Lista 3 Sinais e Sistema

LISTA 3 A 14 e A 29 Resolver os exercicios para os dois valores de A 1 Dado o plano z da figura abaixo a Indique quais os polos deixam o sistema estável e quais os polos deixam o sistema instável b A qual frequência em Hz corresponde aos zeros Adota frequência de amostragem em A1000Hz OBS Zeros 12 pontos na circunferência de raio unitário com ângulos de 60 e 60 graus 2 Dado um filtro que tenha uma resposta recursiva conforme a equação abaixo deduza a função Hz e desenhe a sua forma direta I e II 3 Dado a seguinte equação de um filtro recursivo yn yn1 14yn2 xn dados x1A y10 y20 a função de transferência calcular yn caso xnun 4 Um sistema digital apresenta H z 1 1Z2 Calcular 2 sua resposta ao impulso Que tipo de filtro ele é passabaixas alta cortafaixas passafaixa Sua resposta em frequência desde 0 até 2000Hz se famostragem8000Hz QUESTÃO 1 satisfazem zk 1 Observando a figura verificase que Estão dentro do círculo de raio unitário P2 P3 P6 P7 polos estáveis Estão fora do círculo P1 P4 P5 P8 polos instáveis b Os zeros Z1 e Z2 situamse sobre a circunferência unitária com ângulos θ 60 π3 radamostra A frequência em hertz é f θ2π Fs Fs 29 103 Hz logo f π3 2π 29 000 29 000 6 4 83333 Hz e portanto fZ1 fZ2 483 kHz Os zeros estando em z 1 não comprometem a estabilidade mas geram nulos na resposta em frequência em torno de 483 kHz QUESTAO 2 Dedução de Hz e formas diretas I e II Escrevendo os coeficientes explicitamente yn 117265 xn 117265 xn1 02734617265 yn1 Definimos b0 117265 b1 117265 a1 02734617265 Numericamente b0 057926 b1 057926 a1 015840 Aplicando Z e supondo condições iniciais nulas Yz b0 Xz b1 z1 Xz a1 z1 Yz Isolando Yz Yz1 a1 z1 b0 b1 z1 Xz Logo Hz Yz Xz b0 b1 z1 1 a1 z1 057926 057926 z1 1 015840 z1 Forma Direta I a1 z1 xn z1 yn b0 b1 Forma Direta I A implementação em Forma Direta I utiliza dois atrasos paralelos para as componentes de entrada xn e um atraso em série para realimentação de yn Especificamente O bloco b0 multiplica a entrada atual xn e soma no primeiro somador O bloco z1 gera xn1 esse sinal passa pelo bloco b1 e soma no segundo somador A saída yn é atrasada pelo bloco z1 produzindo yn1 multiplicada por a1 e realimentada de volta ao primeiro somador Forma Direta II Estrutura Canônica b0 b1 xn yn a1 z1 Forma Direta II Na Forma Direta II reduzida wn xn a1 wn 1 yn b0 wn b1 wn 1 Os blocos implementam Soma inicial produz wn subtraindo a1 wn 1 O único atraso z1 gera wn 1 que alimenta tanto o ganho b1 quanto o somador de realimentação Os ganhos b0 e b1 aplicamse a wn e wn 1 respectivamente e somam para formar yn Hz Yz Xz 057926 057926 z1 1 015840 z1 QUESTAO 3 Filtro recursivo yn yn 1 14 yn 2 xn x1 29 y1 0 y2 0 Aplicase a Transformada Z condições iniciais nulas Yz1 z1 14 z2 Xz Logo Hz Yz Xz 1 1 z1 14 z2 z2 z2 z 14 Escrevemos a equação característica do lado hom r2 r 14 0 r 12 raiz dupla Solução geral yn yp yhn yhn A B n12n Assuma yp C constante então C C 14 C 1 14 C 1 C 4 Para n 1 y1 0 4 A B1121 4 A B 2 2A 2B 4 A B 2 Para n 2 y2 0 4 A B2122 4 A 2B4 4A 8B 4 A 2B 1 Resolvendo A B 2 A 2B 1 B 1 A 3 yn 4 3 n12n n 0 QUESTAO 4 Hz 12 1 z2 Reescrevemos Hz 12 z2 1 z2 12 z 1z 1 z2 Zeros em z 1 e z 1 Polos em z 0 com multiplicidade 2 O diagrama poloszeros é Im Re z 1 polo 0 m 2 1 Pela definição da Transformada Z Hz n hn zⁿ 12 1 z² Logo fazendo a correspondência termoatermo hn 12 δn δn 2 Isto significa que h0 12 h2 12 e hn 0 para todo outro n Zero em z 1 ω 0 atenua frequências DC Zero em z 1 ω π atenua a frequência de Nyquist Portanto o filtro rejeita baixas f 0 e altas f fs2 e passa as componentes intermediárias Filtro passafaixa bandpass Definindo z ejω onde ω 2πffs Hejω 12 1 ej2ω ejω2 ejω ejω ejω j sin ω Magnitude Hejω sin ω ω 2πffs Hejω sin2πffs Com fs 8000 Hz para 0 f 2000 Hz Hejω sin2πf8000 Fase arg Hejω ω π2 mód 2π f Hz 0 500 1000 1500 2000 ω 2πf8000 0 π8 π4 3π8 π2 H sin ω 0 sin π8 03827 sin π4 07071 sin 3π8 09239 1 Em gráfico esboço qualitativo a característica de magnitude é nula em f 0 e f 4000 Hz atinge pico em f fs4 2000 Hz e decai simetricamente ao redor desse ponto 1 Análise do planoz a Estabilidade dos polos Um sistema discreto é BIBOestável quando todos os seus polos satisfazem zk 1 Observando a figura verificase que Estão dentro do círculo de raio unitário região azul P2 P3 P6 P7 polos estáveis Estão fora do círculo X pretas no exterior P1 P4 P5 P8 polos instáveis b Frequência em Hz correspondente aos zeros Os zeros Z1 e Z2 situamse exatamente sobre a circunferência de raio 1 complexi dade unitária formando ângulos θ 60 π 3 radamostra A frequência analógica em hertz associada a um zero de ângulo θ é f θ 2π Fs onde Fs é a frequência de amostragem Com Fs 14 103 Hz 14 kHz f π3 2π 14 000 14 000 6 2 33333 Hz Portanto fZ1 fZ2 233 kHz Os zeros por estarem sobre a circunferência unitária z 1 não afetam a estabi lidade mas determinam nulos na resposta em frequência exatamente nessa banda de 233 kHz 2 Filtro recursivo yn xn xn 1 027346 yn 1 17265 17265 yn xn xn 1 027346 yn 1 Lembrando que Zxn k zkXz aplicamos 17265 Y z Xz z1Xz 027346 z1Y z 1 z1 Xz 027346 z1Y z 1 17265 027346 z1 Y z 1 z1 Xz Hz Y z Xz 1 z1 17265 027346 z1 Agora normalizamos dividindo numerador e denominador por 17265 Hz 1 17265 1 z1 1 027346 17265 z1 b0 b1 z1 1 a1 z1 onde b0 1 17265 057901 b1 1 17265 057901 a1 027346 17265 015839 yn b0 xn b1 xn 1 a1 yn 1 Realizações Diretas 2 01 Forma Direta I DFI A Forma Direta I utiliza duas linhas independentes de atraso Feedforward para gerar xn 1 xn z1 b1 soma Feedback para gerar yn 1 yn z1 a1 soma No nó de soma final são agregados os três termos yn b0 xn b1 xn 1 a1 yn 1 02 Forma Direta II DFII A Forma Direta II adota apenas um bloco de atraso e dois somadores em cascata 1 Primeiro soma calcula a variável intermediária wn wn xn a1 wn 1 implementado em xn wn com realimentação de wn 1 por a1 sinal 2 Em seguida wn segue em paralelo para b0 somador final e z1 b1 somador final realizando yn b0 wn b1 wn 1 3 Ambas as estruturas são equivalentes em termos de resposta em frequência mas diferem no custo de implementação e na sensibilidade numérica A DFI requer dois registradores atraso separados enquanto a DFII economiza hardware usando apenas um registrador e movendo a realimentação para antes dos ganhos de saída 3 Filtro Recursivo yn yn 1 14 yn 2 xn com condições iniciais y1 0 y2 0 x1 14 e entrada xn un degrau unitário Aplicando Transformada Z assumindo sinais transitórios nulos antes de n 2 Zyn Yz Zyn 1 z¹Yz Zyn 2 z²Yz Zxn Xz Logo Yz z¹Yz 14 z²Yz Xz Yz1 z¹ 14 z² Xz Hz YzXz 11 z¹ 14 z² Queremos yn para n 0 Escrevemos a solução geral como soma da parte homogênea e particular yn yhn ypn a Resolver a equação característica r² r 14 0 r 1 1 12 12 raiz dupla Para raiz dupla r 12 a solução homogênea é yhn A B n 12n b Como xn 1 para n 0 buscamos constante C ypn C C C 14 C 1 14 C 1 C 4 c yn 4 A B n 12n d Para usar y1 0 e y2 0 estendemos a fórmula válida formalmente para todo n mas usaremos apenas para montar equações y1 4 A B 1 121 4 A B 2 0 y2 4 A B 2 122 4 A 2B 4 0 Isso gera o sistema 4 2A B 0 4 4A 2B 0 2A 2B 4 4A 8B 4 Dividindo a segunda equação por 2 2A 2B 4 2A 4B 2 Subtraindo a segunda da primeira 2A 2B 2A 4B 4 2 2B 2 B 1 Então 2A 21 4 2A 2 4 2A 6 A 3 e yn 4 3 n 12n n 0 4 Sistema Hz 12 1 z2 Sabendo que Zδn 1 Zδn 2 z2 escrevemos Hz 12 1 z2 12 Zδn Zδn 2 hn 12 δn δn 2 O polinômio 1 z2 tem zeros em z2 1 ie z 1 ω 0 DC ω π Nyquist são rejeitados Portanto o sistema rejeita baixas e altas frequências passando componentes em torno de ω π2 Logo Filtro passafaixa banda centrado em f fs4 Defino f no intervalo desejado e ω 2π ffs Hejω 12 1 ej2ω Hejω sinω Assim de f 0 a 2000 Hz temos Hej2πffs sin2π f8000 O gráfico abaixo ilustra Hejω de 0 a 2000 Hz Figura 1 Magnitude de Hejω para 0 f 2000 Hz