Lista Sinais e Sistemas

1 PROAKIS MANOLAKIS 1996 p 135 Um sinal de tempo discreto xn é definido por xn 1 n3 3 n 1 1 0 n 3 0 caso contrário a Faça um gráfico de xn b Faça o gráfico do sinal resultante de i espelhar xn e então atrasálo de 4 amostras ii atrasar xn de 4 amostras e então espelhálo c Faça um gráfico de xn 4 d Expresse xn em termos de sinais δn e un 2 1081 PROAKIS MANOLAKIS 1996 p 137 A única informação disponível sobre um sistema consiste em N pares entradassaídas de sinais yin Hxin i 1 2 N a Para que sinais de entrada as saídas podem ser determinadas usando a informação acima caso o sistema seja linear b Repita caso o sistema seja invariante no tempo Página 3 5 1072 OPPENHEIM WILLSKY YOUNG 1983 p 49 a Considere a interconexão de sistemas LIT mostrada na figura a seguir Expresse a resposta ao impulso global hn em termos de h1n h2n h3n h4n e h5n b Determine hn quando h1n 412nun un 3 h2n h3n n 1un h4n δn 1 h5n δn 4δn 3 c Esboce a resposta do sistema da parte b se xn for o sinal mostrado a seguir 6 1071 OPPENHEIM WILLSKY YOUNG 1983 p 49 Um sinal de tempo discreto xn é mostrado na figura a seguir Esboce cuidadosamente cada um dos seguintes sinais a xn2 b x2n c xnu2n Figura 2 Resposta ao impulso do sistema global da Figura 1 8 1061 HAYKIN VEEN 2001 p156 Uma interconexão de sistemas LIT é descrita na figura a seguir As respostas ao impulso são h1n 12n un2un3 h2n δn e h3n un1 Admitamos que a resposta ao impulso do sistema global de xn até yn seja denotada como hn a Expresse hn em termos de h1n h2n e h3n b Calcule hn usando os resultados de a Sinais e Sistemas 9 Usando a definição da transformada de Laplace Integral de Laplace encontrar a transformada de Laplace de ft 0 para t0 ft t e3 t para t t 0 10 Determinar a transformada inversa de Laplace da seguinte função F s 1 podese empregar a tabela de pares de transformadas s s22 s 2 11 Calcular it no circuito RLRLC da figura a seguir após a passagem do interruptor para a posição 2 em t0 Considerar V1 V2 100 V R50 ohms L 100mH C 1mF 12 Temse dois circuitos a e b abaixo que usam o mesmo conjunto de capacitor indutorresistor Fazendo R50 C1 mF e L 100 mH pedese a a função de transferência dois circuitos b A equação característica c o fator de amortecimento qsi dos circuitos a e b d A resposta ao impulso dos 2 circuitos 13 Encontrar a transformada de Fourier da função ilustrada abaixo 1 PROAKIS MANOLAKIS 1996 p 135 O sinal discreto xn 1 n3 3 n 1 1 0 n 3 0 caso contrário é tratado nos itens ad abaixo a Gráfico de xn b Transformações de tempo Definimos duas operações espelhamento xn atraso de 4 xn4 i Espelhar e depois atrasar 4 amostras y1n xn4 xn4 ii Atrasar 4 amostras e depois espelhar y2n xn 4 c Gráfico de xn 4 Este é exatamente o mesmo de bi pois xn 4 y1n ver gráfico em bi d Representação em δn e un Forma usando soma de δ xn k33 xk δn k 13 δn 2 23 δn 1 k03 1 δn k Forma usando un xn 1 n3un 3 un 1un un 4 Aqui un 3 un 3 n 1 un un 4 0 n 3 2 1081 PROAKIS MANOLAKIS 1996 p 137 Suponha que se conheçam N pares entradasaída de um sistema yin Hxin i 1 2 N a Sistema Linear Se o sistema H for linear então ele satisfaz superposição e homogeneidade Ha x1n b x2n a Hx1n b Hx2n Logo para qualquer sinal de entrada que possa ser escrito como combinação linear dos xin xn i1N ai xin a saída correspondente é yn Hxn i1N ai Hxin i1N ai yin Portanto conhecendo yin podemos determinar yn sempre que xn pertença ao espaço gerado pelos xin b Sistema Invariante no Tempo Se além de linear o sistema H for invariante no tempo LTI então também vale Hxin k yin k k Z Desse modo para qualquer sinal de entrada que seja combinação linear de deslocamentos dos xin xn i1N k aik xin k a saída é yn Hxn i1N k aik Hxin k i1N k aik yin k Assim conhecendo yin podemos determinar yn para qualquer xn que pertença ao espaço gerado pelos deslocamentos dos xin 3 1081 PROAKIS MANOLAKIS 1996 p 141 A figura mostra um splitmerge de quatro sistemas LTI O sinal de entrada xn passa primeiramente por h1n e depois se divide em dois ramos xn h1 ramo superior h2n ramo inferior h3n h4n yn Por linearidade e comutatividade da convolução ha hbn hb han a Resposta ao impulso global No ramo superior temos uma cascata h1h2 no ramo inferior a cascata h1h3h4 Como as duas saídas são somadas a resposta global é hn h1h2n h1h3h4n 1 b Cálculo de hn para os impulsos dados h1n 12 δn 14 δn 1 12 δn 2 h2n h3n n 1un h4n δn 2 1 Primeira cascata gn h1h2 k h1k h2n k 12 n 1un 14 n un 1 12 n 1un 2 Valores iniciais obtidos directamente de 2 n 1 0 1 2 3 gn 0 0 12 54 52 154 Para n 2 todos os u valem 1 logo gn 12 n 1 14 n 12 n 1 54 n n 2 3 2 Segunda cascata h1h3h4 h1h3h4 gnδn 2 gn 2 4 3 Soma dos ramos Com 14 hn gn gn 2 n Z Montando explicitamente hn 0 n 0 12 n 0 54 n 1 52 12 3 n 2 54 n 54 n 2 52 n 52 n 3 5 Resumo em forma de sequência hn 12 n 0 54 n 1 3 n 2 52 n 1 n 3 0 n 0 Ou com funções degrau hn 12 δn 54 δn 1 3δn 2 52 n 52 un 3 4 1072 OPPENHEIM WILLSKY YOUNG 1983 p 49 O sinal original que foi da figura pode ser escrito como hn 12 n un 4 un 5 hn 05 n 4 n 4 0 caso contrário Os esboços pedidos são obtidos por transformações de tempo simples a hn 2 hn 2 12 n 2 un 6 un 3 nãonulo para 6 n 2 b hn un hn Primeiro hn 12 n un 4 un 5 logo yn hn un hn 05 n 4 n 1 0 caso contrário c h3n δn 1 Como δn 1 é nãonulo somente em n 1 h3n δn 1 h3 δn 1 05 3 δn 1 15 δn 1 5 1072 OPPENHEIM WILLSKY YOUNG 1983 p 49 a Resposta ao impulso global hn No diagrama o sinal de entrada xn percorre três ramos Ramo 1 xn h1 h2 Ramo 2 xn h1 h3 h4 Ramo 3 xn h5 Como todos os blocos são lineares e invariantes no tempo LTI e as somas são entradas de um somador final com sinais e a convolução global é hn h1 h2n h1 h3 h4n h5n onde denota convolução discreta b Avaliando hn para os impulsos dados h1n 412n un un 3 4 2 1 em n 0 1 2 h2n h3n n 1un h4n δn 1 h5n δn 4δn 3 1 Convolução gn h1 h2 gn 4n 1un 2n un 1 n 1un 2 4 n 0 7n 3 n 1 2 Convolução fn h1 h3 h4 Primeiro h3 h4 h3n 1 n un 1 então fn 4n un 2n 1 un 1 n 2 un 2 0 n 0 4 n 1 7n 4 n 2 3 Resposta global hn Aplicando 1 hn gn fn h5n 5δn 6δn 1 7δn 2 3δn 3 7 un 4 n 1 0 1 2 3 4 hn 0 5 6 7 3 7 7 c Cálculo completo e gráfico de yn xn hn O sinal de entrada xn 1 n 3 2 1 1 n 1 2 n 2 0 caso contrário e a resposta ao impulso global hn 5 n 0 6 n 1 7 n 2 3 n 3 7 n 4 0 n 0 então yn k xk hn k k32112 xk hn k Por exemplo y3 x3 h0 1 5 5 y2 x3 h1 x2 h0 1 6 1 5 11 y1 x3 h2 x2 h1 x1 h0 1 7 1 6 1 5 18 y0 x3 h3 x2 h2 x1 h1 1 3 1 7 1 6 16 y1 x3 h4 x2 h3 x1 h2 x1 h0 1 7 1 3 1 7 1 5 12 y2 x3 h5 x2 h4 x1 h3 x1 h1 x2 h0 1 7 1 7 1 3 1 6 2 5 Tabela de valores n 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 yn 0 0 5 11 18 16 12 1 2 4 8 8 Gráfico de yn 6 1071 OPPENHEIM WILLSKY YOUNG 1983 p 49 O sinal original da figura pode ser tabelado por xn 1 1 n 3 05 n 4 0 caso contrario Nos itens ac aplicamos apenas deslocamentos compressao e janelas com degraus a xn 2 xn 2 1 1 n 5 05 n 6 0 caso contrario 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 05 1 n xn 2 b x2n Somente trˆes amostras permanecem naonulas x2n 1 n 0 1 05 n 2 0 caso contrario 4 3 2 1 0 1 2 3 4 0 05 1 n x2n 9 c xn u2 n Como u2 n 1 para n 2 e 0 para n 2 o resultado é o recorte de xn até n 2 xn u2 n 1 n 1 0 1 2 0 caso contrário 7 1062 OPPENHEIM WILLSKY NAWAB 1998 p 143 A cascata causal da Figura contém h1n seguido de h2n duas vezes Logo a resposta global ao impulso é hn h1n h2n h2n h1n gn gn h2n h2n a Encontrar h1n Convolução gn h2 h2 Com h2n un un2 11 para n 0 1 gn 1 n 0 2 n 1 1 n 2 0 caso contrário 1 Valores lidos de hn Da Figura 2 barras inteiras obtemos h0 1 h1 5 h2 10 h3 11 h4 8 h5 4 h6 1 hn 0 n 0 ou n 6 2 Deconvolução h1 h g1 Como gn ocupa apenas n 0 1 2 escrevemos explicitamente é a soma de convolução h0 g0 h10 1 h10 1 h1 g0 h11 g1 h10 h11 2 1 5 h11 3 h2 g0 h12 g1 h11 g2 h10 h12 2 3 1 1 10 h12 3 h3 g0 h13 g1 h12 g2 h11 h13 2 3 1 3 11 h13 2 h4 g0 h14 g1 h13 g2 h12 h14 2 2 1 3 8 h14 1 Não há mais incógnitas pois hn encerrase em n 6 e gn em n 2 Assim h1n 1 3 3 2 1 un u4 n 3 b Saída para xn δn δn 1 Para uma entrada diferença de deltas yn xn hn δn δn 1 hn hn hn 1 n 1 0 1 2 3 4 5 6 7 hn 0 1 5 10 11 8 4 1 0 hn 1 0 1 5 10 11 8 4 yn 1 4 5 1 3 4 3 1 Portanto yn 1 n 0 4 n 1 5 n 2 1 n 3 3 n 4 4 n 5 3 n 6 1 n 7 0 caso contrário b Cálculo de hn Dados h1n 12n un2 un3 4 n 2 2 n 1 1 n 0 12 n 1 14 n 2 0 caso contrário h3n un1 1 n 1 0 n 1 Convolução h1 h3n Pela definição h1 h3n sumk h1k h3nk sumk h1k unk1 Como unk1 1 nk1 0 k n1 temos h1 h3n sumkn1 h1k Defina a soma parcial Sm sumkm h1k Como h1k é nãonulo apenas para k 2 1 0 1 2 calculamos Sm sumkm h1k 0 m 2 h12 4 m 2 4 h11 4 2 6 m 1 6 h10 6 1 7 m 0 7 h11 7 12 152 m 1 152 h12 152 14 314 m 2 Portanto tomando m n 1 h1 h3n Sn1 0 n 1 4 n 1 6 n 0 7 n 1 152 n 2 314 n 3 Soma final hn h1n h1 h3n Combine os valores de h1n e h1 h3n n 3 2 1 0 1 2 3 13 Transformada de Fourier de ft A forma de onda Fig Abaixo pode ser decomposta em dois retângulos de amplitude 1 ft ut1 ut5 pulso 1 t 5 ut2 ut4 pulso 2 t4 1 Transformada de Fourier contínua Pela definição Fω ft ejωt dt Usando 1 bastam duas integrais de pulsos unitários Fω 1 5 ejωt dt 2 4 ejωt dt ejω1 ejω5 jω ejω2 ejω4 jω Colocando em evidência 1jω Fω 1jω ejω1 ejω2 ejω4 ejω5 3 Valor em ω 0 área do pulso F0 lim ω0 Fω 51 42 6 Vale salientar a Forma trigonométrica Usando identidades de fase 3 também pode ser escrito como Fω 2ω sinω2 ejω32 sinω2 ejω52 4 sinω2ω ejω32 1 12 ejω Essa expressao deixa clara a sincatenuacao 4 sinω2ω multiplicada por um termo de fase ejω32 e uma modulacao 1 1 2ejω Resumo a transformada contem zeros periodicos em ω 2πk k 0 devido aos dois pulsos unitarios e sua magnitude e dominada por uma funcao sinc de largura 2π rads conforme esperado para pulsos retangulares de duracao finita 19