Avaliação 1 Geoanali e Alglin Resolvida-2020 1

Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Professor: Raimundo Ronilson Leal do Rosário Nome:___________________________________________ Turma:________________ RA:_______________________ 1ª Avaliação Individual – 15/03/2020 NOTA: Observações: a) A interpretação faz parte da prova. b) O desenvolvimento da questão deverá constar na prova de maneira clara e objetiva. c) As respostas finais devem estar escritas à caneta e sem rasuras. d) Questão sem a apresentação dos cálculos não terá validade. Obs.: Nas questões que aparecer 𝒅𝒈𝒕, deve-se, primeiramente, substituir pelo último dígito do seu RA. 01) (1 pt) Sejam 𝐴 = [1 𝑑𝑔𝑡 4 −3 ], 𝐵 = [ −2 0 1 1 3 −2 ], 𝐶 = [ 3 1 0 −2 0 3] e 𝐷 = [1 3 2 5], calcule 3𝐴𝑡 − 2𝐶𝐵 + 𝐷−1. (Lembre-se: se 𝑄 = [𝑎 𝑏 𝑐 𝑑] ⇒ 𝑄−1 = 1 𝑑𝑒𝑡 𝑄 [ 𝑑 −𝑏 −𝑐 𝑎 ]). Para 𝑑𝑔𝑡 = 0 3𝐴𝑡 = 3 [1 4 0 −3] = [3 12 0 −9] 2𝐶𝐵 = 2 [ 3 1 0 −2 0 3] [ −2 0 1 1 3 −2 ] = [−10 2 26 −12] 𝐷−1 = 1 −1 [ 5 −3 −2 1 ] = [−5 3 2 −1] 3𝐴𝑡 − 2𝐶𝐵 + 𝐷−1 = [3 12 0 −9] − [−10 2 26 −12] + [−5 3 2 −1] 3𝐴𝑡 − 2𝐶𝐵 + 𝐷−1 = [ 8 13 −24 2 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 1 3𝐴𝑡 − 2𝐶𝐵 + 𝐷−1 = [ 8 13 −21 2 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 2 3𝐴𝑡 − 2𝐶𝐵 + 𝐷−1 = [ 8 13 −18 2 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 3 3𝐴𝑡 − 2𝐶𝐵 + 𝐷−1 = [ 8 13 −15 2 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 4 3𝐴𝑡 − 2𝐶𝐵 + 𝐷−1 = [ 8 13 −12 2 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 5 3𝐴𝑡 − 2𝐶𝐵 + 𝐷−1 = [ 8 13 −9 2 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 6 3𝐴𝑡 − 2𝐶𝐵 + 𝐷−1 = [ 8 13 −6 2 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 7 3𝐴𝑡 − 2𝐶𝐵 + 𝐷−1 = [ 8 13 −3 2 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 8 3𝐴𝑡 − 2𝐶𝐵 + 𝐷−1 = [8 13 0 2 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 9 3𝐴𝑡 − 2𝐶𝐵 + 𝐷−1 = [8 13 3 2 ] 02) (0,9 pt) Resolva o Sistema de Equações Lineares. { 𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑥4 + 4𝑥5 = 0 𝑥1 + 3𝑥2 + 3𝑥3 + 3𝑥4 + 5𝑥5 = 0 𝑥1 + 3𝑥2 − 6𝑥4 + 2𝑥5 = 0 { 𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑥4 + 4𝑥5 = 0 𝑥3 + 4𝑥4 + 𝑥5 = 0 −2𝑥3 − 5𝑥4 − 2𝑥5 = 0 { 𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑥4 + 4𝑥5 = 0 𝑥3 + 4𝑥4 + 𝑥5 = 0 3𝑥4 = 0 𝑥2 e 𝑥5 são variáveis livres 3𝑥4 = 0 𝑥4 = 0 𝑥3 + 4𝑥4 + 𝑥5 = 0 𝑥3 + 4(0) + 𝑥5 = 0 𝑥3 = −𝑥5 𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑥4 + 4𝑥5 = 0 𝑥1 + 3𝑥2 + 2(−𝑥5) − 0 + 4𝑥5 = 0 𝑥1 = −3𝑥2 − 2𝑥5 𝑆 = {(−3𝑥2 − 2𝑥5, 𝑥2, −𝑥5, 0, 𝑥5); 𝑥2, 𝑥5 ∈ ℝ} 03) (1,2 pt) Calcule a inversa de 𝐴 = [ 1 1 𝑑𝑔𝑡 + 3 2 0 11 1 0 5 ], por operações elementares linha. Para 𝑑𝑔𝑡 = 0 [ 1 1 3 2 0 11 1 0 5 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] [ 1 1 3 0 −2 5 0 −1 2 1 0 0 −2 1 0 −1 0 1 ] [ 1 1 3 0 1 −2 0 −2 5 1 0 0 1 0 −1 −2 1 0 ] [ 1 0 5 0 1 −2 0 0 1 0 0 1 1 0 −1 0 1 −2 ] [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 −5 11 1 2 −5 0 1 −2 ] 𝐴−1 = [ 0 −5 11 1 2 −5 0 1 −2 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 1 𝐴−1 = [ 0 −5 11 1 1 −3 0 1 −2 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 2 𝐴−1 = [ 0 −5 11 1 0 −1 0 1 −2 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 3 𝐴−1 = [ 0 −5 11 1 −1 1 0 1 −2 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 4 𝐴−1 = [ 0 −5 11 1 −2 3 0 1 −2 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 5 𝐴−1 = [ 0 −5 11 1 −3 5 0 1 −2 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 6 𝐴−1 = [ 0 −5 11 1 −4 7 0 1 −2 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 7 𝐴−1 = [ 0 −5 11 1 −5 9 0 1 −2 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 8 𝐴−1 = [ 0 −5 11 1 −6 11 0 1 −2 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 9 𝐴−1 = [ 0 −5 11 1 −7 13 0 1 −2 ] 04) Em um paralelogramo de vértices 𝐴𝐵𝐶𝐷, consecutivos (ver figura), são conhecidos os pontos 𝐴(1, 3, −2) e 𝐵(5, 4, −4) e a diagonal 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (4, 2, −3). Calcule: a) (0,7 pt) as coordenadas do vértice 𝐷. 𝐷 = 𝐴 + 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷 = 𝐴 + 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴 − 𝐵 = (1, 3, −2) − (5, 4, −4) 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−4, −1,2) 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (4, 2, −3) (dado) 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−4, −1,2) + (4, 2, −3) 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,1, −1) 𝐷 = 𝐴 + 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, 3, −2) + (0,1, −1) 𝐴 𝐶 𝐵 𝐷 𝐷(1,4, −3) b) (1,1 pt) A área do paralelogramo de vértices 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴𝑟𝑒𝑎 = ‖𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗ ‖ 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−4,−1,2) 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,1, −1) 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = | 𝑖 𝑗 𝑘⃗ −4 −1 2 0 1 −1 | 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (1 − 2,0 − 4, −4 − 0) 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1, −4, −4) ‖𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √(−1)2 + (−4)2 + (−4)2 ‖𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √33 𝐴𝑟𝑒𝑎 = √33 𝑢. 𝑎. 05) (1 pt) Verifique quais as condições dos termos independentes para que o SEL tenha solução. { 𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 3𝑥4 = 𝑎 − 𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 − 5𝑥4 = 𝑏 −3𝑥1 − 4𝑥2 + 5𝑥3 − 𝑥4 = 𝑐 2𝑥1 + 𝑥2 − 5𝑥3 = 𝑑 [ 1 2 −1 −1 −1 2 3 𝑎 −5 𝑏 −3 −4 5 2 1 −5 −1 𝑐 0 𝑑 ] [ 1 2 −1 0 1 1 3 𝑎 −2 𝑎 + 𝑏 0 2 2 0 −3 −3 8 3𝑎 + 𝑐 −6 −2𝑎 + 𝑑 ] [ 1 2 −1 0 1 1 3 𝑎 −2 𝑎 + 𝑏 0 0 0 0 0 0 12 𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 −12 𝑎 + 3𝑏 + 𝑑 ] [ 1 2 −1 0 1 1 3 𝑎 −2 𝑎 + 𝑏 0 0 0 0 0 0 12 𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 0 2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 ] Para que o SEL tenha solução: 2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 0 06) Sejam os vetores 𝑢⃗ = √2 𝑖 + 𝑘⃗ , 𝑣 = (0, 1, √3), 𝑤⃗⃗ = (1, 1, 2) e 𝑝 = 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ e os pontos 𝐴(1, −1, 𝑑𝑔𝑡) e 𝐵(0, 𝑚, 5). Determine: a) (0,7 pt) 𝑚, sendo 𝑤⃗⃗ e 𝑝 ortogonais. Para 𝑑𝑔𝑡 = 0 𝑤⃗⃗ = (1, 1, 2) 𝑝 = 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (0, 𝑚, 5) − (1, −1,0) 𝑝 = (−1, 𝑚 + 1,5) Como 𝑤⃗⃗ e 𝑝 ortogonais, então 𝑤⃗⃗ ∙ 𝑝 = 0 (1, 1, 2) ∙ (−1, 𝑚 + 1,5) = 0 −1 + 𝑚 + 1 + 10 = 0 𝑚 = −10 Para 𝑑𝑔𝑡 = 1 𝑚 = −8 Para 𝑑𝑔𝑡 = 2 𝑚 = −6 Para 𝑑𝑔𝑡 = 3 𝑚 = −4 Para 𝑑𝑔𝑡 = 4 𝑚 = −2 Para 𝑑𝑔𝑡 = 5 𝑚 = 0 Para 𝑑𝑔𝑡 = 6 𝑚 = 2 Para 𝑑𝑔𝑡 = 7 𝑚 = 4 Para 𝑑𝑔𝑡 = 8 𝑚 = 6 Para 𝑑𝑔𝑡 = 9 𝑚 = 8 b) (0,7 pt) o vetor 𝑠 , que tem comprimento 6 e é paralelo a 𝑤⃗⃗ , mas sentido contrário a 𝑤⃗⃗ . 𝑠 = −6 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑤⃗⃗ 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑤⃗⃗ = 1 ‖𝑤⃗⃗ ‖ 𝑤⃗⃗ 𝑠 = −6 1 ‖𝑤⃗⃗ ‖ 𝑤⃗⃗ 𝑤⃗⃗ = (1, 1, 2) ‖𝑤⃗⃗ ‖ = √(1)2 + (1)2 + (2)2 ‖𝑤⃗⃗ ‖ = √6 𝑠 = −6 1 √6 (1, 1, 2) 𝑠 = (−√6, −√6, −2√6) c) (0,7 pt) o ângulo entre 𝑢⃗ e 𝑣 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑢⃗ ∙ 𝑣 ‖𝑢⃗ ‖‖𝑣 ‖ 𝑢⃗ = √2 𝑖 + 𝑘⃗ 𝑢⃗ = (√2, 0, 1) 𝑣 = (0, 1, √3) 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = (√2, 0,1) ∙ (0,1, √3) 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = 1 ‖𝑢⃗ ‖ = √(√2) 2 + (0)2 + (1)2 ‖𝑢⃗ ‖ = √3 ‖𝑣 ‖ = √(0)2 + (1)2 + (√3) 2 ‖𝑣 ‖ = 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑢⃗ ∙ 𝑣 ‖𝑢⃗ ‖‖𝑣 ‖ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 1 √3 (2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = √3 6 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 (√3 6 )