Meios Dielétricos: Tipos, Propriedades e Condições de Fronteira

Meios dielétricos São materiais e meios que quando submetidos à um campo elétrico externo em sua estrutura molecular permite o aparecimento de dipolos Tipos de dielétricos Dielétricos Polares Dipolos já existem naturalmente no material O arranjo aleatório dos dipolos faz com que o campo resultante da soma de cada um deles seja nulo Dielétricos Não Polares Dipolos se formam assim que o campo externo é aplicado O campo externo 𝐸 exerce uma força sobre cada dipolo alinhandoos na direção do campo 𝐸 Dentro do material ocorrerá um adensamento das linhas de campo 𝐷𝑎𝑟 𝜀0𝐸 𝐷 𝜀0𝐸 𝑃 Sem o dielétrico com o dielétrico 𝑃 É o vetor polarização que responde pela parcela de aumento da densidade do fluxo devido aos dipolos do dielétrico Para materiais ou meios isotrópicos homogêneos e lineares 𝑃 𝜒𝑒𝜀0𝐸 Sendo 𝜒𝑒 a susceptibilidade elétrica do material ou meio dielétrico Assim 𝐷 𝜀0𝐸 𝑃 𝜀0𝐸 𝜒𝑒𝜀0𝐸 𝐷 1 𝜒𝑒 𝜀0𝐸 Como foi visto no curso de Física em um material dielétrico Então Sendo 𝜀𝑟 a permissividade dielétrica relativa 𝐷 𝜀𝑟𝜀0𝐸 1 𝜒𝑒 𝜀0𝐸 𝐷 𝜀𝐸 𝜀𝑟𝜀0𝐸 E concluímos que 𝜀𝑟 1 𝜒𝑒 Meios Dielétricos Condições de Fronteira Meio 2 Meio 1 Fronteira entre dois meios dielétricos 𝜀𝑟2 𝜀𝑟1 Meio 2 Meio 1 𝜀𝑟2 𝜀𝑟1 campo eletrostático 𝐸1 Meio 1 𝜀𝑟1 𝐸1 Meio 2 𝑎𝑛 𝜀𝑟2 Meio 2 𝐸1 𝐸𝑛1 𝐸𝑡𝑔1 𝜀𝑟2 Meio 1 𝜀𝑟1 Meio 2 1 Circuitação do campo elétrico no caminho fechado Lei de Kirchoffׯ 𝐸 Ԧ𝑑𝑙0 A B C D Δw Δh Meio 1 Meio 2 ර 𝐸 Ԧ𝑑𝑙 න 𝐴 𝐵 𝐸 Ԧ𝑑𝑙 න 𝐵 𝐶 𝐸 Ԧ𝑑𝑙 න 𝐶 𝐷 𝐸 Ԧ𝑑𝑙 න 𝐷 𝐴 𝐸 Ԧ𝑑𝑙 0 A B C D Δw Δh ර 𝐸 Ԧ𝑑𝑙 𝐸𝑡𝑔1 Δ𝑤 න 𝐵 𝐶 𝐸 Ԧ𝑑𝑙 න 𝐶 𝐷 𝐸 Ԧ𝑑𝑙 න 𝐷 𝐴 𝐸 Ԧ𝑑𝑙 0 𝐸𝑡𝑔1 Meio 2 A B C D Δw Δh ර 𝐸 Ԧ𝑑𝑙 𝐸𝑡𝑔1 Δ𝑤 𝐸𝑛1 Δℎ 2 𝐸𝑛2 Δℎ 2 න 𝐶 𝐷 𝐸 Ԧ𝑑𝑙 න 𝐷 𝐴 𝐸 Ԧ𝑑𝑙 0 Meio 2 A B C D Δw Δh2 Δh2 𝐸𝑛1 𝐸𝑛2 ර 𝐸 Ԧ𝑑𝑙 𝐸𝑡𝑔1 Δ𝑤 𝐸𝑛1 Δℎ 2 𝐸𝑛2 Δℎ 2 න 𝐶 𝐷 𝐸 Ԧ𝑑𝑙 න 𝐷 𝐴 𝐸 Ԧ𝑑𝑙 0 Meio 2 A B C D Δw Δh2 Δh2 𝐸𝑛1 𝐸𝑛2 ර 𝐸 Ԧ𝑑𝑙 𝐸𝑡𝑔1 Δ𝑤 𝐸𝑛1 Δℎ 2 𝐸𝑛2 Δℎ 2 𝐸𝑡𝑔2 Δ𝑤 𝐷 𝐴 𝐸 Ԧ𝑑𝑙0 Meio 2 A B C D Δw Δh2 Δh2 𝐸𝑡𝑔2 ර 𝐸 Ԧ𝑑𝑙 𝐸𝑡𝑔1 Δ𝑤 𝐸𝑛1 Δℎ 2 𝐸𝑛2 Δℎ 2 𝐸𝑡𝑔2 Δ𝑤 𝐸𝑛2 Δℎ 2 𝐸𝑛1 Δℎ 2 0 Meio condutor A B C D Δw Δh2 Δh2 𝐸𝑛1 𝐸𝑛2 ׯ 𝐸 Ԧ𝑑𝑙 𝐸𝑡𝑔1 Δ𝑤 𝐸𝑡𝑔2 Δ𝑤 0 Meio 2 A B C D Δw Δh2 Δh2 𝐸𝑡𝑔1 𝐸𝑡𝑔2 Δ𝑤 0 Logo Meio 2 𝐸𝑡𝑔2 𝐸𝑡𝑔1 A componente tangencial do campo elétrico é contínua na fronteira dos meios Meio 1 ර 𝐷 Ԧ𝑑𝑆 𝑄 Meio 2 2 Aplicando a Lei de Gauss ර 𝐷 Ԧ𝑑𝑆 න 𝑡𝑜𝑝𝑜 𝐷 Ԧ𝑑𝑆 න 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐷 Ԧ𝑑𝑆 න 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝐷 Ԧ𝑑𝑆 𝑄 ΔS Δh Meio 1 ׯ 𝐷 Ԧ𝑑𝑆 𝐷𝑛1 𝑆 𝐷𝑛2 𝑆 𝐷𝑡𝑔 ℎ 𝑄 Meio 2 ΔS Δh 𝐷𝑛1 𝐷𝑡𝑔1 𝐷𝑛2 𝐷𝑡𝑔2 0 Δℎ muito pequeno Meio 1 𝐷𝑛1 𝑆 𝐷𝑛2 𝑆 𝑄 Meio 2 ΔS Δh 𝐷𝑛1 𝐷𝑡𝑔1 𝐷𝑛2 𝐷𝑡𝑔2 𝐷𝑛1 𝐷𝑛2 𝑆 𝑄 𝐷𝑛1 𝐷𝑛2 𝑄 𝑆 Meio 1 Meio 2 ΔS Δh 𝐷𝑛1 𝐷𝑡𝑔1 𝐷𝑛2 𝐷𝑡𝑔2 𝐷𝑛1 𝐷𝑛2 𝑄 𝑆 𝜌𝑠 𝐷𝑛1 𝐷𝑛2 𝜌𝑠 Meio 1 𝐷𝑛1 𝐷𝑛2 0 Em bons dielétricos não temos cargas livres logo se não houverem cargas na interface 𝜌𝑠 0 Assim 𝐷𝑛2 𝐷𝑛1 A componente normal da densidade do fluxo elétrico é contínua na fronteira entre os meios Na fronteira dielétricodielétrico 𝐷𝑛1 𝜀1𝐸𝑛1 𝜀1𝐸𝑛1 𝜀2𝐸𝑛2 Como 𝐷𝑛1 𝐷𝑛2 𝐷𝑛2 𝜀2𝐸𝑛2 Assim 𝐸𝑛1 𝜀2 𝜀1 𝐸𝑛2 e A componente normal do campo elétrico é descontínua na fronteira entre os meios ou 𝐸𝑛2 𝜀1 𝜀2 𝐸𝑛1 Na fronteira dielétricodielétrico 𝐷𝑡𝑔1 𝜀1𝐸𝑡𝑔1 𝐷𝑡𝑔1 𝜀1 𝐷𝑡𝑔2 𝜀2 Como 𝐸𝑡𝑔1 𝐸𝑡𝑔2 𝐷𝑡𝑔2 𝜀2𝐸𝑡𝑔2 Assim 𝐷𝑡𝑔1 𝜀1 𝜀2 𝐷𝑡𝑔2 e A componente tangencial da densidade do fluxo é descontínua na fronteira entre os meios 𝐷𝑡𝑔2 𝜀2 𝜀1 𝐷𝑡𝑔1 ou Exemplo No semiespaço z 0 contém um material dielétrico onde εr 25 meio 1 enquanto em z 0 temos um outro material com εr 32 meio 2 Sabendo que 𝐸2 30𝑎𝑥 50𝑎𝑦 70 𝑎𝑧 Vm Admitindo a inexistência de cargas na interface entre os dois dielétricos determine a 𝐸n1 b 𝐸tg1 c 𝐸tg1 d 𝐸1 Fazendo um esboço do problema x y z εr1 25 εr2 32 meio 2 meio 1 𝐸2 z 0 z 0 A normal na fronteira no meio 2 𝑎𝑛 𝑎𝑧 𝐸𝑛2 𝐸2 𝑎𝑧 30𝑎𝑥 50𝑎𝑦 70 𝑎𝑧 𝑎𝑧 70 𝐸𝑛2 70 𝑎𝑧 𝐷𝑛2 𝜀𝑟2𝜀0𝐸𝑛2 32𝜀070 𝑎𝑧 224𝜀0 𝑎𝑧 Como 𝐷𝑛1 𝐷𝑛2 𝐷𝑛1 224𝜀0 𝑎𝑧 𝐸𝑛1 𝐷𝑛1 𝜀𝑟1𝜀0 224𝜀0 25𝜀0 𝑎𝑧 896 𝑎𝑧 a 𝐸𝑡𝑔1 𝐸𝑡𝑔2 𝐸𝑡𝑔1 30𝑎𝑥 50𝑎𝑦 𝐸𝑡𝑔2 𝐸2 𝐸𝑛2 30𝑎𝑥 50𝑎𝑦 70𝑎𝑧 70𝑎𝑧 𝐸2 𝐸𝑛2 𝐸𝑡𝑔2 𝐸𝑛1 896 Vm b 𝐸𝑡𝑔2 30𝑎𝑥 50𝑎𝑦 Como 𝐸𝑡𝑔1 302 502 c 𝐸𝑡𝑔1 583 Vm d 𝐸1 𝐸𝑛1 𝐸𝑡𝑔1 𝐸1 896 𝑎𝑧 30𝑎𝑥 50𝑎𝑦 𝐸1 30𝑎𝑥 50𝑎𝑦 896 𝑎𝑧 𝐸1 302502 8962 𝐸1 1069 Vm Exercício 1 Encontre a constante dielétrica de um material no qual a densidade de fluxo elétrico é quatro vezes maior que a polarização 𝐷 𝜀0𝐸 𝑃 𝜀0𝐸 𝐷 4 Foi dito que 𝐷 4𝑃 𝑃 𝐷 4 𝐷 𝐷 4 𝜀0𝐸 𝐷 4 3 𝜀0𝐸 Mas 𝐷 𝜀𝑟𝜀0𝐸 𝜀𝑟𝜀0𝐸 4 3 𝜀0𝐸 Mas 𝜀𝑟 4 3 𝜀𝑟 1333 Exercício 2 Na região 1 temos uma permissividade dielétrica relativa igual a 5 e na região 2 a permissividade dielétrica relativa igual a 1 ar A região 2 contém a origem e as regiões são separadas por uma interface plana 6𝑥 4𝑦 3𝑧 12 Sabendo que o campo elétrico no ar é dado por 𝐸2 3𝑎𝑥 05𝑎𝑦 Vm encontre a expressão para o campo elétrico na região 1 dielétrico Admitir a inexistência de cargas na interface entre os dois meios Fazendo um esboço do problema x y z εr15 εr2 1 meio 2 ar meio 1 dielétrico 𝐸2 6𝑥 4𝑦 3𝑧 12 Da equação do plano Quando y z 0 x2 x z 0 y3 x y 0 z4 C004 B030 A200 A normal ao plano que aponta para o meio 2 pode ser obtida de várias maneiras Uma delas é pelo produto vetorial de BA x CA x y z εr15 εr2 1 meio 1 dielétrico meio 2 ar 𝐸2 C004 B030 A200 𝑎𝑛1 BA 030200 230 CA 004200 204 BA x CA 230 x 204 1286 𝑎𝑛1 1286 1228262 077𝑎𝑥 051𝑎𝑦 038𝑎𝑧 𝑎𝑛2 𝑎𝑛1 077𝑎𝑥 051𝑎𝑦 038𝑎𝑧 A normal à superfície no meio 2 ar 𝐸𝑛2 𝐸2 𝑎𝑛2 3𝑎𝑥 05𝑎𝑦 0768𝑎𝑥 0512𝑎𝑦 0384𝑎𝑧 𝐸𝑛2 256 𝐸𝑛2 256 𝑎𝑛2 196𝑎𝑥 131𝑎𝑦 098𝑎𝑧 Podemos determinar a componente do campo normal à interface no ar E agora calculamos a componente do campo tangencial à interface no ar 𝐸2 𝐸𝑛2 𝐸𝑡𝑔2 𝐸𝑡𝑔2 𝐸2 𝐸𝑛2 𝐸𝑡𝑔2 3𝑎𝑥 05𝑎𝑦 196𝑎𝑥 131𝑎𝑦 098𝑎𝑧 𝐸𝑡𝑔2 103𝑎𝑥 081𝑎𝑦 098𝑎𝑧 De posse das duas componentes de campo no ar 𝐸𝑛2 196𝑎𝑥 131𝑎𝑦 098𝑎𝑧 Aplicamos as condições de fronteira Da continuidade da componente tangencial do campo elétrico na interface 𝐸𝑡𝑔1 𝐸𝑡𝑔2 𝐸𝑡𝑔2 103𝑎𝑥 081𝑎𝑦 098𝑎𝑧 𝐸𝑡𝑔1 103𝑎𝑥 081𝑎𝑦 098𝑎𝑧 𝐷𝑛2 𝜀𝑟2𝜀0𝐸𝑛2 1 𝜀0196𝑎𝑥 131𝑎𝑦 098𝑎𝑧 Da continuidade da componente normal da densidade de fluxo na interface 𝐷𝑛1 𝐷𝑛2 𝐷𝑛1 𝜀0196𝑎𝑥 131𝑎𝑦 098𝑎𝑧 Como 𝐷 𝜀𝐸 𝐸𝑛1 𝐷𝑛1 𝜀𝑟1𝜀0 𝐷𝑛1 5𝜀0 Mas 𝐸𝑛1 𝜀0196 𝑎𝑥131 𝑎𝑦098 𝑎𝑧 5𝜀0 0393𝑎𝑥 0263𝑎𝑦 0196𝑎𝑧 𝐸1 𝐸𝑛1 𝐸𝑡𝑔1 𝐸1 0393𝑎𝑥 0263𝑎𝑦 0196𝑎𝑧 103𝑎𝑥 081𝑎𝑦 098𝑎𝑧 𝐸1 1426𝑎𝑥 0549𝑎𝑦 0786 𝑎𝑧 Exercícios Capítulo 5 Livro texto oitava edição 531 534