Revisão de Derivadas e Integrais em Cálculo Aplicado a Várias Variáveis

20062022 1242 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade1ebookindexhtml 124 introdução Introdução CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS REVISÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS REVISÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS Autor Me Talita Druziani Marchiori Revisor Raimundo Almeida INICIAR 20062022 1242 Eadbr Os primeiros conceitos do calculo diferencial e do calculo integral surgiram ha séculos a principio sem ligagdo com os conceitos que temos atualmente Depois de um periodo matematicos puderam provar por meio de resultados vadlidos até hoje que os conceitos do calculo diferencial e do calculo integral sao o inverso um do outro O calculo diferencial surgiu com problemas relacionados a retas tangentes Ja o calculo integral originouse em problemas de quadratura que uma operagdo que determina a area de um quadrado equivalente a uma dada figura geométrica Porém hoje sabemos que as aplicabilidades dessas teorias estendemse a areas variadas do conhecimento como fisica quimica engenharias biologia economia dentre outras Apesar de vocé estudante ja ter estudado esses conceitos vamos revisar nesta unidade as principais definigOes e propriedades presentes no calculo diferencial e integral Além disso estudaremos 0 conceito de integragdo por fracées parciais Salientamos que como se trata da revisdo de uma matéria extensa ndo conseguiremos abordar todos os conceitos presentes Com isso enriqueceria o seu estudo buscar exemplos e exercicios em outras bibliografias para completar a sua revisdo e aprofundar o seu conhecimento Esperamos que 0 seu aprendizado seja produtivo httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade1ebookindexhtml 224 20062022 1242 Eadbr L PR lL ee 5 r a Unna Breve Revisao Sopre as 2 Ww 4 y aa 1s e yy a Derivadas de Funcoes Reais de 90 F D uma Variavel Real ee ee re eee eee ee 0 4 o 9 as aie A Fg 3 nh De A a Cb 1 eee Ww lB ae b I Peas a N 4 rN Po 8 22 7 be r ve Lar XS y Zhe Fonte luckybusiness 123RF Neste tdpico relembraremos as principais definigdes e propriedades das derivadas de fungées reais de uma variavel real No que segue representaremos por fx uma funcdo real de uma variavel real definida sobre um subconjunto X dos numeros reais Considere uma funcao fx como uma funcado qualquer e sua derivada fx é a nova funcdo que em um determinado ponto x 0 valor da derivada é definido por Ax h fix Lx limh 6 se o limite existir Assim se o limite existe para x a a fungdo f dizse diferenciavel em a Consideramos a fungdo f derivavel em um intervalo aberto se esta for diferenciavel para todos os numeros do intervalo Exemplo 11 determine fx se fix x Solucdo pela definigdo que acabamos de enunciar httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade1ebookindexhtml 324 20062022 1242 Eadbr 2 2 fix h fx x h x f x limh 6 limh 0 h h Como x h x 2x h h 0 h segue que 2 2 Sx h fx x h x I limi limh 0 T 2x Portanto fx 2x Usando a notagdo tradicional y fx para indicar que a variavel independente é x e y é a variavel Wy df dependente entdo ye sdo consideradas notagées alternativas quando consideramos a derivada de fem relagdo a x Em muitos problemas de calculo que envolvem curvas precisamos calcular a reta tangente em um certo ponto da curva Contudo a reta tangente a uma curva y fx em um ponto Pa fla a reta que passa por Pe tem a inclinagdo fx fla m limx a Xa desde que esse limite exista Isto a inclinagdo da reta tangente a curva y fix no ponto Pa fa 6 oO mesmo que a derivada de fem a Com isso se uSarmos a forma pontoinclinacao da equagdo de uma reta podemos escrever uma equagdo da reta tangente a curva y fx no ponto Pa fla como yfla f ax a Logo reflita sobre esse processo O processo de determinar a derivada de uma fungdo por meio do calculo de um limite na maioria das vezes um processo demorado Porém ha regras de derivagdo que auxiliam em uma solucdo mais simples para o calculo Quando utilizamos tais solugdes conseguimos determinar a derivada de uma funcgdo sem necessitar recorrer a sua definigdo A seguir enunciamos algumas dessas regras REGRA DA POTENCIA considerando que n 6 um numero real qualquer entao x nx 1 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade1ebookindexhtml 424 20062022 1242 Eadbr REGRA DA MULTIPLICAGAO POR CONSTANTE considerando que é uma constante e f é uma funcdo derivavel podemos dizer que cAx of REGRA DA SOMA considerando que fe g sao funcdes derivaveis entdo fx g f g REGRA DO PRODUTO considerando que fe g sdo fungées diferenciaveis com gx 0 entdo Ange fds fag x REGRA DO QUOCIENTE considerando que fe g forem derivaveis entdo feo fg fag ax gx REGRA DA CADEIA se g for derivavel em x e f for derivavel em gx entdo a fungdo composta h fo g definida por hx fgx sera derivavel em x eh sera dada pelo produto hx fgg Em muitas situagées deparamonos com problemas de fungdes exponenciais logaritmicas e trigonométricas por isso resumimos as formulas de derivacdo para estas fungoes f onx cos x a Tse X COS x qecosec x cosec x cotg x 4 cya a 2 los x sen x blog x cosec x 4 x secx fe dx dx d d i ee X Sec X tg x Win x Exemplos 1 2 derive 1 a hx 5s x b fix e x Fx 2x3 C Fa d d hx senx 1 Solucdo a Pelas regras da constante e da poténcia he 5 5 x 5S t eb httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade1ebookindexhtml 524 20062022 1242 Eadbr b Pela regra do produto temos fo 8 x x e xt e c Pela regra do quociente 2x 3x212x3x21 2x6x2 FO 2442 2a 2d x 1 x 1 d Pela regra da cadeia considerando fx sen x e gx x 1 temos que hx fgg x 2x cos x 1 Como f também é uma fungdo chamada derivada primeira de f podemos derivala Se a derivada de f existir esta sera chamada derivada segunda de f e sera denotada por f Seguindo esse raciocinio a derivada enésima da fungdo f onde n é um numero inteiro positivo maior do que 1 é a derivada primeira da derivada n1 ésima de f Denotamos a derivada enésima de f por Por exemplo temos que f x 96x 30x 2 se fx 8x4 5x3 x7 7 pois fx 32x3 15x 2x Sabemos que 0 calculo diferencial possui aplicabilidade em diversas areas do conhecimento Logo dominar seus conceitos e propriedades é relevante em nossa formacao académica Com base na teoria que acabamos de revisar neste tdpico assinale a alternativa correta O a Com a definicdo de derivada de uma funcdo concluimos que fx 3x 1 se fx x x bSe 2x 3x 13 temos que gx 3 3x 1 O c A derivada de x 05 é dada pela fungdo x 05 O d Temos que g4 1 uma vez que gx Ax 1x onde A4 32 eh4 4 O 2x4 32x3 6x2 e 2 2x 5 3 x 2 fx Pe NSN e Se fx 2x e e gx x 4x417 gx 23 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade1ebookindexhtml 624 20062022 1242 Eadbr Cr J ro r yom ro 5 y Propiemas ae Otimizacao meee eee eee ee re reer Os problemas de otimizagdo consistem em determinar a melhor maneira de fazer algo ou seja requerem minimizar ou maximizar uma situagdo Como é de nosso conhecimento as derivadas nos ajudam localizar os valores de maximo e minimo de funcédes Logo os problemas de otimizagdo sao uma das aplicacées mais importantes do calculo diferencial ANS NIC cee ele 5 4 Fes a Aes o a armees J pe se Saal oe wlio Pen ake sf emt me pias nel ee 7 Pn gaenec lope e Ce 1 ee Ooi Paan Hy Tres Se Ts aa 7 is 5 at an ara cate F Sa py yr MES ey M Ed Figura 11 Quadro Fonte Jozef Polc 123RF Antes de resolver um problema de otimizagdo vamos enunciar os principais resultados e definigdes ja estudados por nds que envolvem a derivada primeira e segunda e fornecemnos técnicas para determinar os valores extremos de uma funcdo Teorema 11 se ftiver um maximo ou minimo local em ce se fc existir entdo fc 0 O Teorema 11 apresenta que devemos procurar por valores maximos e minimos de fnos numeros c em que fc 0 ou onde fc nao existe Chamamos os valores c tais que fc 0 ou fc nao existe de numero critico de f httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade1ebookindexhtml 7124 20062022 1242 Eadbr Quando uma fungdo f é continua considerando um intervalo fechado a b temos um método para determinar seus valores extremos valor de maximo e valor de minimo em a 5 Primeiramente encontramos os valores de fnos numeros criticos de fem a b Depois encontramos os valores de f nas extremidades a e b Entdo o maior valor é o valor de maximo e o menor valor é o valor de minimo Exemplo 13 0 valor maximo de fix x3 xx1lem2 12 éA1 2 Solucdo observe que f é continua no intervalo 2 I e fix 3x2 2x1 Como fx existe para todos os numeros reais os Unicos numeros criticos de f serdo os valores x para OS quais fx 0 Mas fix 0 3x2 2x1 0 em que concluimos que os numeros criticos de fsdox ex 1Ainda 22 7 f2 1 f1 208 flr 27 8 Portanto o valor maximo fem 2 12 éf1 2 O préximo resultado diz se f tem ou nado um maximo ou minimo local em um numero critico Chamamoso de Teste da Primeira Derivada Teorema 12 considere que c seja um numero critico de uma fungdo continua f Dessa forma podemos afirmar que a caso o sinal de f mude de positivo para negativo em c dizemos que ftem um maximo local em c b caso o sinal de f mude de negativo para positivo em c dizemos que ftem um minimo local em c C sef ndo mudar de sinal em c entdo fndo tem maximo ou minimo locais em c Exemplo 14 encontre os valores maximos e minimos da fungdo fix x3 6x 9x 1 SolugGo note que fx 3x712x9 e fix 0 x3x1 Ademais se x1 fx0 se 1x 3 fx 0 ese x 3 fix 0 Entado pelo Teste da Primeira Derivada 5 é um valor de maximo local de f e f3 1 um valor de minimo local de f O prdximo resultado é conhecido como Teste da Segunda Derivada Teorema 13 suponha que f seja continua nas proximidades dos valores de c a se fc 0efc 0 entdo ftem um minimo local em c b se fc 0e fc 0 entdo ftem um maximo local em c 443 42 utili Exemplo 15 sendo fx x ax 4x utilize o Teste da Segunda Derivada para encontrar os maximos e minimos locais de f httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade1ebookindexhtml 824 20062022 1242 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade1ebookindexhtml 924 Solução temos que fx 4x3 4x2 8x e fx 12x2 8x 8 Então os pontos críticos de f valores onde fx 0 são 2 0e1 Contudo f2 0 f00 f10 Logo f possui um valor de mínimo local em f2 32 2 um valor de máximo local em f0 0 e um mínimo local em f1 5 3 Agora veremos dos exemplos de problemas de otimização Exemplo 16 uma empresa possui seu lucro descrito pela função Lx 0 02x2 300x 200000 em que x representa o número de unidades produzidas Quantas unidades a empresa precisa produzir para que seu lucro seja máximo Solução observe que como a Lx 0 04x 300 teremos a ou seja x 7500 é o número crítico de L Contudo Lx0 x7500 e Lx 0 x 7500 Portanto pelo Teste da Primeira Derivada a empresa precisa produzir 7500 unidades para que seu lucro seja máximo Exemplo 17 construa uma caixa fechada de base quadrada e com 200 cm³ de volume O material utilizado para a tampa e para a base deve custar R 300 para cada centímetro quadrado e o material utilizado para os lados custa R 150 para cada centímetro quadrado Com quais dimensões esta caixa possui custo total mínimo Solução adotando como x o comprimento em centímetros de um lado da base quadrada e Cx o custo total do material a área da base será x2 cm2 Adotando y como a profundidade em centímetros o volume da caixa será x2y 200 cm3 onde y 200 x2 Dessa forma podemos escrever que a área da tampa e da base juntas é 2x2 e para os lados é 4xy Com isso Cleft x right3left 2x ext2 right15left 4xy right ou equivalentemente Cx 6x2 12000 x em que Cx 12x 12000 x2 Cx 12x 12000 x3 Assim Cx não existe x 0 mas como 0 não pertence ao domínio de C os únicos números críticos serão os valores de x tais que Cx 0 ou seja x 10 Por outro lado C10 0 então pelo Teste da Derivada Segunda x 10 é um mínimo local de C Com isso o custo total do material será mínimo quando o lado da base quadrada for 10 cm a profundidade for 20 cm e a área da base for 100 cm² praticar Vamos Praticar 20062022 1242 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade1ebookindexhtml 1024 Vamos Praticar Na economia se x unidades forem vendidas e o preço por unidade for px então a receita total será Rx xpx sendo R chamada função receita Representado por Cx a função custo é o valor gasto para a produção de x unidades Se x unidades forem vendidas então o lucro total será Lx Rx Cx então L será chamada função lucro Certa empresa possui as funções de custo e receita dadas por Rx 0 5x2 2000x e Cx 800x 500000 respectivamente Analise as alternativas abaixo e assinale a correta a O lucro desta empresa será máximo para x 1200 b O lucro desta empresa será máximo para x 800 c O lucro desta empresa será máximo para x 365 d O lucro desta empresa será máximo para x 60 e O lucro desta empresa será máximo para x 203 20062022 1242 Eadbr A PB DAVIES CAR AE Unna Breve Revisao Sopre as J J om rm r le a om a and a Integrals de Funcoes Reais de unna an fey rh e Jariavel Rea eee ee eee ee Uma funcdo Fx chamada antiderivada da funcdo fx se Fx fx seja qualquer x pertencente ao dominio de f Como a derivada de uma constante é zero a antiderivada de uma funcdo ndo é Unica Por exemplo Fx x e HAxx210 sdo antiderivadas da fungdo fx 2x uma vez que Fx Hx 2x fx Representamos 0 conjunto de todas as antiderivadas de fx utilizando 0 simbolo fx dx FQ C que é chamado integral indefinida de fx em que F é uma antiderivada de f Para qualquer fungdo derivavel F J Fx dx Fx C Da ligacdo entre o calculo diferencial e o célculo integral por meio das antiderivadas podemos listar propriedades para integragdo indefinida resultante de propriedades existentes para as derivadas REGRA DA CONSTANTE considerando qualquer constante k k dx kx C n1 REGRA DA POTENCIA considerando qualquer n 1Jx dx C 1 REGRA DO LOGARITMO considerando qualquer x 0J dx InxC 1 REGRA DA EXPONENCIAL considerando qualquer constante k 0 Je dx eo C REGRA DA MULTIPLICAGCAO POR UMA CONSTANTE considerando qualquer constante Ik fx dx kl fx dx REGRA DA SOMADIFERENCA J fix gx dx ftx dx J gx dx Exemplo 18 calcule httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade1ebookindexhtml 1124 20062022 1242 Eadbr 3 a de x x3 8x2 2x b dx x Solugdo a Pelas regras do logaritmo e da multiplicagdo por uma constante 3 1 eax 3de 3 In x x b Usando a regra da soma da diferenga da multiplicagdo por uma constante da constante e da poténcia temos 3 2 3 x 8x 2x x dr fx de 8 xd 2 de 4x 20 x 3 Muitas integrais exigem além das regras enunciadas acima métodos especiais para resolvélas Um destes 6 0 método da substituido Tal método consiste em escolhermos uma substituigdo u ux para simplificar o integrando fx e expressar toda a integral em termos de uw e du udx Com isso a integral deve estar J fx dx J gw du na forma Se possivel calcule essa integral determinando uma antiderivada Gu de gu Para finalizar substituimos u por ux obtendo uma antiderivada Gux para fx de modo que fx dx Gux C Por exemplo podemos calcular a integral indefinida 5x3dx pelo método da substituicdo Denotando u 5x 3 temos du 5dx ou dx 15 Assim 6x 38 de fu Ln fu du 5 4397 C 5 5 35 Agora considere fx uma fungdo continua no intervalo a x b Julgue que este intervalo tenha sido ba dividido em n partes iguais de largura Ax é seja x um numero qualquer pertencente ao intervalo de ordem i para qualquer i1 2 n ASoma fox Ax x 2avt fc Ax é conhecida como soma de Riemann Dessa forma a integral definida de fx no intervalo a x b representada pelo simbolo b Ao dx a é dada pelo limite da soma de Riemann sempre que n caso 0 limite exista A integral definida Phx dx 6 um ntimero Se a b temos que Ax dx flx dx se a b temos que Ax dx 0 Como para as integrais indefinidas existem regras de integracdo que nos auxiliam httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade1ebookindexhtml 1224 20062022 1242 Eadbr a determinar as integrais definidas suponha que f e g sdo fungdes continuas sendo valida a REGRA DA CONSTANTE para qualquer constante k Pk dx kb a REGRA DA SOMADIFERENCA fx gx dx fix dx Pox de REGRA DA MULTIPLICAGAO POR UMA CONSTANTE para qualquer constante b b kx dx k fox dr a a REGRA DO INTERVALO para qualquer c a 5 Phx dx I fx dx Ax dx Exemplo 19 sendo J jfx dx 17 e J Sfx dx 12 temos que J fx dx 5 Solugdo primeiramente devemos escrever 10 8 10 foo dx fl dx fx de 0 0 8 Entdo 10 Axo de 17 12 5 8 Sabemos por meio de historiadores que 0 Calculo Integral teve origem a varios séculos com problemas de quadratura Com o passar dos anos muitos matematicos contribuiram para o crescimento e aperfeicoamento desta teoria Com esses avancos hoje existem aplicabilidades do Calculo Integral em diversas areas como fisica engenharias biologia dentre outras Uma das aplicagdes do calculo integral mais conhecida é o calculo de areas Clique para conhecer um pouco da historia do calculo diferencial Para finalizar este topico vamos enunciar a primeira e a segunda parte do Teorema Fundamental do Calculo Este um dos mais importantes resultados do calculo pois relaciona 0 conceito de integral definida ao conceito de antiderivagdo ou seja o Teorema Fundamental do Calculo relaciona o calculo diferencial e 0 calculo integral httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade1ebookindexhtml 1324 20062022 1242 Eadbr Teorema 14 Teorema Fundamental do Calculo Parte 1 se ffor continua em ab entdo a fundo g definida por gx PO dt a x b continua em ab e derivavel em ab e gx fx Teorema 15 Teorema Fundamental do Calculo Parte 2 se ffor continua em ab entdo b fo dx Fb Fa a em que F é qualquer primitiva de f isto 6 uma fungdo tal que F Exemplo 110 calcule a et dx b 82x 1 dx Solugdo a Note que Fx e é uma antiderivada de fx e entdo pela Parte 2 do Teorema Fundamental do Calculo rex dx F3 F1 e e b Com o raciocinio do item anterior e com o auxilio das regras de integragdo temos Sox 1 dx 8752 85 42 Podemos utilizar as integrais para solucionar muitas situagdes problemas do nosso cotidiano e do nosso meio profissional Com base na teoria sobre integrais indefinidas e definidas revisadas neste tdpico assinale a alternativa correta O a J x2 2x dx 73272 C ObJ cosxdx senx C O 3 4 4 c Jt cos t 2 dt 7 cos tf 2 C ay 341 de lolx x 7 Oe x2 dx 1 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade1ebookindexhtml 1424 20062022 1242 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade1ebookindexhtml 1524 20062022 1242 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade1ebookindexhtml 1624 Figura 12 Fórmulas Fonte Pakpong Pongatichat 123RF Uma função fx é denominada função racional se fx R x Q x em que Rx e Qx são polinômios Se o grau de R é menor que o grau de R f é chamada de função racional própria fx é denominada função racional imprópria se o grau de R é maior ou igual que o grau de Q Se uma função fx P x Q x é racional imprópria podemos dividir os polinômios P por Q até o resto Rx ser obtido em que o grau de R é menor que o grau de Q Com isso podemos reescrever fx como a soma de um polinômio Sx e uma função racional própria R x Q x ou seja fx Sx R x Q x Quando não conseguimos resolver a integral de uma função racional própria podemos decompôla em frações parciais usando a seguinte estratégia primeiramente fatoramos o denominador Q como produto de fatores lineares e quadráticos em que os fatores quadráticos não possuem raízes reais isto é são irredutíveis Na resolução dos exemplos a seguir veremos três casos desta técnica Integração de Funções Racionais Integração de Funções Racionais por Frações Parciais por Frações Parciais 20062022 1242 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade1ebookindexhtml 1724 Exemplo 112 determine a x2 2x 1 2x3 3x2 2x dx b x3 1 x2 x 2 3 dx c x2 1 x3 3x dx Solução a Note que o grau do denominador é maior do que o grau do numerador logo a função fx x2 2x 1 2x3 3x2 2x é racional própria e não precisamos dividir o numerador pelo denominador Observe que 2x3 3x2 2x x2x 1x 2 ou seja o polinômio Qx a1x b1a2 b2 an bn pode ser decomposto em fatores lineares e nenhum fator é repetido Neste caso escrevemos Rx Qx A1 a1 x b1 A2 a2 b2 An an bn Então x2 2x 1 2x3 3x2 2x x2 2x 1 x2x 1x 2 A1 x A2 2x 1 A3 x 2 Com isso temos que x2 2x 1 2A1 A2 2A3x2 3A1 2A2 A3x 2A1 em que a igualdade de polinômios é A1 12 A2 15 e A3 110 Portanto x2 2x 1 2x3 3x2 2x dx 1 2 1 x dx 1 5 1 2x 1dx 1 10 1 x 2dx 1 2ln x 1 10ln 2x 1 1 10ln x 2 C bTemos que x2 x x x 2 x 2 x 2 ou seja o polinômio Qx decompõese em fatores lineares com termos repetidos Se o fator aix bi repete p vezes teremos correspondente a esse fator uma soma de p frações parciais da forma 20062022 1242 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade1ebookindexhtml 1824 A1 ai x bi A2 ai x bi2 Ap ai x bip Então x3 1 x2x 23 A1 x A2 x2 B1 x 2 B2 x 22 B3 x 23 em que x3 1 A1xx 23 A2x 23 B1x2x 22 B2x2x 2 B3x2 Se x 0 A2 18 se x 2 B3 74 Para determinar A1 B1 e B2 substituímos os valores já encontramos na equação acima e resolvemos o sistema de polinômios obtendo A1 316 B1 316 e B2 54 Com isso x3 1 x2 x 2 3 3 16 1 xdx 1 8 1 x2dx 3 16 1 x 2dx 5 4 1 x 2 2dx 7 4 1 x 2 3dx 3 16ln x 1 8x 3 16ln x 2 5 4 x 2 7 8 x 2 2 c Neste caso x3 3x x x2 3 em que o fator x2 3 é irredutível pois não possui raízes reais isto é o polinômio Qx é decomposto por fatores lineares e quadráticos porém nenhum fator quadrático é repetido Todo fator quadrático irredutível ax2 bx c terá uma fração parcial da forma Ax B ax2 bx c Então x2 1 x3 3x A x Bx C x2 3 Procedendo como nos itens anteriores obtemos que A 1 3 B 2 3 e C 0 Então x2 1 x3 3x dx 1 3 1 x dx 2 3 x x2 3 dx 1 3ln x 1 3ln x2 3 C Também podemos decompor Qx por fatores lineares e quadráticos irredutíveis mas com alguns fatores quadráticos repetidos Nesse caso se ax2 bx c for um fator quadrático irredutível que se repete p vezes o fator ax2 bx cp possui p frações parciais da forma 20062022 1242 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade1ebookindexhtml 1924 A1x B1 ax2 bx c A2x B2 ax2 bx c2 Apx Bp ax2 bx cp Por exemplo para x2 3x 53 temos A1x B1 x2 3x 5 A2x B2 x2 3x 52 A3x B3 x2 3x 53 Note que na letra a do exemplo 112 foi possível fatorar o denominador como multiplicação de fatores lineares distintos No item b decompomos o denominador como multiplicação de fatores lineares repetidos Já no item c do exemplo 112 a fatoração do denominador continha fatores quadráticos irredutíveis sem repetição Acabamos de observar acima outra forma de fatorar um polinômio como multiplicação de fatores lineares e quadráticos irredutíveis com alguns termos quadráticos repetidos Um resultado da Álgebra garante que é sempre possível fatorar um polinômio de uma dessas quatro maneiras A forma de decompor a fatoração de cada caso em frações parciais exposta nos exemplos acima vem do teorema de frações parciais praticar Vamos Praticar Sabemos que algumas integrais de funções racionais próprias precisam ser decompostas em frações parciais para serem resolvidas Observe a integral a seguir x4 2x2 4x 1 x3 x2 x 1 dx Agora assinale a alternativa correta a A função fx x4 2x2 4x1 x3 x2 x1 é uma função racional própria b A função fx x4 2x2 4x1 x3 x2 x1 é uma função racional imprópria e x4 2x2 4x1 x3 x2 x1 1 x1 2 x1 2 1 x1 c Temos que x4 2x2 4x1 x3 x2 x1 dx x2 2 x ln x 1 2 x1 ln x 1 C d Temos que x4 2x2 4x1 x3 x2 x1 dx x2 2 ln x 1 2 x1 C e Temos que x4 2x2 4x1 x3 x2 x1 dx x2 2 x 2 x1 C 20062022 1242 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade1ebookindexhtml 2024 20062022 1242 Eadbr Material C t FILME Uma mente brilhante Ano 2001 amas Eien Comentario o filme conta a histéria de um matematico que mesmo doente com esquizofrenia venceu o Nobel de Economia por sua Teoria dos Jogos s a httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade1ebookindexhtml 2124 20062022 1242 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade1ebookindexhtml 2224 LIVRO Cálculo James Stewart Editora Cengage Learning ISBN 8522112584 Comentário este livro aborda toda a teoria do cálculo diferencial e integral que relembramos nesta unidade Você poderá conferir muitos exemplos resolvidos o que contribuirá com seus estudos 20062022 1242 Eadbr Nesta unidade pudemos revisar as definigdes e propriedades do calculo diferencial e do calculo integral que ja haviamos aprendido em outro momento do curso Também aprendemos um novo método de integracgdo a integracdo por fragdes parciais Por meio do Teorema Fundamental do Calculo relembramos que o calculo diferencial e integral estado interligados pois um desfaz o que o outro faz Como perceberam nao foi possivel explorar toda a teoria presente na disciplina do calculo diferencial e integral pois esta é vasta Esperamos que tenham recordado o conteudo e praticado os tépicos por meio dos exemplos e exercicios tornando essa revisdo produtiva ao seu conhecimento e formacdo Sugerimos que pesquise sobre outras aplicagdes do calculo diferencial e integral que ndo comentamos na unidade pois isso motivara os seus estudos Agradecemos toda a dedicacdo e até uma prdxima oportunidade eee eee eee ee ee ee eee GUIDORIZZI H L Um curso de Calculo 5 ed Rio de Janeiro Grupo GEN 2001 LEITHOULD L O Calculo com Geometria Analitica 3 ed Sdo Paulo Harbra Ltda 1994 STEWART J Calculo 5 ed SAo Paulo Cengage Learning 2006 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade1ebookindexhtml 2324 20062022 1242 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade1ebookindexhtml 2424