Capacitância entre Condutores: Análise Teórica e Casos Práticos

Capacitação Suponha dois condutores M1 e M2 imersos em um meio dielétrico homogêneo linear e isotrópico ε M1 M2 Condutor M1 total de carga negativa Q C com cargas distribuídas superficialmente ρs Condutor M2 total de carga positiva Q C com cargas distribuídas superficialmente ρs A superfície de cada condutor é uma superfície equipotencial Podemos definir capacitância C entre os dois condutores como a razão entre a carga Q positiva e a diferença de potencial entre os condutores V₀ C QV₀ F Dimensionalmente F CV Podemos expressar a capacitância em função do campo elétrico Caso 1 Capacitância entre de placas paralelas Considerase dois planos infinitos e paralelos entre si o primeiro em z0 carregado com ρs e o segundo em zd carregado com ρs Entre os planos a permissividade dielétrica é ε Vo E d l Vo 0zd ρsε âz dzâz Vo ρsε 0zd dz ρsε d A carga total positiva é a carga da superfície plana em z0 sendo S a área da superfície plana Da definição da capacitância A energia armazenada nesse capacitor WE 12 vol ε E ² dv WE 12 ε ρsε² dv WE ε2 ρsε² d S 12 ε ρs dε² Sd WE 12 ε ρs dε² Sd 12 C Vo² Caso 2 Capacitância entre condutores coaxiais Considere dois condutores coaxiais de raios a e b a b e comprimento L isolados por um dielétrico com permissividade dielétrica ε Na região entre os dois condutores a b L ε A diferença de potencial entre os condutores A carga total na superfície do condutor interno Da definição da capacitância No caso de cabos coaxiais é comum expressar a capacitância por unidade de comprimento de cabo Caso 3 Capacitância entre condutores esféricos Considere dois condutores esféricos e concêntricos de raios a e b a b sendo o condutor de raio b uma casca esférica Os condutores encontramse isolados por um dielétrico com permissividade dielétrica ε Na região entre os dois condutores a b Condutores esféricos concêntricos vista em corte ε A diferença de potencial entre os condutores A carga total na superfície do condutor interno Da definição da capacitância Capacitância com mais de um dielétrico Suponha um arranjo onde existam duas placas planas paralelas entre si separadas por dois diferentes dielétricos como mostrado abaixo d d1 d2 S ε2 ε1 A diferença de potencial entre as placas condutoras d d1 d2 S ε2 ε1 Da continuidade da componente normal da densidade de fluxo elétrico Isolando E1 A densidade superficial de cargas é numericamente igual a componente normal da densidade de fluxo Substituindo E1 A capacitância será C fracQVo fracrho SVo C fracVod1 d2 fracSepsilon1 epsilon2 C fracSepsilon1 epsilon2 frac1frac1C1 frac1C2 Finalmente O que mostra que a montagem dos dielétricos como vista representa uma associação série de dois capacitores C1 e C2 Observe o novo arranjo Novamente temos duas placas planas paralelas entre si separadas por dois diferentes dielétricos arranjados como mostrado abaixo d ε2 S2 ε1 S1 Claramente Exercício 1 Um cabo coaxial apresenta um condutor interno com diâmetro 2654 mm e um condutor externo com diâmetro igual 173 cm Entre os condutores temos um dielétrico de polietileno εr 226 O cabo tem um comprimento de 304 cm Determine sua capacitância Solução Dos dados informados phii 2657 imes 103 m phie 173 imes 102 m epsilonr 226 C frac2 pi epsilon Lln fracba frac2 pi 226 epsilon0 0304frac865 imes 103ln 1328 imes 103 2038 imes 1012 F Exercício 2 Uma esfera condutora de raio 25 mm é recoberta por uma camada de 2 mm de polietileno εr 226 O conjunto é envolvido por uma casca esférica condutora Determine sua capacitância Solução Dos dados informados a 25 imes 103 m epsilonr 226 espessura 20 imes 102 m b 45 imes 103 m C frac4 pi epsilonfrac1a frac1b frac4 pi 226 epsilon0frac125 imes 103 frac145 imes 103 141 imes 1012 F Exercício 3 Duas placas planas condutoras paralelas entre si e retangulares S10 cm x 40 cm apresenta três camadas com diferentes dielétricos de mesma área S e espessuras d01 mm cada Se as permissividades relativas são 15 25 e 6 respectivamente determine a capacitância do conjunto d S ε2 ε1 d d ε3 Solução 1C 1010³ 88510¹² 4010⁴ 115 125 160 Exercício 4 Calcule as capacitâncias das configurações que seguem 41 Capacitor tipo coaxial com a 20 mm b 40 mm εr1 40 e εr2 60 e L1 m Solução Temos aqui dois capacitores coaxiais parcialmente completos Os capacitores C1 e C2 estão associados em paralelo Assim 42 Capacitor tipo coaxial com a 20 mm b 50 mm εr1 40 mm e εr2 60 e L1 m Solução Temos aqui dois capacitores coaxiais Os capacitores C1 e C2 estão associados em série Assim Exercícios Capítulo 6 Livro texto oitava edição 62 67