Exercícios Resolvidos - Séries de Taylor, Maclaurin e Equações Diferenciais

PERGUNTA 2 167 pontos Tendo em vista que lnx1 x x²2 x³3 x⁴4 Σ 1n1 xn n julgue se as afirmativas a seguir são verdadeiras V ou falsas F I A expressão em série numérica de ln 2 1 12 13 14 II A série de Taylor da função fx lnx1 para a 0 está definida para todo x real III O desenvolvimento em série da derivada de primeira ordem da função fx lnx1 é dado por fx Σ 1n xn1 Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta a V F F b F F V c F V F d V F V e F V V PERGUNTA 4 167 pontos Um dos métodos para resolver equações diferenciais ordinárias envolve a separação de variáveis de modo que as funções com diferentes variáveis sejam colocadas em lados diferentes da equação Dada a equação diferencial y x ex y assinale a alternativa que apresenta corretamente a solução geral dessa equação a y x² ex² 4 C b y x² ex C12 2 c y x² 2ex2 16 C d y x ex C 4 e y x² 2ex C² 16 PERGUNTA 6 167 pontos Para valores muito pequenos de x é possível aproximar os valores de senx dos valores de x Esse caso e o comportamento como um todo da função senxx são importantes em diversos casos práticos que podem ser modelados por funções senoidais Dada a função fx senxx assinale a alternativa que apresenta corretamente sua série de Maclaurin a Σ x2n12n1 para x 0 b Σ 1n xnn para x 0 c Σ 1n x2n2n para x 0 d Σ 1n xn 2n1 para x 0 e Σ x2nn para x 0 PREGUNTA 4 A compreensão do comportamento das séries cujos termos gerais são expressões funcionais é muito importante na análise dessas funções Nesse caso o critério da razão é de grande importância prática em que a partir de uma sequência numérica com a𝑛0𝑛1 e lim 𝑎𝑛1𝐿 se 0𝐿1 então 𝑛1 𝑎𝑛 é convergente Seja a série 𝑛1 2𝑛 𝑥𝑛 Verifique se ela é absolutamente convergente condicionalmente convergente ou divergente e calcule L a Absolutamente convergente L1 b Condicionalmente convergente L2 c Condicionalmente convergente L1 d Divergente L e Absolutamente convergente L0 PREGUNTA 5 Dada a série de potências 𝑛1 2𝑛𝑥3𝑛𝑛 assinale a alternativa que apresenta corretamente o raio r de convergência da série a 𝑟4 b 𝑟2 c 𝑟 d 𝑟12 e 𝑟6 PREGUNTA 6 A representação de uma função em uma série de potências permite que operações de integração ou derivação sejam realizadas diretamente sobre as parcelas do somatório Clique em Salvar e Enviar para salvar e enviar Clique em Salvar todas as respostas para salvar todas as respostas Salvar todas as respostas Salvar e Enviar PREGUNTA 6 A representação de uma função em uma série de potências permite que operações de integração ou derivação sejam realizadas diretamente sobre as parcelas do somatório Seja a série de potências para cos𝑥𝑛01𝑛 2𝑛 2𝑛 Assinale a alternativa que corresponde à série de potências de sen𝑥𝑥 a𝑛01𝑛 𝑥2𝑛12𝑛 b𝑛01𝑛 𝑥2𝑛12𝑛1 c𝑛0 𝑥𝑛𝑛 d𝑛01𝑛 𝑥𝑛12𝑛 e𝑛01𝑛 𝑥𝑛12𝑛1 Clique em Salvar e Enviar para salvar e enviar Clique em Salvar todas as respostas para salvar todas as respostas Salvar todas as respostas Salvar e Enviar PREGUNTA 6 O intervalo de convergência de uma série é formado pelos valores de 𝑥 o que faz com que a série seja convergente Dada a série de potência 𝑛0 1𝑛1 12𝑛 3𝑥2𝑛 assinale a alternativa que apresenta corretamente a soma dos termos da série e seu intervalo de convergência a𝑛1 1𝑛1 2𝑛 33𝑥21 𝑥1 b𝑛1 1𝑛1 2𝑛 33𝑥232𝑥32 c𝑛1 1𝑛1 2𝑛 33𝑥21 𝑥1 d𝑛1 1𝑛1 2𝑛 1𝑥232𝑥32 e𝑛1 1𝑛1 2𝑛 33𝑥223𝑥32 Clique em Salvar e Enviar para salvar e enviar Clique em Salvar todas as respostas para salvar todas as respostas Salvar todas as respostas Salvar e Enviar PREGUNTA 2 Dada a série de potência sn n1 xn sendo n um número natural avalie as afirmativas a seguir I A série descreve uma série geométrica cujo primeiro termo é x³ e a razão qx³ II A série é convergente para 1 x 1 III n1x21x2 a I apenas b II apenas c I e II apenas d I apenas e I e II apenas PREGUNTA 3 167 pontos Salvar resposta Clique em Salvar e Enviar para salvar e enviar Clique em Salvar todas as respostas para salvar todas as respostas Salvar todas as respostas Salvar e Enviar 21ºC Pred nublado 1922 POR PTBR 08032023 Conteúdo Semana 4 Semana 5 Documentos e Informações Gerais Gabaritos Referências da Disciplina Repositório de REAs Facilitadores da disciplina Brinquedoteca Estado de Conclusão da Pergunta PREGUNTA 1 165 pontos Salvar Uma série de potências é aquela resultante de um somatório de infinitas parcelas cuja expressão geral é n0cn xan Podese também buscar associar a uma função uma série geométrica que ao mesmo tempo seja uma série de potências Analise a seguinte função fx 2x3x² Assinale a alternativa que corresponde à série de potências de fx e ao seu raio de convergência a n02xn13n1 e R3 b n0xn3n e R13 c n0x2n3n e R3 d n02xn3n2 e R3 e n0xn3n e R32 Clique em Salvar e Enviar para salvar e enviar Clique em Salvar todas as respostas para salvar todas as respostas Salvar todas as respostas Salvar e Enviar 21ºC Pred nublado 1922 POR PTBR 08032023 PREGUNTA 4 167 pontos Salvar resposta Em diversas situações reais é possível modelar matematicamente um problema por meio de uma série numérica dentre as quais se enquadra a série geométrica a qual é baseada em uma progressão geométrica Considere a seguinte função fx que é expressa por meio de uma série geométrica fx n01x1n Assinale a alternativa que corresponde a fx e ao seu domínio de convergência a fx x 2x 3 e D xR x 3 b fx x 1x 2 e D xR x 2 c fx x 3x 2 e D xR x 2 d fx xx 1 e D xR x 1 ou x 1 e fx x 1x 2 e D xR x 0 ou x 2 Clique em Salvar e Enviar para salvar e enviar Clique em Salvar todas as respostas para salvar todas as respostas Salvar todas as respostas Salvar e Enviar Estado de Conclusão da Pergunta b II apenas c I e II apenas d I apenas e I e II apenas PREGUNTA 3 167 pontos Salvar resposta Um dos estudos de maior importância prática das séries envolve a compreensão do comportamento das séries cujos termos gerais são expressões funcionais polinomiais as denominadas séries de potência Seja a série n0x4n assinale a alternativa que indica o intervalo de convergência a I xR 1 x 1 b I xR 5 x 3 c I xR x 4 d I xR x 4 e I xR 4 x 4 21ºC Pred nublado 1923 POR PTBR 08032023