Slide Sistemas de Primeira Ordem-2022 1

P R O F . C A R O L I N A R I B E I R O R O D R I G U E S Controle 1 Sistemas de Primeira Ordem  Uma vez determinado a função de transferência do sistema, pode- se então analisar o desempenho deste a partir de sua resposta.  As funções: degrau, rampa e senoide, são sinais típicos para analisar a resposta de um sistema.  Resposta temporal: é a resposta de um sistema de controle e é constituída por duas partes: resposta transitória e resposta estacionária.  Resposta Transitória: é a resposta que vai do estado inicial ao estado final.  Resposta Estacionária: é o comportamento do sinal de saída do sistema à medida que o tempo tende ao infinito. Introdução - Análise transitória e estacionária  Estabilidade Absoluta: objetivo principal de projetos de sistemas de controle. Caso o projeto não consiga obter a estabilidade absoluta, o sistema será instável.  O erro de regime estacionário pode ser observado quando a resposta em regime apresenta um erro em relação ao sinal de entrada.  Por fim, a resposta de saída de um sistema é a soma de duas respostas: a resposta forçada e a resposta natural. Introdução - Análise transitória e estacionária Exemplo: Polos e zeros de um sistema de primeira ordem. Dada a função de transferência 𝐺(𝑠) de primeira ordem Existe um polo em 𝑠 = −5 e um zero em 𝑠 = −2. Estes valores estão representados graficamente no plano 𝑠 complexo Introdução - Análise transitória e estacionária Para determinar a resposta ao degrau, multiplique a função de transferência por uma função degrau, e obtenha Logo,   2 2 / 5 3/ 5 ( ) 5 5 5 s A B C s s s s s s s          5 2 3 ( ) 5 5 t c t e   Introdução - Análise transitória e estacionária  Resposta de 5 2 3 ( ) 5 5 t c t e   Em 𝑡 = 0, 𝑐 𝑡 = 2 5 + 2 5 𝑒0 = 1 2 5 é a resposta forçada Introdução - Análise transitória e estacionária Quando 𝑡 → ∞, 𝑐 𝑡 = 2 5 + 2 5 𝑒−∞ = 2 5  Conclusões:  Um polo da função de entrada gera a forma da resposta forçada.  Um polo da função de transferência gera a forma da resposta natural  Um polo no eixo real gera uma resposta exponencial da forma 𝒆−𝒂𝒕, em que −𝑎 é a posição do polo no eixo real.  Assim, quanto mais à esquerda um polo estiver no eixo real negativo, mais rápido a resposta transitória exponencial decairá para zero.  Os zeros e os polos geram as amplitudes para ambas as respostas, forçada e natural. Introdução - Análise transitória e estacionária  Resposta de para alguns valores de 𝑎.   ( ) a s C s s b s    Os valores de 𝑏 foram normalizados para obter valores iguais de regime permanente. 𝑎 = 3 𝑎 = 5 𝑎 = 10 𝑎 = 40 𝑎 = 20 Considere o sistema de primeira ordem sem zeros Caso a entrada seja um degrau unitário, temos a saída 𝐶 𝑠 A inversa de Laplace é dada por O polo da entrada na origem gerou a resposta forçada 𝑐𝑓 𝑡 = 1, e o polo do sistema −𝑎 gerou a resposta natural 𝑐𝑛 𝑡 = −𝑒−𝑎𝑡.   1 ( ) ( ) ( ) a C s R s G s s s a    ( ) ( ) ( ) 1 at f n c t c t c t e     Sistemas de Primeira Ordem A representação da equação 𝑐 𝑡 pode ser vista na figura Sendo, 𝑇𝑟 = Tempo de subida e 𝑇𝑠 = Tempo de acomodação. 98,17% do valor final em 𝑡 = 4 constantes de tempo. 99,33% do valor final em 𝑡 = 5 constantes de tempo. 86,47% 95,02% Sistemas de Primeira Ordem Neste caso, 𝑎 é o único parâmetro necessário para descrever a resposta transitória. Considere 𝑡 = 1/𝑎, assim ou Definições:  1 - Constante de Tempo  Chamamos 1/𝑎 de constante de tempo da resposta.  Tempo necessário para 𝑒−𝑎𝑡 decair para 36,8% de seu valor inicial.  Tempo necessário para a resposta ao degrau (1 − 𝑒−𝑎𝑡) atingir 63,2% de seu valor final. 1 1 0,368 at t a e e      1 1 ( ) 1 1 0,368 0,632 at t t a a c t e        Sistemas de Primeira Ordem  O inverso da constante de tempo tem a unidade (1/segundos), ou frequência. Logo, o parâmetro 𝑎 é chamado de frequência exponencial.  A constante de tempo pode ser considerada uma especificação da resposta transitória para um sistema de primeira ordem, uma vez que ela está relacionada à velocidade com a qual o sistema responde a uma entrada em degrau.  Uma vez que o polo da função de transferência está em −𝑎, podemos dizer que o polo está localizado no inverso da constante de tempo.  Quanto mais afastado o polo estiver do eixo imaginário, mais rápida será a resposta transitória. Sistemas de Primeira Ordem  2 – Tempo de Subida, 𝑻𝒓  É definido como o tempo necessário para que a forma de onda vá de 0,1 a 0,9 de seu valor final.  O tempo de subida é obtido resolvendo-se a equação para a diferença de tempo entre 𝑐(𝑡) = 0,9 e 𝑐(𝑡) = 0,1.  Demonstração: 2,31 0,11 2,2 rT a a a    ( ) ( ) ( ) 1 at f n c t c t c t e       2,31 2,31 0,9 1 ln 0,1 at at at e e e e t a               0,11 0,11 0,1 1 ln 0,9 at at at e e e e t a             Sistemas de Primeira Ordem  3 – Tempo de Acomodação, 𝑻𝒔  É definido como o tempo para que a resposta alcance e fique em uma faixa de 2% em torno de seu valor final.  O tempo de acomodação é obtido resolvendo-se a equação para o tempo 𝑡 e fazendo 𝑐(𝑡) = 0,98.  Demonstração : 4 sT a  ( ) ( ) ( ) 1 at f n c t c t c t e      0,98 1 0,02 0,02 log 0,02 3,91 3,91 4 at at at x x e e e e e e x x t a a                   Sistemas de Primeira Ordem Determinação Experimental de Funções de Transferência de Primeira Ordem  Frequentemente não é possível ou prático obter analiticamente a função de transferência de um sistema.  Possivelmente o sistema é fechado e as partes componentes não são identificáveis facilmente.  Podemos determinar a função de transferência destes sistemas por meio da relação entre a entrada e saída, sem a necessidade de conhecer a construção interna da planta.  Se aplicarmos uma entrada degrau em um sistema de primeira ordem podemos determinar a constante de tempo e o valor de regime permanente. Sistemas de Primeira Ordem Assim, considere um sistema de primeira ordem sendo 𝑒−𝑇𝑠 o atraso no tempo. Cuja resposta ao degrau é considerando o atraso 𝑇 = 0.  Caso possamos identificar 𝐾 e 𝑎 a partir de ensaios laboratoriais, podemos obter a função de transferência do sistema.   ( ) Ts K G s e s a        / / ( ) K K a K a C s s s a s s a      Sistemas de Primeira Ordem Exemplo: Considere a resposta ao degrau abaixo Sistemas de Primeira Ordem Passo 1: A partir da resposta, medimos a constante de tempo, isto é, o tempo para a amplitude atingir 63% de seu valor final. Valor final (valor de regime permanente) ≅ 0,72 A constante de tempo é determinada onde a curva atinge 63% de 0,72, ou seja, 0,63 × 0,72 = 0,45, ou cerca de 0,13 s, logo Passo 2: Obter 𝐾. Para isso, verificamos que a resposta forçada atinge um valor em regime permanente de 𝐾 𝑎 = 0,72, como abaixo 1 1 constante de tempo 7,7 0,13 a  a      / ( ) 0,72 0,72 5, ,7 / 54 7 K a K K C s K s s a a K a             Sistemas de Primeira Ordem Assim, a função de transferência para o sistema é É interessante observar que a resposta foi gerada utilizando a função de transferência: 5,54 7 7 ( , ) s G s   7 ( 5 G s)  s  Sistemas de Primeira Ordem Exercício 1: Considere a função de transferência Determine, a constante de tempo, 𝑇𝑐, o tempo de acomodação, 𝑇𝑠, e o tempo de subida, 𝑇𝑟. Resposta: 𝑇𝑐 = 0,02 s, 𝑇𝑠 = 0,08 s e 𝑇𝑟 = 0,044 s. 50 ( ) 50 G s  s  Sistemas de Primeira Ordem Exercício 2: Determine a função de transferência considerando a resposta experimental ao degrau unitário: Resposta: 30 ( ) 6 G s  s  Sistemas de Primeira Ordem Exercício 3: Considere o circuito RC abaixo: A função de transferência que relaciona a tensão no capacitor (saída) pela tensão da fonte (entrada) é dada por Suponha que 𝑅 = 1𝑘Ω e 𝐶 = 1 𝑚𝐹. Determine: a) O valor de pico de tensão sobre o capacitor 𝐶 quando a entrada 𝑉𝑖 é um pulso. b) Determine o tempo necessário para que o capacitor apresente uma tensão inferior a 0,15 𝑉. 1/ ( ) 1/ o i V RC G s V s RC    Sistemas de Primeira Ordem Solução: a) Note que 𝑅𝐶 = 1 e 𝑉𝑖 = 1 (pulso), assim temos A inversa de Laplace é dada por O valor de pico ocorre no instante inicial (𝑡 = 0) e é dado por b) A partir da inversa de Laplace temos que o tempo 𝑡 é 1/ 1 1 1/ 1 o i o RC V V V s RC s        1t ov t e    1 0 1 t ov t e e V         1 1 1 1,90 1 0,15 ln 0,15 1,90 s t t t t ov t e e e e e t              Sistemas de Primeira Ordem  Simulação Sistemas de Primeira Ordem Valor de pico 1 V. 𝑡 = 1,90 s Exercício 4: Considere o mesmo circuito RC anterior: Suponha que 𝑅 = 1𝑘Ω e 𝐶 = 0,01 𝑚𝐹. Determine o tempo necessário para que um capacitor apresente uma tensão superior a 95% de sua tensão de entrada (tensão de entrada degrau amplitude 𝐴). 1/ ( ) 1/ o i V RC G s V s RC    Sistemas de Primeira Ordem Solução: Note que 𝑅𝐶 = 0,10 e 𝑉𝑖 = 𝐴/𝑠 (degrau), assim temos A inversa de Laplace é dada por (fazer frações parciais) A partir da inversa de Laplace temos que o tempo 𝑡 é 1/ 10 1/ 10 o i o RC A V V V s RC s s          10 1 t ov t A e       10 10 10 10 3 95 1 0,05 ln 0,05 100 0,3 s t t t t A A e e e e e t               Sistemas de Primeira Ordem  Simulação para a amplitude 𝐴 = 1 (1𝑉 de entrada) Sistemas de Primeira Ordem