Prova Final Resolvida Geoanali e Alglin-2021 1

Nas questões que consta 𝑢𝑑𝑔, substituí-lo, primeiramente, pelo último dígito do seu RA. Ex.: Se RA = 0123456789, então 𝑢𝑑𝑔 = 9. Questão 01) (1,8 pt) Seja a Transformação Linear (𝑇𝐿), 𝑇: ℝ3 → 𝑀(3,1), 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = [ 𝑥 − 3𝑦 − 2 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1)𝑧 −𝑥 + 6𝑦 − (𝑢𝑑𝑔 + 1)𝑧 −2𝑥 + 7𝑦 + 3 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1)𝑧 ]. Determine: a) 𝑁(𝑇), o núcleo da Transformação Linear; Solução: 𝑁(𝑇) = {𝑣 ∈ ℝ3; 𝑇(𝑣) = 0 ∈ 𝑀(3,1)} 𝑣 ∈ ℝ3; 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑒 𝑇(𝑣) = 0 [ 𝑥 − 3𝑦 − 2 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1)𝑧 −𝑥 + 6𝑦 − (𝑢𝑑𝑔 + 1)𝑧 −2𝑥 + 7𝑦 + 3 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1)𝑧 ] = [ 0 0 0 ] ⇒ [ 𝑥 − 3𝑦 − 2 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1)𝑧 3𝑦 − 3 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1)𝑧 𝑦 − (𝑢𝑑𝑔 + 1)𝑧 ] = [ 0 0 0 ] ⇒ [ 𝑥 − 3𝑦 − 2 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1)𝑧 𝑦 − (𝑢𝑑𝑔 + 1)𝑧 0 ] = [ 0 0 0 ] 𝑧 é variável livre 𝑦 − (𝑢𝑑𝑔 + 1)𝑧 = 0 ⇒ 𝑦 = (𝑢𝑑𝑔 + 1)𝑧 𝑥 − 3𝑦 − 2 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1)𝑧 ⇒ 𝑥 − 3 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1)𝑧 − 2 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1)𝑧 = 0 ⇒ 𝑥 = 5 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1)𝑧 𝑁(𝑇) = {(5 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1)𝑧, (𝑢𝑑𝑔 + 1)𝑧, 𝑧); 𝑧 ∈ ℝ} Para 𝑑𝑔𝑡 = 0 𝑁(𝑇) = {(5𝑧, 𝑧, 𝑧); 𝑧 ∈ ℝ} Para 𝑑𝑔𝑡 = 1 𝑁(𝑇) = {(10𝑧, 2𝑧, 𝑧); 𝑧 ∈ ℝ} Para 𝑑𝑔𝑡 = 2 𝑁(𝑇) = {(15𝑧, 3𝑧, 𝑧); 𝑧 ∈ ℝ} Para 𝑑𝑔𝑡 = 3 𝑁(𝑇) = {(20𝑧, 4𝑧, 𝑧); 𝑧 ∈ ℝ} Para 𝑑𝑔𝑡 = 4 𝑁(𝑇) = {(25𝑧, 5𝑧, 𝑧); 𝑧 ∈ ℝ} Para 𝑑𝑔𝑡 = 5 𝑁(𝑇) = {(30𝑧, 6𝑧, 𝑧); 𝑧 ∈ ℝ} Para 𝑑𝑔𝑡 = 6 𝑁(𝑇) = {(35𝑧, 7𝑧, 𝑧); 𝑧 ∈ ℝ} Para 𝑑𝑔𝑡 = 7 𝑁(𝑇) = {(40𝑧, 8𝑧, 𝑧); 𝑧 ∈ ℝ} Para 𝑑𝑔𝑡 = 8 𝑁(𝑇) = {(45𝑧, 9𝑧, 𝑧); 𝑧 ∈ ℝ} Para 𝑑𝑔𝑡 = 9 𝑁(𝑇) = {(50𝑧, 10𝑧, 𝑧); 𝑧 ∈ ℝ} b) 𝐼𝑚(𝑇), a imagem da Transformação Linear Solução: 𝐼𝑚(𝑇) = {𝑤 ∈ 𝑀(3,1); 𝑇(𝑣) = 𝑤, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑣 ∈ ℝ3} 𝑤 ∈ 𝑀(3,1); 𝑤 = [ 𝑎 𝑏 𝑐 ] 𝑒 𝑇(𝑣) = 𝑤 [ 𝑥 − 3𝑦 − 2 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1)𝑧 −𝑥 + 6𝑦 − (𝑢𝑑𝑔 + 1)𝑧 −2𝑥 + 7𝑦 + 3 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1)𝑧 ] = [ 𝑎 𝑏 𝑐 ] ⇒ [ 1 −3 −2 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1) −1 6 −(𝑢𝑑𝑔 + 1) −2 7 3 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1) 𝑎 𝑏 𝑐 ] ⇒ [ 1 −3 −2 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1) 0 3 −3 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1) 0 1 −(𝑢𝑑𝑔 + 1) 𝑎 𝑎 + 𝑏 2𝑎 + 𝑐 ] ⇒ [ 1 −3 −2 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1) 0 1 −(𝑢𝑑𝑔 + 1) 0 0 0 𝑎 2𝑎 + 𝑐 −5𝑎 + 𝑏 − 3𝑐 ] −5𝑎 + 𝑏 − 3𝑐 = 0 ⇒ 𝑎 = (𝑏 − 3𝑐)/5 𝐼𝑚(𝑇) = {[ (𝑏 − 3𝑐)/5 𝑏 𝑐 ] ; 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ} Questão 02) (1,9 pt) Seja o conjunto 𝐴 = {(−1, 3, 0, 1), (2 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1), 𝑢𝑑𝑔 + 1, 𝑢𝑑𝑔 + 1, 0), (0, 7, 1, 2)}. Determine: a) 𝑆 = 𝐺(𝐴), o Subespaço Vetorial gerado pelo conjunto 𝐴. Solução: 𝑆 = 𝐺(𝐴) = {𝑤 ∈ ℝ4; 𝑤 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 + 𝑎3𝑣3} 𝑤 ∈ ℝ4 ⟹ 𝑤 = (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) 𝑤 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 + 𝑎3𝑣3 𝑎1(−1, 3, 0, 1) + 𝑎2(2 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1), 𝑢𝑑𝑔 + 1, 𝑢𝑑𝑔 + 1, 0) + 𝑎3(0, 7, 1, 2) = (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) [ −1 2 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1) 0 3 𝑢𝑑𝑔 + 1 7 𝑎 𝑏 0 𝑢𝑑𝑔 + 1 1 1 0 2 𝑐 𝑑 ] ⟹ [ −1 2 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1) 0 0 7 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1) 7 𝑎 3𝑎 + 𝑏 0 𝑢𝑑𝑔 + 1 1 0 2 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1) 2 𝑐 𝑎 + 𝑑 ] ⟹ [ −1 2 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1) 0 1 𝑢𝑑𝑔 + 1 1 𝑎 𝑐 0 0 0 0 0 0 3𝑎 + 𝑏 − 7𝑐 𝑎 − 2𝑐 + 𝑑 ] ⟹ [ −1 1 2 0 1 1 𝑎 𝑐 0 0 0 0 0 0 3𝑎 + 𝑏 − 7𝑐 𝑎 − 2𝑐 + 𝑑 ] Para que o SEL seja possível: {3𝑎 + 𝑏 − 7𝑐 = 0 𝑎 − 2𝑐 + 𝑑 = 0 ⟹ { 𝑎 − 2𝑐 + 𝑑 = 0 3𝑎 + 𝑏 − 7𝑐 = 0 Resolve-se o SEL acima: { 𝑎 − 2𝑐 + 𝑑 = 0 𝑏 − 𝑐 − 3𝑑 = 0 𝑏 = 𝑐 + 3𝑑, 𝑎 = 2𝑐 − 𝑑 𝑆 = 𝐺(𝐴) = {(2𝑐 − 𝑑, 𝑐 + 3𝑑, 𝑐, 𝑑); 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ} b) 𝑑𝑖𝑚 𝑆 𝑑𝑖𝑚 𝑆 = 2 Questão 03) (1,4 pt) Sabendo-se que 𝑇: ℝ2 → 𝑀3𝑥1 é uma Transformação Linear e que 𝑇(1, −2) = [ 0 10 6 ] e 𝑇(3, −5) = [ 𝑢𝑑𝑔 + 1 0 2 ], determine 𝑇(𝑥, 𝑦). Solução: 𝑣 ∈ ℝ2 ⇒ 𝑣 = (𝑥, 𝑦) 𝑣 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 (𝑥, 𝑦) = 𝑎1(1, −2) + 𝑎2(3, −5) [ 1 3 𝑥 −2 −5 𝑦] ⇒ [1 3 𝑥 0 1 2𝑥 + 𝑦] 𝑎2 = 2𝑥 + 𝑦, 𝑎1 = −5𝑥 − 3𝑦 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑎1𝑇(𝑣1) + 𝑎2𝑇(𝑣2) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (−5𝑥 − 3𝑦) [ 0 10 6 ] + (2𝑥 + 𝑦) [ 𝑢𝑑𝑔 + 1 0 2 ] 𝑇(𝑥, 𝑦) = [ 2 ∙ (𝑢𝑑𝑔 + 1)𝑥 + (𝑢𝑑𝑔 + 1)𝑦 −50𝑥 − 30𝑦 −26𝑥 − 16𝑦 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 0 𝑇(𝑥, 𝑦) = [ 2𝑥 + 𝑦 −50𝑥 − 30𝑦 −26𝑥 − 16𝑦 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 1 𝑇(𝑥, 𝑦) = [ 4𝑥 + 2𝑦 −50𝑥 − 30𝑦 −26𝑥 − 16𝑦 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 2 𝑇(𝑥, 𝑦) = [ 6𝑥 + 3𝑦 −50𝑥 − 30𝑦 −26𝑥 − 16𝑦 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 3 𝑇(𝑥, 𝑦) = [ 8𝑥 + 4𝑦 −50𝑥 − 30𝑦 −26𝑥 − 16𝑦 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 4 𝑇(𝑥, 𝑦) = [ 10𝑥 + 5𝑦 −50𝑥 − 30𝑦 −26𝑥 − 16𝑦 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 5 𝑇(𝑥, 𝑦) = [ 12𝑥 + 6𝑦 −50𝑥 − 30𝑦 −26𝑥 − 16𝑦 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 6 𝑇(𝑥, 𝑦) = [ 14𝑥 + 7𝑦 −50𝑥 − 30𝑦 −26𝑥 − 16𝑦 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 7 𝑇(𝑥, 𝑦) = [ 16𝑥 + 8𝑦 −50𝑥 − 30𝑦 −26𝑥 − 16𝑦 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 8 𝑇(𝑥, 𝑦) = [ 18𝑥 + 9𝑦 −50𝑥 − 30𝑦 −26𝑥 − 16𝑦 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 9 𝑇(𝑥, 𝑦) = [ 20𝑥 + 10𝑦 −50𝑥 − 30𝑦 −26𝑥 − 16𝑦 ] Questão 04) (1,4 pt) Sejam 𝑉 = 𝑀2𝑥2 um Espaço Vetorial, os vetores 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀2𝑥2 e o produto interno definido por < 𝑨, 𝑩 >= 𝒕𝒓(𝑩𝒕𝑨) (Obs.: 𝑡𝑟(𝑋) é o traço da matriz 𝑋, ou seja, é a soma dos elementos da diagonal principal de 𝑋): a) Verifique se 𝑃 = [−1 4 2 𝑢𝑑𝑔 − 2] e 𝑄 = [𝑢𝑑𝑔 (−1)𝑢𝑑𝑔+1 3 1 ] são ortogonais. Solução: 𝑃 e 𝑄 são ortogonais se < 𝑃, 𝑄 > = 0 < 𝑃, 𝑄 > = 𝑡𝑟(𝑄𝑡𝑃) Para 𝑢𝑑𝑔 par: 𝑄𝑡𝑃 = [𝑢𝑑𝑔 3 −1 1] [−1 4 2 𝑢𝑑𝑔 − 2] = [−𝑢𝑑𝑔 + 6 4𝑢𝑑𝑔 + 3𝑢𝑑𝑔 − 6 3 −4 + 𝑢𝑑𝑔 − 2 ] = [−𝑢𝑑𝑔 + 6 7𝑢𝑑𝑔 − 6 3 𝑢𝑑𝑔 − 6 ] < 𝑃, 𝑄 > = 𝑡𝑟(𝑄𝑡𝑃) = −𝑢𝑑𝑔 + 6 + 𝑢𝑑𝑔 − 6 = 0 Como < 𝑃, 𝑄 > = 0, então 𝑈1 e 𝑈2 são ortogonais. Para 𝑢𝑑𝑔 ímpar: 𝑄𝑡𝑃 = [𝑢𝑑𝑔 3 1 1] [−1 4 2 𝑢𝑑𝑔 − 2] = [−𝑢𝑑𝑔 + 6 4𝑢𝑑𝑔 + 3𝑢𝑑𝑔 − 6 1 4 + 𝑢𝑑𝑔 − 2 ] = [−𝑢𝑑𝑔 + 6 7𝑢𝑑𝑔 − 6 3 𝑢𝑑𝑔 + 2 ] < 𝑃, 𝑄 > = 𝑡𝑟(𝑄𝑡𝑃) = −𝑢𝑑𝑔 + 6 + 𝑢𝑑𝑔 + 2 = 8 Como < 𝑈1, 𝑈2 > ≠ 0, então 𝑈1 e 𝑈2 não são ortogonais. b) Normalize o vetor 𝑈 = [1 𝑢𝑑𝑔 − 5 0 −3 ]. Solução: 𝑊 = 1 ‖𝑈‖ 𝑈, ‖𝑈‖ = √< 𝑈, 𝑈 > = √𝑡𝑟(𝑈𝑡𝑈) 𝑈𝑡𝑈 = [ 1 0 𝑢𝑑𝑔 − 5 −3] [1 𝑢𝑑𝑔 − 5 0 −3 ] = [ 1 𝑢𝑑𝑔 − 5 𝑢𝑑𝑔 − 5 (𝑢𝑑𝑔 − 5)2 + 9] ‖𝑈‖ = √1 + (𝑢𝑑𝑔 − 5)2 + 9 = √(𝑢𝑑𝑔 − 5)2 + 10 𝑊 = 1 ‖𝑈‖ 𝑈 = 1 √(𝑢𝑑𝑔 − 5)2 + 10 [1 𝑢𝑑𝑔 − 5 0 −3 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 0 𝑊 = [ 1 ⁄√35 −5 √35 ⁄ 0 −3 √35 ⁄ ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 1 𝑊 = [ 1 ⁄√26 −4 √26 ⁄ 0 −3 √26 ⁄ ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 2 𝑊 = [ 1 ⁄√19 −3 √19 ⁄ 0 −3 √19 ⁄ ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 3 𝑊 = [ 1 ⁄√14 −2 √14 ⁄ 0 −3 √14 ⁄ ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 4 𝑊 = [ 1 ⁄√11 −1 √11 ⁄ 0 −3 √11 ⁄ ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 5 𝑊 = [ 1 ⁄√10 0 0 −3 √10 ⁄ ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 6 𝑊 = [ 1 ⁄√11 1 √11 ⁄ 0 −3 √11 ⁄ ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 7 𝑊 = [ 1 ⁄√14 2 √14 ⁄ 0 −3 √14 ⁄ ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 8 𝑊 = [ 1 ⁄√19 3 √19 ⁄ 0 −3 √19 ⁄ ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 9 𝑊 = [ 1 ⁄√26 4 √26 ⁄ 0 −3 √26 ⁄ ] Questão 05) (2,0 pt) Operador Linear 𝑇: ℝ3 → ℝ3, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧, −2𝑥 + 3𝑦, −𝑦 − 2𝑧) cujos seus autovalores são 𝜆1 = −1, 𝜆2 = 1, 𝜆3 = 2. (Obs.: 𝑇(𝑣) = 𝐴𝑣). a) Determine uma matriz inversível 𝑃, se existir, tal que 𝑃−1𝐴𝑃 seja diagonal. Solução: 𝐴 = [ 1 2 6 −2 3 0 0 −1 −2 ] ⇒ 𝐴 = [ 1 − 𝜆 2 6 −2 3 − 𝜆 0 0 −1 −2 − 𝜆 ] Cálculo de autovetores: (𝐴 − 𝜆𝐼)𝑣 = 0 Para 𝜆1 = −1 { 2𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = 0 −2𝑥 + 4𝑦 = 0 −𝑦 − 𝑧 = 0 ⇒ { 2𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = 0 6𝑦 + 6𝑧 = 0 −𝑦 − 𝑧 = 0 𝑧 é variável livre −𝑦 − 𝑧 = 0 ⇒ 𝑦 = −𝑧 2𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = 0 ⇒ 𝑥 = −2𝑧 𝑣1 = (−2𝑧, −𝑧, 𝑧); 𝑧 ∈ ℝ∗ 𝑜𝑢 𝑣1 = (−2, −1, 1) Para 𝜆2 = 1 { 2𝑦 + 6𝑧 = 0 −2𝑥 + 2𝑦 = 0 −𝑦 − 3𝑧 = 0 ⇒ { 𝑥 − 𝑦 = 0 𝑦 + 3𝑧 = 0 0 = 0 𝑦 + 3𝑧 = 0 ⇒ 𝑦 = −3𝑧 𝑥 − 𝑦 = 0 ⇒ 𝑥 = −3𝑧 𝑣2 = (−3𝑧, −3𝑧, 𝑧); 𝑧 ∈ ℝ∗ 𝑜𝑢 𝑣2 = (−3, −3, 1) Para 𝜆3 = 2 { −𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = 0 −2𝑥 + 𝑦 = 0 −𝑦 − 4𝑧 = 0 ⇒ { 𝑥 − 2𝑦 − 6𝑧 = 0 −3𝑦 − 12𝑧 = 0 −𝑦 − 4𝑧 = 0 𝑧 é variável livre −𝑦 − 4𝑧 = 0 ⇒ 𝑦 = −4𝑧 𝑥 − 2𝑦 − 6𝑧 = 0 ⇒ 𝑥 = −2𝑧 𝑣3 = (−2𝑧, −4𝑧, 𝑧); 𝑧 ∈ ℝ∗ 𝑜𝑢 𝑣3 = (−2, −4, 1) Assim, 𝑃 = [ −2 −3 −2 −1 −3 −4 1 1 1 ] b) Determine 𝑃−1𝐴𝑃 𝑃−1𝐴𝑃 = 𝐷 = [ −1 0 0 0 1 0 0 0 2 ]