Prova 1 e 2 Resolvida Geoanali e Alglin-2021 2

01) Substituir, primeiramente, 𝑑𝑔𝑡 pelo último dígito do seu RA. Ex.: Se RA = 0123456789, então 𝑑𝑔𝑡 = 9. (0,7 pt) Sejam as matrizes 𝐴 = [2 7 1 2], 𝐵 = [ −2 0 1 3 1 −2 ] e 𝐶 = [ 3 1 0 −2 0 𝑑𝑔𝑡 + 1], calcule 6𝐴−1 + (𝐶𝐵)𝑡. (Lembre-se: se 𝑄 = [𝑎 𝑏 𝑐 𝑑] é inversível, então 𝑄−1 = 1 𝑑𝑒𝑡 𝑄 [ 𝑑 −𝑏 −𝑐 𝑎 ]). Solução: Para 𝑑𝑔𝑡 = 0 𝐴 = [2 7 1 2] ⇒ 𝐴−1 = 1 −3 [ 2 −7 −1 2 ] = − 1 3 [ 2 −7 −1 2 ] 𝐶𝐵 = [ 3 1 0 −2 0 1] [ −2 0 1 3 1 −2 ] ⇒ 𝐶𝐵 = [−5 3 4 −2] 6𝐴−1 + (𝐶𝐵)𝑡 = 6 (− 1 3) [ 2 −7 −1 2 ] + [−5 4 3 −2] = [−4 14 2 −4] + [−5 4 3 −2] 6𝐴−1 + (𝐶𝐵)𝑡 = [−9 18 5 −6] Para 𝑑𝑔𝑡 = 1 6𝐴−1 + (𝐶𝐵)𝑡 = [−9 19 5 −8] Para 𝑑𝑔𝑡 = 2 6𝐴−1 + (𝐶𝐵)𝑡 = [−9 20 5 −10] Para 𝑑𝑔𝑡 = 3 6𝐴−1 + (𝐶𝐵)𝑡 = [−9 21 5 −12] Para 𝑑𝑔𝑡 = 4 6𝐴−1 + (𝐶𝐵)𝑡 = [−9 22 5 −14] Para 𝑑𝑔𝑡 = 5 6𝐴−1 + (𝐶𝐵)𝑡 = [−9 23 5 −16] Para 𝑑𝑔𝑡 = 6 6𝐴−1 + (𝐶𝐵)𝑡 = [−9 24 5 −18] Para 𝑑𝑔𝑡 = 7 6𝐴−1 + (𝐶𝐵)𝑡 = [−9 25 5 −20] Para 𝑑𝑔𝑡 = 8 6𝐴−1 + (𝐶𝐵)𝑡 = [−9 26 5 −22] Para 𝑑𝑔𝑡 = 9 6𝐴−1 + (𝐶𝐵)𝑡 = [−9 27 5 −24] 02) Substituir, primeiramente, 𝑑𝑔𝑡 pelo último dígito do seu RA. Ex.: Se RA = 0123456789, então 𝑑𝑔𝑡 = 9. (1,3 pt) Quais as condições de 𝑎 e 𝑏 para que o SEL tenha solução. { 𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 − 3𝑥4 = 𝑎 2𝑥1 − 𝑥2 − 7𝑥3 + 4𝑥4 = 𝑑𝑔𝑡 𝑥2 + 3𝑥3 − 2𝑥4 = 𝑏 Solução: Para 𝑑𝑔𝑡 = 0 [ 1 2 2 −1 0 1 4 −3 −7 4 3 −2 𝑎 0 𝑏 ] [ 1 2 0 −5 0 1 4 −3 −15 10 3 −2 𝑎 −2𝑎 𝑏 ] [ 1 2 0 1 0 0 4 −3 3 −2 0 0 𝑎 𝑏 −2𝑎 + 5𝑏 ] −2𝑎 + 5𝑏 = 0 2𝑎 − 5𝑏 = 0 Para 𝑑𝑔𝑡 = 1 2𝑎 − 5𝑏 = 1 Para 𝑑𝑔𝑡 = 2 2𝑎 − 5𝑏 = 2 Para 𝑑𝑔𝑡 = 3 2𝑎 − 5𝑏 = 3 Para 𝑑𝑔𝑡 = 4 2𝑎 − 5𝑏 = 4 Para 𝑑𝑔𝑡 = 5 2𝑎 − 5𝑏 = 5 Para 𝑑𝑔𝑡 = 6 2𝑎 − 5𝑏 = 6 Para 𝑑𝑔𝑡 = 7 2𝑎 − 5𝑏 = 7 Para 𝑑𝑔𝑡 = 8 2𝑎 − 5𝑏 = 8 Para 𝑑𝑔𝑡 = 9 2𝑎 − 5𝑏 = 9 03) Substituir, primeiramente, 𝑑𝑔𝑡 pelo último dígito do seu RA. Ex.: Se RA = 0123456789, então 𝑑𝑔𝑡 = 9. (1,4 pt) Calcule a inversa de 𝐴 = [ 1 1 −2 2 3 −4 −3 𝑑𝑔𝑡 − 10 7 ], por operações elementares linha. Solução: Para 𝑑𝑔𝑡 = 0 𝐴−1 = [ −19 13 2 −2 1 0 −11 7 1 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 1 𝐴−1 = [ −15 11 2 −2 1 0 −9 6 1 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 2 𝐴−1 = [ −11 9 2 −2 1 0 −7 5 1 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 3 𝐴−1 = [ −7 7 2 −2 1 0 −5 4 1 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 4 𝐴−1 = [ −3 5 2 −2 1 0 −3 3 1 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 5 𝐴−1 = [ 1 3 2 −2 1 0 −1 2 1 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 6 𝐴−1 = [ 5 1 2 −2 1 0 1 1 1 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 7 𝐴−1 = [ 9 −1 2 −2 1 0 3 0 1 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 8 𝐴−1 = [ 13 −3 2 −2 1 0 5 −1 1 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 9 𝐴−1 = [ 17 −5 2 −2 1 0 7 −2 1 ] 04) (1,0 pt) Sejam o ponto 𝑄(2, 3, 𝑑𝑔𝑡 + 1) e a reta 𝑟: {𝑥 = 3𝑦 + 1 𝑧 = −4𝑦 − 2. Determine o ponto 𝑅 que pertence ao eixo das abscissas, sabendo-se que o vetor 𝑄𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ é ortogonal a reta 𝑟. Solução: Para 𝑑𝑔𝑡 = 0 𝑅 ∈ 𝑂𝑥 ⇒ 𝑅(𝑥, 0, 0) 𝑄𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝑟 ⇒ 𝑄𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝑟 ⇒ 𝑄𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑟 = 0 𝑄𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑅 − 𝑄 = (𝑥 − 2, −3, −𝑑𝑔𝑡 − 1) 𝑟 = (3, 1, −4) 𝑄𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑟 = 0 ⇒ (𝑥 − 2, −3, −𝑑𝑔𝑡 − 1) ∙ (3, 1, −4) = 0 3𝑥 − 6 − 3 + 4𝑑𝑔𝑡 + 4 = 0 ⇒ 3𝑥 = 5 − 4𝑑𝑔𝑡 𝑥 = 5 − 4𝑑𝑔𝑡 3 𝑅 (5 3 , 0, 0) Para 𝑑𝑔𝑡 = 1 𝑅 (1 3 , 0, 0) Para 𝑑𝑔𝑡 = 2 𝑅(−1, 0, 0) Para 𝑑𝑔𝑡 = 3 𝑅 (− 7 3 , 0, 0) Para 𝑑𝑔𝑡 = 4 𝑅 (− 11 3 , 0, 0) Para 𝑑𝑔𝑡 = 5 𝑅(−5, 0, 0) Para 𝑑𝑔𝑡 = 6 𝑅 (− 19 3 , 0, 0) Para 𝑑𝑔𝑡 = 7 𝑅 (− 23 3 , 0, 0) Para 𝑑𝑔𝑡 = 8 𝑅(−9, 0, 0) Para 𝑑𝑔𝑡 = 9 𝑅 (− 31 3 , 0, 0) 05) Substituir, primeiramente, 𝑑𝑔𝑡 pelo último dígito do seu RA. Ex.: Se RA = 0123456789, então 𝑑𝑔𝑡 = 9. Em quatro paralelogramos idênticos adjacentes (ver figura) são conhecidos os pontos 𝐽(3, −1, 2), 𝐹(−1, 7, −6) e 𝐵(5, 2, 𝑑𝑔𝑡 + 3). 05.a) (1,4 pt) Determine uma equação geral do plano 𝜋 que contém os quatro paralelogramos da figura. Solução: Para 𝑑𝑔𝑡 = 0 𝜋: {𝐴 ∈ 𝜋 𝑛⃗ ⊥ 𝜋 ⇒ 𝜋: { 𝐴 = 𝐽(3, −1, 2) 𝑛⃗ = 𝛼(𝐽𝐹 ⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐽𝐵 ⃗⃗⃗⃗ ) 𝐽𝐹 ⃗⃗⃗⃗ = (−4, 8, −8), 𝐽𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = (2, 3, 1) 𝐴𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐴𝐼 ⃗⃗⃗⃗ = | 𝑖 𝑗 𝑘⃗ −4 8 −8 2 3 1 | = (8 + 24, −16 + 4, −12 − 16) 𝐴𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐴𝐼 ⃗⃗⃗⃗ = (32, −12, −28) Para 𝛼 = 1 4 ⁄ , então 𝑛⃗ = (8, −3, −7): 𝑑 = −((8)3 + (−3)(−1) − 7(2)) 𝑑 = −13 𝜋: 8𝑥 − 3𝑦 − 7𝑧 − 13 = 0 Para 𝑑𝑔𝑡 = 1 𝜋: 10𝑥 − 2𝑦 − 7𝑧 − 18 = 0 Para 𝑑𝑔𝑡 = 2 𝜋: 12𝑥 − 𝑦 − 7𝑧 − 23 = 0 Para 𝑑𝑔𝑡 = 3 𝜋: 14𝑥 − 7𝑧 − 28 = 0 Para 𝑑𝑔𝑡 = 4 𝜋: 16𝑥 + 𝑦 − 7𝑧 − 33 = 0 Para 𝑑𝑔𝑡 = 5 𝜋: 18𝑥 + 2𝑦 − 7𝑧 − 38 = 0 Para 𝑑𝑔𝑡 = 6 𝜋: 20𝑥 + 3𝑦 − 7𝑧 − 43 = 0 Para 𝑑𝑔𝑡 = 7 𝜋: 22𝑥 + 4𝑦 − 7𝑧 − 48 = 0 Para 𝑑𝑔𝑡 = 8 𝜋: 24𝑥 + 5𝑦 − 7𝑧 − 53 = 0 𝐸 𝐽 𝐷 𝐴 𝐵 𝐻 𝐼 𝐶 𝐹 𝐺 Para 𝑑𝑔𝑡 = 9 𝜋: 26𝑥 + 6𝑦 − 7𝑧 − 58 = 0 05.b) (1,3 pt) Determine uma equação da reta 𝑠, na forma simétrica, que passa pelo ponto 𝐵 e é paralela à reta 𝑟: {𝑥 = 3𝑦 − 5 𝑧 = −4𝑦 + 1 . Solução: Para 𝑑𝑔𝑡 = 0 𝑠: {𝐴 ∈ 𝑟 𝑠 //𝑠 ⇒ 𝑟: {𝐴 = 𝐵(5, 2, 3) 𝑠 = 𝛼 𝑟 𝑟 = (3, 1, −4) Para 𝛼 = 1, então 𝑠 = 𝑟 = (3, 1, −4), assim: 𝑟: 𝑥 − 5 3 = 𝑦 − 2 1 = 𝑧 − 3 −4 Para 𝑑𝑔𝑡 = 1 𝑟: 𝑥 − 5 3 = 𝑦 − 2 1 = 𝑧 − 4 −4 Para 𝑑𝑔𝑡 = 2 𝑟: 𝑥 − 5 3 = 𝑦 − 2 1 = 𝑧 − 5 −4 Para 𝑑𝑔𝑡 = 3 𝑟: 𝑥 − 5 3 = 𝑦 − 2 1 = 𝑧 − 6 −4 Para 𝑑𝑔𝑡 = 4 𝑟: 𝑥 − 5 3 = 𝑦 − 2 1 = 𝑧 − 7 −4 Para 𝑑𝑔𝑡 = 5 𝑟: 𝑥 − 5 3 = 𝑦 − 2 1 = 𝑧 − 8 −4 Para 𝑑𝑔𝑡 = 6 𝑟: 𝑥 − 5 3 = 𝑦 − 2 1 = 𝑧 − 9 −4 Para 𝑑𝑔𝑡 = 7 𝑟: 𝑥 − 5 3 = 𝑦 − 2 1 = 𝑧 − 10 −4 Para 𝑑𝑔𝑡 = 8 𝑟: 𝑥 − 5 3 = 𝑦 − 2 1 = 𝑧 − 11 −4 Para 𝑑𝑔𝑡 = 9 𝑟: 𝑥 − 5 3 = 𝑦 − 2 1 = 𝑧 − 12 −4 05.c) (1,4 pt) Calcule a área do paralelogramo de vértices 𝐴𝐶𝐻𝐽. Solução: Para 𝑑𝑔𝑡 = 0 Á𝑟𝑒𝑎 = ‖𝐽𝐻 ⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐽𝐴 ⃗⃗⃗⃗ ‖ 𝐽𝐻 ⃗⃗⃗⃗ = 1 2 𝐽𝐹 ⃗⃗⃗⃗ , 𝐽𝐴 ⃗⃗⃗⃗ = 𝐼𝐵 ⃗⃗⃗⃗ 𝐽𝐻 ⃗⃗⃗⃗ = 1 2 𝐽𝐹 ⃗⃗⃗⃗ = 1 2 (−4, 8, −8) 𝐽𝐻 ⃗⃗⃗⃗ = (−2, 4, −4) 𝐼 = 𝐽 + 1 4 𝐽𝐹 ⃗⃗⃗⃗ = (3, −1, 2) + 1 4 (−4, 8, −8) 𝐼(2, 1, 0) 𝐽𝐴 ⃗⃗⃗⃗ = 𝐼𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = 𝐵 − 𝐼 = (3, 1, 3) 𝐽𝐻 ⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐽𝐴 ⃗⃗⃗⃗ = | 𝑖 𝑗 𝑘⃗ −2 4 −4 3 1 3 | = (12 + 4, −12 + 6, −2 − 12) 𝐽𝐻 ⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐽𝐴 ⃗⃗⃗⃗ = (16, 6, −14) ‖𝐽𝐻 ⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐽𝐴 ⃗⃗⃗⃗ ‖ = √(16)2 + (−6)2 + (−14)2 Á𝑟𝑒𝑎 = √488 𝑢. 𝑎. Para 𝑑𝑔𝑡 = 1 Á𝑟𝑒𝑎 = √612 𝑢. 𝑎. Para 𝑑𝑔𝑡 = 2 Á𝑟𝑒𝑎 = √776 𝑢. 𝑎. Para 𝑑𝑔𝑡 = 3 Á𝑟𝑒𝑎 = √980 𝑢. 𝑎. Para 𝑑𝑔𝑡 = 4 Á𝑟𝑒𝑎 = √1224 𝑢. 𝑎. Para 𝑑𝑔𝑡 = 5 Á𝑟𝑒𝑎 = √1508 𝑢. 𝑎. Para 𝑑𝑔𝑡 = 6 Á𝑟𝑒𝑎 = √1832 𝑢. 𝑎. Para 𝑑𝑔𝑡 = 7 Á𝑟𝑒𝑎 = √2196 𝑢. 𝑎. Para 𝑑𝑔𝑡 = 8 Á𝑟𝑒𝑎 = √2600 𝑢. 𝑎. Para 𝑑𝑔𝑡 = 9 Á𝑟𝑒𝑎 = √3044 𝑢. 𝑎. 01) (0,9 pt) Sejam 𝑢⃗ = (𝑚 + 2, 2𝑛 − 1 , 6), 𝑣 = 5𝑖 − 𝑗 + 2𝑘⃗ e 𝑤⃗⃗ = (𝑘, 𝑘 + 1 , 1). a) Determine o valor de 𝑚 e 𝑛 para que 𝑢⃗ e 𝑣 sejam paralelos. 𝑚 + 2 5 = 2𝑛 − 1 −1 = 6 2 𝑚 + 2 5 = 6 2 𝑚 = 13 2𝑛 − 1 −1 = 6 2 𝑛 = −1 b) Determine o valor de 𝑘 para que 𝑣 e 𝑤⃗⃗ sejam ortogonais. 𝑣 ∙ 𝑤⃗⃗ = 0 (5, −1, 2) ∙ (𝑘, 𝑘 + 1, 1) = 0 5𝑘 − 𝑘 − 1 + 2 = 0 𝑘 = − 1 4 02) (0,9 pt) Para que valores de 𝑘 para os pontos 𝐴(𝑘, 2, 1), 𝐵(1, 3, 2𝑘), 𝐶(0, 1, 0) e 𝐷(2, 2, 2) são coplanares. [𝐶𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐶𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ ] = 0 | 𝑘 1 1 1 2 2𝑘 2 1 2 | = 0 4𝑘 + 4𝑘 + 1 − 4 − 2𝑘2 − 2 = 0 2𝑘2 − 8𝑘 + 5 = 0 𝑘 = 4 ± √6 2 03) (0,8 pt) Determine as equações reduzidas da reta que é perpendicular ao plano 𝜋: − 𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 0 e que passa pelo ponto 𝐷(0, 2, 1). 𝑟: {𝐴 𝑟 𝑟 = 𝑛⃗ = (1, −1, 3) 𝐴 = 𝐷(0, 2, 1) 𝑟: 𝑥 − 0 1 = 𝑦 − 2 −1 = 𝑧 − 1 3 𝑟: {𝑦 = −𝑥 + 2 𝑧 = 3𝑥 + 1 04) (0,9 pt) Determinar uma equação geral do plano 𝜋, que contêm a reta 𝑟: 𝑋 = (1,1,1) + 𝜆(3,0,2) e o ponto 𝐵(2, 0, −1). 𝜋: {𝐴 𝑛⃗ 𝐴 = 𝐵(2, 0, −1) 𝑛⃗ = 𝛼(𝑢⃗ ∧ 𝑣 ) 𝑢⃗ = 𝑟 = (3, 0, 2) 𝑣 = 𝑃𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (2, 0, −1) − (1,1,1) 𝑣 = (1, −1, −2) 𝑢⃗ ∧ 𝑣 = | 𝑖 𝑗 𝑘⃗ 3 0 2 1 −1 −2 | = (2, 8, −3) 𝑛⃗ = (2, 8, −3) 𝑑 = −(1(2) + 1(8) + (−3)) 𝑑 = −7 𝜋: 2𝑥 + 8𝑦 − 3𝑧 − 7 = 0 05) (0,9 pt) Seja o conjunto 𝐸 = {𝑣1 = (1, 1, −1), 𝑣2 = (0, 1, −2), 𝑣3 = (−2, 1, −5)}. Escrever o vetor 𝑢 = (2,1,3) como combinação linear dos vetores do conjunto 𝐸. 𝑢 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 + 𝑎3𝑣3 (2,1,3) = 𝑎1(1, 1, −1) + 𝑎2(0, 1, −2) + 𝑎3(−2, 1, −5) [ 1 0 −2 1 1 1 −1 −2 −5 ⋮ 2 1 3 ] ⇒ [ 1 0 −2 0 1 3 0 −2 −7 ⋮ 2 −1 5 ] ⇒ [ 1 0 −2 0 1 3 0 0 −1 ⋮ 2 −1 3 ] 𝑎3 = −3, 𝑎2 = 8, 𝑎1 = −4 𝑢 = −4𝑣1 + 8𝑣2 − 3𝑣3 06) (0,9 pt) Sejam 𝑢⃗ = (−1, 3, 2), 𝑣 = 2𝑖 + 5𝑘⃗ , 𝑤⃗⃗ = (0, 2, 0). Determine a equação da reta 𝑟, na forma paramétrica, que tem a mesma direção de (𝑢⃗ ∙ 𝑣 )𝑤⃗⃗ − 2𝑣 e passa pelo ponto 𝐴(1, 1, 1). 𝑟 = (𝑢⃗ ∙ 𝑣 )𝑤⃗⃗ − 2𝑣 𝑟 = ((−1, 3, 2) ∙ (2,0,5))(0, 2, 0) − 2(2,0,5) 𝑟 = (−4, 16, −10) Ou 𝑟 = (2, −8, 5) 𝑟: { 𝑥 = 1 + 2𝜆 𝑦 = 1 − 8𝜆 𝑧 = 1 + 5𝜆 07) (0,9 pt) Seja o Espaço Vetorial 𝑉 = ℝ4. Determinar o Subespaço Vetorial 𝑆 gerado pelo conjunto 𝐴 = {𝑣1 = (1, 1, 0, −1), 𝑣2 = (0, 1, 3, 2), 𝑣3 = (2, 1, −3, −4)}. 𝑆 = 𝐺(𝐴) = {𝑣 ∈ ℝ4; 𝑣 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 + 𝑎3𝑣3} 𝑣 ∈ ℝ4 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) 𝑣 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 + 𝑎3𝑣3 (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) = 𝑎1(1, 1, 0, −1) + 𝑎2(0, 1, 3, 2) + 𝑎3(2, 1, −3, −4) [ 1 0 2 1 1 1 𝑎 𝑏 0 3 −3 −1 2 −4 𝑐 𝑑 ] ⇒ [ 1 0 2 0 1 −1 𝑎 −𝑎 + 𝑏 0 3 −3 0 2 −2 𝑐 𝑎 + 𝑑 ] ⇒ [ 1 0 2 0 1 −1 𝑎 −𝑎 + 𝑏 0 0 0 0 0 0 3𝑎 − 3𝑏 + 𝑐 3𝑎 − 2𝑏 + 𝑑 ] {3𝑎 − 3𝑏 + 𝑐 = 0 3𝑎 − 2𝑏 + 𝑑 = 0 ⇒ {3𝑎 − 3𝑏 + 𝑐 = 0 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 = 0 𝑐 e 𝑑 são variáveis livres 𝑏 = 𝑐 − 𝑑 𝑒 𝑎 = 2𝑐 − 3𝑑 3 𝑆 = 𝐺(𝐴) = {(2𝑐 − 3𝑑 3 , 𝑐 − 𝑑, 𝑐, 𝑑) ; 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ} 08) (0,9 pt) Seja a Transformação Linear 𝑇: ℝ3 → 𝑃3, onde 𝑇(0, 0, 1) = 𝑡2 + 2, 𝑇(𝑑𝑔𝑡 + 1, −1, 2) = −𝑡2 + 3𝑡 e 𝑇(−1, 0, 0) = −𝑡 + 4. Determine 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑣 ∈ ℝ3 ⇒ 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑣 = 𝑎𝑣1 + 𝑏𝑣2 + 𝑐𝑣3 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎(0, 0, 1) + 𝑏(𝑑𝑔𝑡 + 1, −1, 2) + 𝑐(−1, 0, 0) [ 0 𝑑𝑔𝑡 + 1 −1 0 −1 0 1 2 0 ⋮ 𝑥 𝑦 𝑧 ] Para 𝑑𝑔𝑡 = 3 { 4𝑏 − 𝑐 = 𝑥 −𝑏 = 𝑦 𝑎 + 2𝑏 = 𝑧 𝑏 = −𝑦, 𝑎 = 2𝑦 + 𝑧, 𝑐 = −𝑥 − 4𝑦 𝑇(𝑣) = 𝑎𝑇(𝑣1) + 𝑏𝑇(𝑣2) + 𝑐𝑇(𝑣3) 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎𝑇(0, 0, 1) + 𝑏𝑇(4, −1, 2) + 𝑐𝑇(−1, 0, 0) 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑦 + 𝑧)(𝑡2 + 2) + (−𝑦)(−𝑡2 + 3𝑡) + (−𝑥 − 4𝑦)(−𝑡 + 4) 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3𝑦 + 𝑧)𝑡2 + (𝑥 + 𝑦)𝑡 + (−4𝑥 − 12𝑦 + 2𝑧) Para 𝑑𝑔𝑡 = 5 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3𝑦 + 𝑧)𝑡2 + (𝑥 + 3𝑦)𝑡 + (−4𝑥 − 20𝑦 + 2𝑧) Para 𝑑𝑔𝑡 = 8 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3𝑦 + 𝑧)𝑡2 + (𝑥 + 6𝑦)𝑡 + (−4𝑥 − 32𝑦 + 2𝑧) Para 𝑑𝑔𝑡 = 9 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3𝑦 + 𝑧)𝑡2 + (𝑥 + 7𝑦)𝑡 + (−4𝑥 − 36𝑦 + 2𝑧) 09) (0,9 pt) Seja a matriz 𝐴 = [3 𝑑𝑔𝑡 + 1 0 2 ], calcule: a) uma matriz inversível 𝑃, se existir, que diagonaliza a matriz 𝐴. b) P-1AP. 𝐴 − 𝜆𝐼 = [3 − 𝜆 𝑑𝑔𝑡 + 1 0 2 − 𝜆 ] Autovalores: 𝑑𝑒𝑡 (𝐴 − 𝜆𝐼) = 0 (3 − 𝜆)(2 − 𝜆) = 0 𝜆1 = 2 𝑒 𝜆2 = 3 Para 𝑑𝑔𝑡 = 6 Autovetores: (𝐴 − 𝜆𝐼)𝑣 = 0 Para 𝜆 = 𝜆1 = 2 {𝑥 + 7𝑦 = 0 0 = 0 𝑣1 = (−7, 1) Para 𝜆 = 𝜆2 = 3 {7𝑦 = 0 −𝑦 = 0 𝑣2 = (1, 0) 𝑃 = [−7 1 1 0] Para 𝑑𝑔𝑡 = 9 𝑃 = [−10 1 1 0] 𝑃−1𝐴𝑃 = [2 0 0 3]