Cálculo Aplicado: Funções de Várias Variáveis

120522 1935 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 137 CÁLCULO APLICADO VARIAS CÁLCULO APLICADO VARIAS VARIÁVEIS VARIÁVEIS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Autora Me Talita Druziani Marchiori Revisor Raimundo Almeida INICIAR 120522 1935 Eadbr Introduce Caro aluno nesta unidade entraremos em um mundo novo o mundo das varias variaveis Se refletirmos veremos que muitos elementos em nossa volta se descrevem através de fungdes de duas ou mais variaveis Desde exemplos simples como a area de nossa residéncia até exemplos mais complexos como a temperatura da atmosfera Logo o estudo sobre fungdes de varias variaveis é fundamental Iniciaremos esta unidade abordando o comportamento do dominio e imagem de uma funcdo de varias variaveis além disso aprenderemos como esbocar seus graficos Em seguida apresentaremos os conceitos do calculo diferencial de varias variaveis como a derivada direcional vetor gradiente e a regra da cadeia Esses conceitos serdo utilizados para fungdes de duas variaveis reais mas eles podem ser aplicados para varias variaveis Vocé percebera que a maioria dos conceitos expostos nesta unidade recordam os conceitos vistos no calculo ordinario podemos consideralos como uma extensdo deles Por fim resolva os httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 237 120522 1935 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 337 exemplos e exercícios propostos e pesquise exemplos em outras literaturas que enriquecerão sua aprendizagem 120522 1935 Eadbr lad V y C Py sz Py Cd CJ cf CJ td ti e Variaveis Esboco de ae i o y 4 a Cr a er ee ee er Até o momento estudamos apenas fungdes de uma Unica variavel Porém em nosso cotidiano dependemos de calculos com varias variaveis Consequentemente muitas situagdes na area da engenharia sao descritas por fungdes de varias variaveis como a resisténcia dos materiais a mecanica dos fluidos a mecanica quantica e etc httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 437 120522 1935 Eadbr Diante disso destacamos o estudo das funcdes reais de duas variaveis reais Porém todos os conceitos podem ser aplicados para fungdes de trés ou mais variaveis Uma fungdo f de duas variaveis reais uma relagdo que associa cada par ordenado xy de um conjunto A a um Unico valor real fxy ou seja f AC R R O conjunto A é denominado dominio de f j4 0 conjunto Imgf fxy xy EA denominado imagem de f Por exemplo considere a fungdo de duas varidaveis reais definida por f x y atu Para o par ordenado 21 temos 21 4 3 Note que f so nao esta definida nos pares ordenados xy tais que xy 0 OU Seja NOS pares xy com x y Portanto o dominio de f é 0 conjunto A xy R xy e a imagem de f é Imgf ae xy GA que pode ser reescrita como Imgf S4 xy com x y ER Uma forma de visualizar como uma funcdo de duas variaveis se comporta é esbocando seu grafico O grafico de uma funcdo f AC R R é dado pelo conjunto a seguir G f y Z ER z fxy xy A Como podemos observar pela definicgdo de G o grafico de f um subconjunto de R Exemplificando o grafico de fxy 6 3x 2y tem a equacdao 3x2yz6 que representa um plano conforme esbogo na Figura 21 httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 537 120522 1935 Eadbr 8 Zz 6 4 12 0 8 24 2 6 6 Lg 4 o 10 12 eo 9T 2 4 6 8 10 12 a9 AL 9 4 6 Figura 21 Grdfico da funcdo fxy 6 3x 2y Fonte Elaborada pela autora Para desenharmos o plano 3x 2y z 6 determinamos as intersegdes com os eixos Considere que y z0 entdo x 2 a partir disso obtemos 0 ponto 2 0 0 que é a interseccdo do plano com o eixo x Em seguida considere x z 0 encontramos a intersecgdo do plano com o eixo y no ponto 0 3 0 Do mesmo modo considerando x y 0 determinamos o ponto 0 0 6 que intersecciona o eixo ze 0 plano Na Figura 22 destacamos os pontos de intersecgao com os eixos e sombreamos o grafico de f no primeiro octante httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 637 120522 1935 Eadbr Z 6 4 10 8 6 10 8 A 6 4 2 2 0 0 2 L 4 6 be 8 6 10 9 y 2 4 Figura 22 Grdfico da funcdo fxy 6 3x 2y no primeiro octante Fonte Elaborada pela autora A representacgao geométrica em um grafico de uma funcdo de duas variaveis na maioria das vezes é trabalhosa Para isso temos o conceito de curvas de nivel que nos auxilia visualizar geometricamente o comportamento de uma funcdao A representagao de uma curva de nivel costuma ser mais facil de ser obtida se comparada ao grafico pois uma curva de nivel de uma funcdo fxy 6 um subconjunto de R httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 7137 120522 1935 Eadbr Dessa forma considerando z fxy e c elementos da imagem de f chamamos de curva de nivel de f Oo conjunto de todos os pares xy pertencentes ao dominio de f tais que fxy c Por exemplo considere a funcdo hxy x y como xy0 para qualquer par ordenado xy temos que a imagem de h o conjunto dos numeros reais positivos Agora considere c R a curva de nivel correspondente azcé hxy c ou seja xy c Mas essa igualdade representa circunferéncias de centro na origem e raio c Se c 0 a curva de nivel se reduz ao ponto 00 Podemos conferir a representacdo grafica dessa igualdade a seguir httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 837 120522 1935 Eadbr y 3 3 2 4 0 A 2 3 X Si as f NN ee a A 3 Figura 23 Curvas de nivel da funcdo hxy xy Fonte Elaborada pela autora Por outro lado considerando y z 0 obtemos x 0 xz0 yO0exy0z 0 Portanto o ponto 000 o ponto de intersecdo com os trés eixos Na Figura 24 veremos que as curvas de nivel projetadas no eixo z se tornam os cortes horizontais do grafico de h ou seja podemos montar o grafico de h a partir de suas curvas de nivel httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 937 120522 1935 Eadbr y 3 y 3 2 3 x 1 3 2 Figura 24 Esboco do grafico da funcdo hxyxy Fonte Elaborada pela autora httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1037 120522 1935 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1137 reflita Reita Antes de iniciar os estudos desta unidade você já sabia que funções de várias variáveis descrevem eventos simples de nosso cotidiano No início desta seção citamos exemplos presentes na área de engenharia porém existem exemplos simples de situações que são descritas por funções de várias variáveis Por exemplo a área de um retângulo depende de duas quantidades comprimento e largura o volume de um prisma retangular depende de três variáveis comprimento e largura da base e a altura do prisma Além dos exemplos citados existem diversos outros Quais funções de várias variáveis estão presentes em seu cotidiano 120522 1935 Eadbr ONION Para nos ajudar a visualizar as fungdes de duas variaveis graficamente podemos utilizar softwares Por exemplo todas as imagens desta segdo foram elaboradas com 0 auxilio do software GeoGebra Este software possui uma versao online e gratuita Sabemos que as fungdes descrevem através de modelos matematicos quase tudo que esta a nossa volta E muitos desses modelos sdo descritos por fungdes de varias variaveis Por exemplo a temperatura da atmosfera e 0 volume de um cilindro circular Com base no que estudamos assinale a alternativa correta yo rtytl 0 a O dominio da fungao foxy é dado pelo conjunto R A xyER x1 Feedback alternativa incorreta além de x1 precisamos ter xty1 0 Entdo dominio de f é dado por A xyER xty1 0 x41 httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1237 120522 1935 Eadbr O b Aimagem da funcdo gxy19 x y é dada pelo intervalo 09 Feedback alternativa incorreta como x e y sdo numeros reais ndo negativos 9 a y 9em que 9 x2 y 3 Portanto a imagem de g é dada pelo intervalo 03 O O grafico de gxy9 x2 y representa uma esfera de centro na origem e raio 3 Feedback alternativa incorreta temos que z 9 x y em que xyz9 6 a equacdo de uma esfera de centro na origem e raio 3 Porém z OQ Dessa forma 0 grafico de g 6 somente a metade da esfera O d As curvas de nivel da fungdao gxy19 2 y sdo dadas por circunferéncias de centro 00 p e raio 3 D Feedback alternativa incorreta sendo c um ponto da imagem de g as curvas de nivel de g sdo dadas pelos pontos do dominio de g tais que gxyc ou seja 9 x yc Dessa forma as curvas de niveis sdo dadas pela equacdo xy9c que representa uma circunferéncia de centro na origem e raio 9 c e A equacdao 3x2y 0 6 uma curva de nivel para funcdo fxy63x2y para o ponto c6 Feedback alternativa correta Sendo c um ponto da imagem de f temos que as curvas de nivel de f sao dadas pelos pontos xy do dominio de f tal que fxyc Se c 6 6 3x 2y 6 em que 3x2y0 httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1337 120522 1935 Eadbr ih Derivadas Direcionaise Vetores Gradientes A definido de derivada direcional de uma funcao f de duas variaveis no ponto 79 Yo na direcdo de um vetor unitario u a b é dada por Du f 0 yp lie f zo ha yo 1 F0 Yo httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1437 120522 1935 Eadbr caso esse limite exista Considerando fxy x y vamos calcular a derivada direcional de f no ponto 11 na direcdo do vetor u em que u Oo versor do vetor v 11 Com efeito inicialmente note que foi necessario trabalhar com a diregdo u sendo o versor do vetor v pois pela definicdo a diregdo precisa ser um vetor unitario Sendo u ab um vetor unitario qualquer temos que fliha 1hb f11 1ha1hb 2 h0 h h0 h Como a direcdao desejada é dada por u ht 3 logo VCIPP v2 v2 J D f 1 1 gt 42 0 U U 2 2 Quando trabalharmos com os vetores candnicos i 1 0 e j 0 1 as derivadas direcionais recebem uma nomenclatura especial derivadas parciais de f Se u i 10 denotamos D f f a denominamos derivada parcial de f em relacdo a x e Se u j 01 denotamos D f ty e a denominamos derivada parcial de f em relagdo a y A derivada parcial de uma funcao f em relacgdo a x a derivada de gx fxy ou seja Mantemos a variavel y como uma constante Ja a derivada de uma fungao f em relacdo a y a derivada de gy fxy em que mantemos x constante httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1537 120522 1935 Eadbr Por exemplo considerando fxy 2xy 4y Logo 1 fy 2yx 0 2y pois olhamos y como constante e derivamos em relacdo a x 2 fyy 2xy4y 2x 4 pois olhamos x como constante e derivamos em relaGgdo a y 3 f 21 21 2 substituindo o ponto 21 no que determinamos no item 1 4 ty 0 12044 substituindo 0 ponto 01 no que determinamos no item 2 Considere uma fungdo de duas variaveis fxy diferenciavel em x ey isto é f e fyexistem Entao f tem derivada direcional na direcdo de qualquer vetor u abe D fz y fxy at fyxy b Se retornarmos no calculo da derivada direcional de fxyxy no ponto 11 e diregdo u ab realizado no inicio deste topico observamos que essa relacdo foi satisfeita pois obtemos que Dy f 1 1 2a 2b f y 2x e fxy2y logo f11 2 e f112 Note que a relacéo D f xy fxy a fxy b diz que a derivada direcional pode ser escrita como o produto escalar entre dois vetores pois Dy f xy fxy fyyabf xy Fyly u Dessa forma o vetor fxy Fyy possui uma nomenclatura e notagdo especial se f uma fungdo de duas variaveis x e y o gradiente de f é a funcdo vetorial V f definida por V f xy fxy Fy yP Sendo fxy sen x e4 obtemos httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1637 120522 1935 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1737 pois consideramos y como constante pois consideramos x como constante Portanto f xy e f 01 20 Com a nomenclatura do vetor gradiente podemos escrever a derivada direcional de uma função de duas variáveis f na direção u por exemplo f xy u Para determinar a derivada direcional da função fxy x²y³4y no ponto 21 e direção v 2 i 5 j Primeiro observamos que v 2105012005 25 não é um vetor unitário logo um vetor unitário na direção v é dado por seu versor ou seja u Dessa forma temos que xy 2xy³ e xy3x²y² 4 fx x y cos x y exy fy x y x exy cos x y exy x exy cos 0 1 e01 0 e10 f x y Du v v 25 2 5 2 2 2 29 5 29 fx fy 120522 1935 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1837 Logo 21 4 e 21 8 E pela apresentada f 21 u 4 8 praticar Vamos Praticar Quando determinamos a derivada de uma função de uma variável em um ponto qualquer não precisamos nos preocupar com a direção desse ponto pois ela é única No cálculo diferencial de funções de várias variáveis isso muda Com base no que aprendemos nessa seção assinale a alternativa correta a sendo fxyx²xy e u 11 b sendo fxyx²xy e u 34 c Se fx com temos que xy fx fy Du f 2 1 2 29 5 29 8 29 40 29 32 29 f 1 2 5 Du f 1 2 4 Du 1 x y 2 2 x y 1 2 2 fx xy 1x y 2 2 120522 1935 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1937 d Se fxy sen x 2 cos y temos que xy 2 sen x Feedback alternativa correta considerando x como constante xy 2 sen x e Temos que f xy 4 2x 4 4y se fxy 4 x² 2y² Feedback alternativa incorreta xy2x e xy4y portanto f xy 2x 4y fy fy fx fy 120522 1935 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2037 Sabemos que uma aplicação do cálculo diferencial de uma variável é interpretar a derivada de uma função fx como uma taxa de variação o mesmo ocorre para as derivadas direcionais de funções de várias variáveis Portanto como a derivada direcional de fxy para qualquer direção u é uma taxa de variação uma pergunta natural é em qual dessas direções f varia mais rapidamente e qual a taxa máxima de Aplicações das Derivadas Aplicações das Derivadas Direcionais Direcionais 120522 1935 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2137 variação A resposta por sua vez tem ligação direta com o gradiente de f e está enunciada no próximo teorema Teorema 21 se f é uma função de duas variáveis e e existam e sejam contínuas O valor máximo da derivada direcional é o módulo do vetor gradiente f e ocorre quando u tem a mesma direção que f Podemos utilizar esse resultado para aplicações por exemplo suponha que a função fxyx²3y² represente a distribuição de temperatura em graus Celsius no plano xy de um material em que x e y estão em centímetros No caso do ponto 11 qual a direção de maior crescimento da temperatura A taxa de variação da temperatura em determinada direção u é dada por Dessa forma temos que f xy 2x 6y então f 11 26 Pelo Teorema 21 a temperatura aumenta mais rapidamente na direção do vetor gradiente f 11 26 ou equivalentemente f 11 2 10 6 01 2 i 6 j Se desejarmos calcular a maior taxa de aumento pelo Teorema 21 basta determinarmos o módulo do vetor gradiente Logo ou seja a taxa máxima de aumento da temperatura no material é de aproximadamente 63 ºC por cm fx fy f Du f Du 2 6 2 2 6 2 2 40 10 120522 1935 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2237 praticar Vamos Praticar Como já mencionamos todos os conceitos aplicados para funções de duas variáveis podem ser estendidos para funções de três ou mais variáveis Considere a função fxyz1 x² 2y² 3z² que descreve a temperatura de um material em um ponto xyz do espaço em que f é dada em Celsius e x y e z em centímetros Analise as alternativas seguir e assinale a correta a A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto 1 1 0 é de aproximadamente 45 ºC por centímetro Feedback alternativa correta a taxa de variação da temperatura no ponto é dada pela derivada direcional na direção do vetor gradiente e sua taxa máxima é equivalente ao módulo do vetor gradiente Como f xy 2x 4y 6z temos que a temperatura aumenta mais rapidamente na direção f 110 2 40 e sua taxa máxima de aumento é aproximadamente 45 Cºcm 2 2 4 2 2 5 120522 1935 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2337 b A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto 1 1 0 é de aproximadamente 48 ºC por centímetro c A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto 1 1 0 é de aproximadamente 62 ºC por centímetro d A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto 1 1 0 é de aproximadamente 7 ºC por centímetro e A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto 1 1 0 é de aproximadamente 77 ºC por centímetro 120522 1935 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2437 Nesta seção consideramos que a função f é diferenciável ou seja suas derivadas parciais existem e são contínuas Devemos recordar também que no cálculo diferencial para funções de uma variável existe uma regra que nos auxilia a calcular a derivada de uma função composta denominada Regra da Cadeia Regra da Cadeia para Regra da Cadeia para Funções de Várias Funções de Várias Variáveis Variáveis 120522 1935 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2537 Para funções de mais variáveis compostas também utilizamos a regra da cadeia porém ela tem muitas versões Isso ocorre pois a função f pode depender de n variáveis que chamaremos de intermediárias e as n variáveis intermediárias podem ser vistas como funções que dependem de n variáveis por sua vez denominadas variáveis independentes Para compreendermos o caso geral da regra da cadeia precisamos analisar duas situações Primeiro suponha que fxy seja uma função diferenciável de x e y em que x gt e y ht são funções diferenciáveis de t Então fxy fgt ht é uma função diferenciável de t e a Regra da Cadeia que veremos generalizada posteriormente nos garante que em que representa a derivada de f em relação a t como usávamos no cálculo diferencial para funções de uma variável Nesta primeira versão temos que f depende indiretamente de t uma vez que x e y são funções de t Por exemplo considere fxyx²y4xy³ em que x sen 2t e y cos t Utilizando a regra acima vamos determinar quando t 0 Note que Mas para t 0 x sen 0 0 e y cos 0 1 Logo 4 2 0 0 8 df dt fx dx dt fy dy dt df dt dz dt 2xy 4y 2 cos 2t x 12xy sen t dx dt fx dx dt fy dy dt 3 2 2 dz dt 120522 1935 Eadbr Agora vamos supor que fxy seja uma funcgao diferenciavel de x e y em que x 9st e y hst sdo funcdes diferenciaveis de s e de t Portanto fs te s fy Ys e fi Se Bt fy YUt Nessa segunda versao Ss e t Sado variaveis independentes x e y sdo variaveis intermediarias e f xy fgst hst 6 a varidvel dependente Considere fxy e sen y onde x st e y st pela Regra da Cadeia 2 2 f e sen yt e cos y2st te sen st 2 ste cos st e 2 2 f e sen y2st e cos ys 2ste sen st se cos st Por fim temos uma versdo geral em que n variaveis intermediarias e m variaveis independentes Como veremos a derivada parcial da fungdo f tera n termos um para cada variavel intermediaria Regra da Cadeia suponha que f seja uma funcao diferenciavel de n variaveis x x yee ve cada x 6 uma funcdo diferencidavel de m variaveis t1 to tm Entdo f uma funcdo diferenciavel de t to tme 1 2 n fi Fit Lyi fx Lopes fon De tis para cada i 1 2 mM httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2637 120522 1935 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2737 Por exemplo se fxyz x³y yz³ onde x ts y ts² e z t²s pela Regra da cadeia temos que 3x y s x z s 3yz 2ts ft fx xt fy yt fz zt 2 3 3 2 2 3t t 6 4t 7 3s5 3s5 t6s5 t6 s5 3s5 t6 s5 120522 1935 Eadbr Salida mails Py Tae Com as regras e conceitos aprendidos nesta unidade estamos aptos para esbocgar e derivar os mais variados tipos de fungdes de duas variaveis Esses conceitos nos auxiliarao em matérias futuras httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2837 120522 1935 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2937 praticar Vamos Praticar Ao compormos duas funções obtemos uma nova função denominada função composta As funções compostas na maioria das vezes são mais difíceis de serem diferenciadas mas como vimos nessa seção temos a Regra da Cadeia para nos auxiliar neste processo Observando os conceitos aprendidos nessa seção assinale a alternativa correta a Sendo f xy x²y com x e y 2t 1 temos que b Sendo f xy x²y com x e y 2t 1 temos que se t1 Feedback alternativa incorreta pela regra da cadeia 2xy x²2 2xy 2x² Mas para se t 1 x e y3 então 2 3 2 6 2 4 c Se fuv uv com u x² e v 3x1 temos que Feedback alternativa correta pela regra da cadeia et 4xy t 2x df dt et 2 et 4 df dt e2 df dt et et e1 df dt e1 e1 e1 2 e2 e2 e2 dz 8x 2x dx 2 dz v 2x u 3 3x 1 2x x 3 5x 2x 3x 8x 2x dx 2 2 2 2 120522 1935 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3037 d Se u em que x rs y rs² e z r²s sent e Se u em que x rs y rs² e z r²s sent se r2 s 1 e t0 x4 y y z 2 3 et et 4x y 2yz 3y z us 3 x4 3 2 2 x4 y y z 2 3 et et us 100 120522 1935 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3137 indicações Material Complementar 120522 1935 Eadbr LIVRO Um curso de calculo volume II Hamilton Luiz Guidorizzi Editora LTC GEN ISBN 9788521612803 Comentario esse livro traz a teoria do calculo diferencial de varias variaveis de forma completa além de conter varios exercicios resolvidos Essa uma Otima bibliografia para pesquisar suas duvidas e aprofundar o conhecimento httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3237 120522 1935 Eadbr FILME O jogo da imitacgao Ano 2014 mmf aaa Comentario esse filme narra a hist6ria de como os conhecimentos em Matematica logica e ciéncia da computagao do cientista Alan Turing contribuiram para as estratégias usadas pelos Estados Unidos durante a ome Segunda Guerra Mundial httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3337 120522 1935 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3437 120522 1935 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3537 referências Referências Bibliográcas GUIDORIZZI H L Um curso de cálculo volume 2 5 ed Rio de Janeiro Grupo GEN 2010 STEWART J Cálculo volume 2 6 ed São Paulo Cengage Learning 2008 120522 1935 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3637 120522 1935 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3737