Introdução - Lugar Geométrico das Raízes-2023-2

Exemplo: Determine se o polo de malha-fechada (ponto) -2 + 3j pertence ao Root Locus do sistema: Continua ... E o polo de malha-fechada -2 + (√2/2)j pertence ao Root Locus do sistema? Os valores de s que satisfazem tanto a condição de módulo quanto a condição angular são as raízes da equação característica (ou seja, os polos de malha-fechada). • O root locus é uma técnica gráfica para determinar o caminho percorrido pelos polos de malha-fechada com a variação de parâmetros do sistema. • E uma ferramenta muito usada tanto para análise de estabilidade quanto para projeto de sistemas de controle. Considere o sistema de controle: Os termos G e H podem ser representados por polinômios de s: G = \frac{N_G}{D_G}, \quad H = \frac{N_H}{D_H} A função de transferência de malha-fechada é dada por: T = \frac{Y}{R} = \frac{K(N_G D_H)}{D_G D_H + K(N_G N_H)}, T = \frac{Y}{R} = \frac{K(N_G D_H)}{D_G D_H + K(N_G N_H)}, • Os zeros de T consistem nos zeros de G e nos polos de H. São conhecidos. Ex.: K(s + 1), para qualquer valor de K → s = -1. • Os polos de T não são conhecidos e dependem de K. Ex.: s^2 + K(s + 1), se K = 2 → s_{1,2} = -1 ± 1j… K = 4 → s_{1,2} = -2. • A resposta do sistema e estabilidade dependem dos polos de T. • O Root Locus é a localização dos polos de T em função de K. Exemplo: Considere o sistema de controle: Em malha-fechada: T = \frac{K}{s^2 + 10s + K} A Tabela a seguir apresenta os valores dos polos de malha-fechada para a variação do ganho K. K | Polo 1 | Polo 2 0 | -10 | 0 5 | -9,47 | -0,53 10 | -8,87 | -1,13 15 | -8,16 | -1,84 20 | -7,24 | -2,76 25 | -5 | -5 30 | -5 + j2,34 | -5 - j2,34 35 | -5 + j3,16 | -5 - j3,16 40 | -5 + j3,87 | -5 - j3,87 45 | -5 + j4,47 | -5 - j4,47 50 | -5 + j5 | -5 - j5 T = K / (s^2 + 10s + K) K = 0 K = 25 K = 0 São os polos de G, i.e., em malha-aberta Observe que para K = 0 há um polo em -10 e outro em 0. À medida que K aumenta, o polo mais à esquerda se move para direita e o polo mais à direita se move para esquerda, ambos sobre o eixo real. • Os polos se encontram sobre o eixo real no ponto −5. A partir daí um polo se move verticalmente para cima, enquanto o outro se move verticalmente para baixo. K = 0 K = 25 Para K < 25, os polos são reais e distintos, ou seja, o sistema é superamortecido. Para K = 25, os polos são reais e idênticos, e o sistema é criticamente amortecido. Para K > 25, o sistema é subamortecido. Para K > 25, com o aumento do ganho K, o coeficiente de amortecimento, ζ, diminui e o overshoot aumenta. No entanto, o tempo de acomodação permanece sem alterações. Para K > 0, o sistema é sempre estável. Root Locus final: • No Scilab®: H=syslin('c',1/poly([0,10,1],'s','c')) evans(H) • Alguns exemplos típicos de Root Locus: • Alguns exemplos típicos de Root Locus: Conceito do Root Locus O comportamento dinâmico de um sistema é determinado pela função de transferência de malha-fechada: T = KGH / (1 + KGH) A equação característica é: 1 + KGH = 0 => KGH = -1 Como GH é uma grandeza complexa, tem-se as condições de módulo e fase: |KGH| = 1, ∠KGH = ±180°(2k + 1), k = 0, 1, 2,… Continua ... E qual o valor de K para o polo de malha-fechada -2 + (√2/2)j ? Solução 1: |KGH| = 1 → K = 1/|GH| = |[(s+2)(s+1)]/[(s+3)(s+4)]| = 0,33 s = -2+j(√2/2) Continua ... E qual o valor de K para o polo de malha-fechada -2 + (√2/2)j ? Solução 2: L1 = 2,12 L2 = 1,22 L3 = √2/2 L4 = 1,22 K = (L3L4)/(L1L2) = (√2/2)(1,22)/(2,12)(1,22) = 0,33