Lista Módulo 1 Resolvida-2022 1

Lista de Exercícios do Módulo 01 1) Um sistema é mostrado na figura 1(a) abaixo a) Determine G(s)e H(s) do diagrama de blocos mostrado na figura 1(b) que sejam equivalentes ao diagrama de blocos da figura 1(a) b) Determines Y(s)/U(s)para a figura 1(b) Figura 1 – Equivalência de diagrama de blocos 2) Um circuito em ponte T é frequentemente usado em sistemas de controle CA (corrente alternada) como filtro. O circuito em ponte T é mostrado na figura 2. Mostre que a função de transferência do circuito é V_s(s) 1 + 2R_1Cs + R_1R_2C^2s^2 ────── = ────────────────────────────── V_e(s) 1 + (2R_1 + R_2)Cs + R_1R_2C^2s^2 Figura 2 – Circuito em ponte T 3) Dado o circuito abaixo determine: a) Uma equação diferencial matricial em variáveis de estado para o circuito da figura 3. Considere v_1 e v_2 como variáveis de estado, v_2 como saída e v_A e v_B como entradas. b) Após encontrar o sistema no espaço de estados, encontre as funções de transferência do mesmo utilizando o Matlab. Figura 3 – Circuito RC 4) Encontre a função de transferência Y_1(s)/R_2(s) e Y_2(s)/R_1(s) do sistema representado no diagrama de blocos abaixo: Figura 4 – Sistema multivariável 5) Dado o circuito abaixo encontre: a) a função de transferência E_o(s)/E_i(s). b) Após encontrar a função de transferência do circuito encontre o sistema no espaço de estados utilizando o Matlab. Figura 5 – Circuito elétrico 6) A figura 6 mostra um diagrama esquemático do sistema de suspensão de um automóvel. Quando o carro se move ao longo da estrada, o movimento vertical das rodas age como a própria função de entrada do sistema de suspensão do automóvel. O modelo matemático do sistema completo é bastante complicado. Uma versão simplificada do sistema de suspensão é mostrada na figura 6. Admitindo que o movimento x_i no ponto P seja a entrada do sistema e o movimento vertical x_o do corpo seja a saída e dada a função de transferência X_o(s)/X_i(s), encontre a representação do sistema no espaço de estados. X_o(s) bs + k ─────── = ────────── X_i(s) ms^2 + bs + k Figura 6 – Sistema de suspensão simplificado Lista de exercícios - módulo 1 1 a) G(s) = \frac{20}{s^3 + 20s^2 + 144s + 440} H(s) = \frac{s^2 + 10s + 24}{20} b) \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{20}{s^3 + 25s^2 + 154s + 464} 4. Fazendo R_1(s) = 0 para o cálculo de \frac{Y_1(s)}{R_2(s)}, obtem-se o sistema abaixo: [Diagram] = \frac{G_5}{G_5H_2+1} = \frac{G_3}{G_5H_1+1} G_7G_8+G_9) (G_5H_1+1)(G_5H_2+1) Fazendo R_2(s) = 0 para o cálculo de \frac{Y_2(s)}{R_1(s)}, obtem-se: [Diagram] = \frac{G_5}{G_5H_2+1} \frac{R_1(s)}{Y_2(s)} = \frac{G_3G_5G_6G_7}{G_5H_2+1} 5. [Diagram] Pelo no \circle1 pode-se escrever: • V - E_o = \frac{E_o sC_2}{R_2} \therefore V - E_o + E_o sR_2C_2. \therefore V = E_o(1+sR_2C_2) Para o no \circle2, • E_1 - V = \frac{sC_1V + (V-E_0)R_2}{R_1}, \therefore \frac{E_i}{R_1} + \frac{E_o}{R_2} = (sC_1 + \frac{1}{R_1})V Substituindo V(s) na expressão acima, \frac{E_o}{E_i} = \frac{1}{R_1} \cdot \frac{s}{sC_1 + \frac{1}{R_1}}(1 + sR_2C_2 - \frac{1}{R_2}) \frac{E_o}{E_i} = \frac{1}{s^2R_2C_1C_2 + sC_1 + sR_2C_2 + \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}} 6. A razão X_o(s)/X_i(s) pode ser escrita como o produto entre duas razões, como segue: [Equations] \frac{X_o(s)}{X_i(s)} = \frac{Z_z(s)}{Z_c(s)} \cdot \frac{b s + k}{m s^2 + b s + k} X_o(s) \begin{align*} X_c := bZ_s(s) + kZ_c(s) \end{align*} [Diagram] \begin{align*} x_o(t) = b\dot{z} + b(x_3) + \frac{1}{m}X_i(t) \end{align*} Descrevendo: \begin{align*} \dot{z}_1 = x_2, \\ \dot{3}_2 = - \frac{k}{m}z_3 + b z\_3 \end{align*} 1. A expressão I torna-se x_o(t) = - k x_3 + b\cdot 3z_2 2. A expressão II torna-se: -\dot{z}_2 = a\frac{-}{m}b + b \dot{x} Logo, a representação do sistema é: \begin{bmatrix} \dot{x}_1\\ \dot{x}_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{b}{m} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\ \frac{1}{m} \end{bmatrix}X_i x_o = [K\ b]\begin{bmatrix} \dot{x}_1\\ \dot{x}_3 \end{bmatrix}