 24 X s R s s s s = + + + 1 1 2 2 3 3 0 1 0 0 0 0 1 0 , 24 26 9 1 x x x x r x x                 = +                 − − −         ɺ ɺ ɺ Passo 3: Introduza o efeito do bloco com o numerador, isto é Aplicando a transformada inversa de Laplace, obtemos ( ) ( ) 1 2 1 0 1 2 2 ( ) 7 2 ( ( ) ) ) ( C s b s b s b X s C s s s X s = = + + + + 1 1 1 7 2 c x x x = + + ɺɺ ɺ Ainda, Logo, Assim, o bloco que “contém o numerador” reúne os estados e gera a equação de saída 1 1 1 2 1 2 3 x x x x x x x = = = = ɺ ɺɺ ɺ 3 2 1 1 1 1 7 2 ( ) 7 2 y c x x x t x x x = = ⇔ + + + + ɺɺ ɺ [ ] [ ] 1 1 0 1 2 2 2 3 3 2 7 1 x x y b b b x x x x         = =             3° Caso: polindmio do numerador de ordem igua! ao polindmio do denominador, a saida se torna: Altera-se somente as matrizes C e D R(s) b,s° + bys? + byst+ bo C(s) a3s° + ays? + d,|St dg x; y= | by —a,b, b—ab,; b, — a,b, | X, | + LD, | r FF — C SI) dD — Convertendo do Espaco de Estados para FT Utiliza-se a matriz de funcao de transferéncia, onde Y(s)éa saida e U(s) a entrada. Y(s -| T(s) _ 1) _ C(sI-A) B+D U(s) OO - Exemplo 1: Obtenha a Fungao de Transferencia Fae O 1 O 10 x=|0O0 O 1 Jx+} 0 Ju, y=(1 0 O|x -| 2 -3 0 O primeiro passo e obter (sI — A): sl O O O 1 O s -l O (sf-—A)=|0O sl O|]-|O0 O 14f=/0 s— =I O Osi —-] —2 -3 1 2 s+3 s -l QO woah S ; 1 2 s+3 +(s°+3s+2) —(1) +(-s) I adj 04 —(—s-—3) +(s° +35] Ps +(1) —(-s) +(s°] oe 5+3 ; adj (s[ — A) = —] s(s+3) os —s —(2s+1) 8° Agora, obtenha (sI — A)7?: (s°+354+2) s+3 1 —] s(s+3) S 2 adj (s!—A) —s§ —(2s+1) s (sl - A) 0 =. s_—.—— det (sf —A) Ss +35°+25+4+1 OO Substituindo na equacao de funcao de transferéncia, temos 9) _ (7 Ay" MW) =T C(sI—A) B+D (s°+3s+2) st+3 1 —] s(s+3) 5s —s —(2st+1) s° 10 T(s)=|1 0 0|-———___——+ QO |+ 0 Po s +35°+2s5+1 = C oe 0 D (sI—A) a (5) 10(s* +35 +2] 1 — ———EE s+35° +2541 • Exemplo 2: Considere um sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas, obtenha a FT Este sistema contém duas entradas e duas saídas. Logo, teremos quatro funções de transferência ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 0 1 1 1 , 25 4 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 x t x t u t x t u t x t y t x t u t y t x t u t           = +           − −                       = +                     ɺ ɺ Solucao: Obtenha (sI — A)! —]| 25 st4 (sf — A)! =—+— st+4 1 det(sJ—A)| -25 s os . - 25 Ss 7-A\)i-tm P sl (s ) s° +454+25 Substituindo na equação de FT, temos 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 4 1 1 0 1 1 0 0 25 ( ) 0 1 0 1 0 0 4 25 ( ) ( ) 4 5 ( ) ( ) 4 25 4 25 ( ) ( ) ( ) 25 25 4 25 4 25 ( ) ( ) s s T s s s Y s Y s s s U s U s s s s s T s Y s Y s s s s s s U s U s  +    −         = + ⇔       + +         + +       + + + +   = =   − −         + + + +     ( ) 1 ( ) ( ) ( ) C sI Y s T D s U s A − B − = + =