Lista de Sinais e Sistema

14 O valor de A 14 29 Resolva a lista para os 2 valores de A 14 e A 29 1 1 ponto Um sinal de entrada xn com 4 amostras foi apresentado à entrada do sistema linear invariante no tempo SLIT abaixo e apresentou em sua saída o sinal yn com 8 amostras Encontrar sua resposta ao impulso hn xn 1 A 2 A yn 1 3A 13A 92A 1 6 23A A 2 1 ponto Pela integral da convolução encontrar o resultado de xt convoluído com gt dados xt tutA e gt tA utA 3 1 ponto Fazendo uso das propriedades de Fourier encontre yt rectt cosAπt 4 1 ponto Encontrar a série Trigonométrica de Fourier do sinal abaixo 5 1 ponto Encontrar os coeficientes da Série de Fourier Complexa Xn da função xt10cosΩot tomando como frequência fundamental de referência ΩSF ΩoA 24 6 1 ponto Dado o trem de impulsos s t n δ t n T também ilustrado abaixo encontrar a Os coeficientes da série exponencial de Fourier b 1 ponto Encontrar yt e esboçar seu espectro resultado da modulação de st com xt cuja transformada de Fourier está ilustrada no gráfico abaixo Xf Xfi2π transformada de Fourier de xt OBS o espectro final de yt pode ser no domínio da frequência em Hz ou rds Fica a critério doa alunoa escolher 7 1 ponto Encontre o valor de y 8 Encontrar a Transformada de Fourier Xjw de xt1214cos20πt14cos20πt34cos30πt Esboçar o respectivo gráfico de Xjw ao longo de wrds TRANSFORMADAS DE FOURIER DE ALGUMAS FUNÇÕES ft Fω Pulso retangular Πt 1 t 12 0 t 12 sinω2ω2 Pulso triangular Λt 1 t t 1 0 t 1 sin2ω2ω22 Função sinal sgnt 1 t 0 1 t 0 2iω t 2ω2 1t iπ sgnω Função de Laplace e at 2aa2 ω2 Função de Gauss e at2 πa eω24a Impulso δt δt t0 1 expiωt0 Impulso 1expiω0t 2πδω 2πδω ω0 Funções trigonométricas cos ω0t sin ω0t πδω ω0 δω ω0 iπδω ω0 δω ω0 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER Domínio do Tempo Domínio de Frequência Transformada direta ft Fω ft eiωt dt Transformada inversa ft 12π Fω eiωt dω Fω Linearidade ft a ut b vt Fω a Uω b Vω Fator de escala fat 1aFωa Atraso no tempo ft Δt eiω Δt Fω Deslocamento em frequência Fω Δω Derivação no tempo ddt ft iω Fω Derivação em frequência itft ddω Fω Integração no tempo ft dt Fωiω F0 0 Integração em frequência i ftt f0 0 Fω dω Convolução no tempo ft gt fλ gt λ dλ Fω Gω Convolução em frequência 2π ft gt Fω Gω Fλ Gω λ dλ Questao 1 Como o sistema e LTI Linear e Invariante no Tempo tem yn xn hn O comprimento de hn e dado por comprimento de hn 8 4 1 5 hn h0 h1 h2 h3 h4 Montando o sistema de equacoes y0 x0h0 1h0 1 h0 1 y1 x0h1 x1h0 h1 A 3 A h1 3 y2 x0h2 x1h1 x2h0 h2 3A 2 1 3A h2 3 6A y3 h3 Ah2 6 A 9 2A h3 A3 6A 6 A 9 2A h3 3A 6A2 6 A 9 2A h3 6A2 4A 6 9 2A h3 15 2A 6A2 y4 Ah3 2h2 3A 1 A15 2A 6A2 23 6A 3A 1 15A 2A2 6A3 6 12A 3A 1 6A3 2A2 30A 6 1 6A3 2A2 30A 5 y5 2h3 Ah2 6 y6 Ah3 2 3A y7 Ah4 A h4 1 Calculando para A 14 h0 1 h1 3 h2 3 614 81 h3 15 214 6142 1219 h4 1 Calculando para A 29 1 h0 1 h1 3 h2 3 629 171 h3 15 229 6292 5119 h4 1 Resposta final Para A 14 hn 1 3 81 1219 1 Para A 29 hn 1 3 171 5119 1 Questão 2 Pela definição da convolução yt xt gt xτgt τdτ Dados xt t ut A gt tA ut A Substituindo xτ τ uτ A gt τ t τA ut τ A Assim yt τ uτ A t τA ut τ Adτ Determinando o intervalo de integração uτ A τ A ut τ A τ t A Logo τ A t A Resolvendo a integral yt τt τA dτ Fazendo a substituição η t τ dτ dη τ A η t A τ t A η A Reescrevendo yt from tA to A t ηηAdη from A to tA t ηηA dη Expandindo a integral from A to tA tηA dη from A to tA ηA1 dη Calculando ηA dη ηA1 A1 ηA1 dη ηA2 A2 Assim yt t ηA1A1 from A to tA ηA2A2 from A to tA Resolvendo como yt t t AA1 AA1 A1 t AA2 AA2 A2 Expressão final yt tt AA1 A1 t AA2 A2 tAA1 A1 AA2 A2 Questão 3 Fazendo uso das propriedades da Transformada de Fourier yt rectt cosAπt Propriedades usadas A convolução no domínio do tempo corresponde à multiplicação no domínio da frequência ft gt FFf Gf Transformada de Fourier de rectt recttF sincf 7 Transformada de Fourier de cosAπt cosAπtF 12 δf A2 δf A2 Aplicando as transformadas F yt sincf 12 δf A2 δf A2 12 sincf δf A2 12 sincf δf A2 12 sincA2 δf A2 12 sincA2 δf A2 Voltando para o domínio do tempo yt sincA2 cosAπt Expressão final yt sincA2 cosAπt Questão 4 O sinal é uma onda triangular simétrica de período T e amplitude A A Série Trigonométrica de Fourier é dada por xt a0 from n1 to an cos2πnT t Como o sinal é par apenas termos de cosseno aparecem Coeficiente a0 a0 1T from T2 to T2 xtdt A2 Coeficiente an Sabendo que de 0 a T2 xt A 2AT t an 2T from 0 to T2 A 2AT t cos2πnT t dt Após cálculos conhecidos an 8A π2 n2 para n ímpar 8 an 0 para n par Expressão final xt A2 from n1 n impar to 8A π2 n2 cos2πnT t Questão 5 Dada a função xt 10 cosΩ0 t Considerando a frequência fundamental de referência Ωf Ω0 A Ω0 A Ωf Expressando xt em termos de exponenciais complexas xt 5 ejΩ0 t 5 ejΩ0 t 5 ej A Ωf t 5 ej A Ωf t Assim comparando com a Série de Fourier Complexa xt from n to Xn ej n Ωf t Se consegue os coeficientes Xn 5 para n A 5 para n A 0 do contrário Questão 6 a Coeficientes da série exponencial de Fourier Dado st from n to δt nT Sabendo que o trem de impulsos possui como série exponencial de Fourier st 1T from k to ej 2 π k t T Assim Ck 1T Para todo k b Modulação e espectro de yt xt st Multiplicar xt por st no tempo corresponde a convolução no domínio da frequência Yf Xf Sf Como Sf 1T from n to δf nT Temos Yf 1T from n to Xf nT Ou seja o espectro Xf será replicado infinitamente ao longo do eixo das frequências centrado em nT Esboço o espectro será cópias do espectro Xf original centradas em múltiplos de 1T Questão 7 Dada a integral y from to cosAt δAt π dt Utilizando a propriedade do delta de Dirac com escalonamento δAt π 1A δt πA Assim y 1A cosA πA 1A cosπ cosπ 1 y 1A Questão 8 Dada xt 12 14 cos20πt 14 cos20πt 34 cos30πt Simplificando xt 12 34 cos30πt Calculando a Transformada de Fourier Xjω Para o termo constante F12 πδω Para 34 cos30πt F34 cos30πt 3π4 δω 30π δω 30π Resultado final Xjω πδω 3π4 δω 30π δω 30π Esboço do espectro Pico em ω 0 com amplitude π Picos em ω 30π com amplitude 3π4