Cálculo Aplicado: Integrais Duplas

120522 1937 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 143 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS VARIÁVEIS AS INTEGRAIS DUPLAS AS INTEGRAIS DUPLAS Autor Me Talita Druziani Marchiori Revisor Raimundo Almeida INICIAR 120522 1937 Eadbr Introduce Ola estudante Nesta unidade vamos entender como calcular a integral dupla de fungdes de duas variaveis Existem muitas aplicabilidades das integrais duplas como o calculo de volumes e areas de superficies determinar massas e centroides etc Iniciamos a unidade com integrais duplas calculadas sobre regides retangulares e em seguida calcularemos essas integrais através das integrais iteradas Apos vamos aprender a determinar integrais duplas em regides mais gerais Por fim trabalharemos com um novo sistema de coordenadas bidimensional as coordenadas polares Sugerimos que resolva todos os exemplos e exercicios propostos esclarecendo suas duvidas Alem disso realize exercicios extras Sua dedicagdo sera fundamental para o aprendizado httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 243 120522 1937 Eadbr Caroa estudantea ja sabemos que podemos calcular as derivadas parciais de fungdes de duas variaveis reais considerando uma das variaveis como sendo constante e derivando em relacdao a outra Por exemplo sendo fx y 4xy temos que fx y 12x7y2 Do mesmo modo podemos calcular uma integral indefinida de uma funcdo de duas variaveis Se desejarmos determinar a integral indefinida da fungdo fx y Ag y em relagdo a variavel x httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 343 120522 1937 Eadbr podemos calcular a integral indefinida considerando a variavel y como constante ou seja 324 Aa2 3 oe An2 x 42 fAaeyde 4y fadx 4y4Cyt44C Sabemos que a integral definida b f fxdax a com f sendo uma funcdéo continua e ndo negativa paraa x DB é definida como a drea delimitada pela interseccdo do eixo x retasr ae x be pelo grafico de f Agora vamos considerar uma funcdo f positiva definida em um retangulo R ab x c d Denotamos por S a regido que esta acima de R e abaixo do grdfico de f z fz y Dividindo o intervalo a b em m intervalos da forma a1 de mesmo comprimento A x b ameo intervalo cd em n intervalos da forma y1 yj de mesmo comprimento A y dcn temos que 0 volume de S é dado por m n V lim y AA im oie t1 j1 onde xz y um ponto arbitrario de cada Ri wi1 xi x yi 1 yi eA AAxXAY Esse tipo de limite acontece também em outras situacgdes mesmo se f ndo for uma funcdo positiva entdo definimos a integral dupla de f onde f é uma funcdo de duas variaveis x e y sobre o httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 443 120522 1937 Eadbr retangulo R como m n fey AA lim fa y AA se 0 limite existir Entao se este limite existir f é dita integravel Entdo pelo que vimos se fx y 0 0 volume V do solido que esta acima do retangulo e abaixo da superficie z fa y é dado por v fxy AA R Ou seja 0 calculo de volumes 6 uma aplicagdo das integrais duplas Por exemplo o volume do solido S que esta abaixo de 272z71 e acima de R11 x 22 é dado por V I Se 1 2AA Note que o grafico de fa y z1 xz é maior ou igual a zeroe é representado pela Figura 31 httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 543 120522 1937 Eadbr Zz 25 2 15 25 5 15 2 5 2 y Figura 31 Grdfico de fx y 1 2 Fonte Elaborada pela autora Como estamos restringindo o eixo y nos pontos do intervalo 22 temos que a integral dupla de 1 x sobre R 1 1 x 2 2 6a metade do volume do cilindro de altura 4 e raio da base 1 Logo 2 VfflaAA 2n httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 643 120522 1937 Eadbr Como a integral dupla esta definida através do calculo de um limite e nem todas as integrais conseguimos relacionar com formulas ja conhecidas como no caso anterior sua resolugdo nado é eficiente Porém temos propriedades que auxiliam no calculo das integrais Admitindo que Sip flzy AAe sf fp oay A A existam é valido que II fxy 9zy AA II fxy AA II gxy AA R R R SIpcfy AAc Jf fp fay A A onde c é uma constante Sendo fay gxy para todo xy R ff flay AAS f fpgay AA Por exemplo se J fz y AA 3e f J 92 y A A 2 entdo few ga yAA 5 httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 743 120522 1937 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 843 pVamos Praticar Pelo que aprendemos podemos calcular o volume de um sólido através das integrais duplas Como os pontos e são pontos arbitrários de cada podemos considerar os pontos médios de cada Essa técnica é conhecida como regra do ponto médio para integrais duplas e com ela temos que a integral dupla é aproximadamente igual a onde e são os pontos médios de cada Utilizando essa técnica para a estimativa da integral onde é a 11 875 Feedback Correta utilizando a regra do ponto médio para temos que os pontos médios dos intervalos e são respectivamente Assim como b 850 fx y Δ A f Δ A R limn m i1 n j1 x y x y yi 1 yi Rij xi1 xi yi 1 yi Rij xi1 xi fx y Δ A R f Δ A m i1 n j1 xi yj xi yj yi 1 yi Rij xi1 xi m n 2 x 3 ΔA R y2 R 0 2 1 2 m n 2 R11 0 1 1 32 R12 0 1 32 2 1 2 1 32 R21 R22 1 2 32 2 x1 y1 12 54 x1 y2 12 74 x2 32 54e 32 74 y1 x2 y2 ΔA ΔxΔy 112 x 3 ΔA x 3 ΔA R y2 2 i1 2 j1 y2 f12 5412 f12 7412 f32 5412 f32 7412 11 875 120522 1937 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 943 Feedback Incorreta utilizando a regra do ponto médio para temos que os pontos médios dos intervalos e são respectivamente Assim como c 5125 Feedback Incorreta utilizando a regra do ponto médio para temos que os pontos médios dos intervalos e são respectivamente Assim como d 0368 e 207 m n 2 R11 0 1 1 32 R12 0 1 32 2 1 2 1 32 R21 R22 1 2 32 2 x1 y1 12 54 x1 y2 12 74 x2 32 54e 32 74 y1 x2 y2 ΔA ΔxΔy 112 x 3 ΔA x 3 ΔA R y2 2 i1 2 j1 y2 f12 5412 f12 7412 f32 5412 f32 7412 11 875 m n 2 R11 0 1 1 32 R12 0 1 32 2 1 2 1 32 R21 R22 1 2 32 2 x1 y1 12 54 x1 y2 12 74 x2 32 54e 32 74 y1 x2 y2 ΔA ΔxΔy 112 x 3 ΔA x 3 ΔA R y2 2 i1 2 j1 y2 f12 5412 f12 7412 f32 5412 f32 7412 11 875 120522 1937 Eadbr 1 rd t Cd tJ e tJ CJ td ti Queridoa alunoa o Teorema Fundamental do Calculo nos fornece um método para calcular as integrais de fungdes de uma variavel real sem precisarmos recorrer a definigado Neste topico veremos como determinar uma integral dupla sem necessitar utilizar a sua definigado Esse método consiste em calcular uma integral dupla calculando duas integrais ordinarias httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1043 120522 1937 Eadbr Sendo uma fungdo f de duas variaveis definida sobre o retangulo R a 6 x c d estaremos d considerando x como constante quando trabalharmos com J fa ydy O resultado dessa os d integragdo é uma fungdo que depende de x que podemos denotar por Az J fa y dy dai b br pd podemos integrar A em relacdo a x ouseja f Az J Lf fz y dyldx b Do mesmo modo consideramos y como constante quando integramos J fxy dx O resultado dessa integragao uma funcdao que depende de y donde podemos integralo em relagdo a y isto é fo fa y dxzdy Note ainda que podemos omitir o uso dos colchetes b pd d pb Chamamos as integrais duplas f fz y dydz e f J fa y drdy de integrais iteradas Entdo a integral iterada fl fe fa y dydz significa que primeiro integramos em relacgdo a y no intervalo cd e depois integramos em relacéo a x no intervalo a b Ja na integral iterada fe ih fa y daxdy primeiro integramos em relacgdo a x no intervalo a b depois em relacdo a y no intervalo c d 3 72 9 Por exemplo para calcular So fi xydydzx primeiro olhamos x como constante e integramos em relacdo a y no intervalo 12 isto é 2 2 m2 2 279772 22 2 22 32 Jy vydy 2 fr ydy 2 j a wy Ge Agora integramos esse resultado em relacdo a x no intervalo 03 assim httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1143 120522 1937 Eadbr 3327 3 327 3723 3 3 303 27 Jo xed 5 fy ede 35F38 95 55 9 n 2 p3 Vocé pode se perguntar se calcular a integral iterada I So x ydady teremos o resultado Em geral a resposta é sim Entdo vamos verificar primeiro integrando em relagdo a x consideramos y como constante donde 32 3 2 373 33 0 9 So xv ydx 9 Jo ayde yo 93 5 3Y e integrando o resultado em relagao a y 3 9 979232 92 912 27 Jo sy sls Hao 37 HF Podemos determinar a integral dupla por esse método de forma direta como fy fe 4a 3d dx 4af 3d Jdx f 4a48de 81adx 81 xdx 81 405 0 Jo BUY GYar Jo 0 Y GYlar Jo 4 102 Jo Jo O21 o 4U59 De maneira geral se f for continua no retangulo R zy a 2 bc y dentao SSrflzydA f fx ydydx f f fx ydad R oY Ja Je Yayar Jo Ja Y Y Este resultado é conhecido como Teorema de Fubini Considere a funcdo fz y x 3y Podemos ver um esboco do grafico de f na Figura 32 abaixo httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1243 120522 1937 Eadbr 5 3 2 1 4 1 2 0 2 A Figura 32 Grdfico de fx y x 3y Fonte Elaborada pela autora Se desejarmos calcular a integral dupla de f sobre Rzy0421y 2 pelo Teorema de Fubini temos 2 p2 2 2 2 I Se fz ydA Mo fi e 3ydydz Mo zy y Mo a 7dx 5 7x 12 httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1343 120522 1937 Eadbr Como a resposta dessa integral dupla foi um numero negativo podemos concluir que ela ndo se trata de um volume Isso acontece porque a funcdo f nao é positiva como pudemos observar na Figura 32 Como vimos no primeiro topico desta unidade se fx y 0 0 volume do sdlido formado pelos pontos que estado abaixo do grafico de fz y e acima do plano xy pode ser calculado pela integral dupla Mas se fa y 1 temos que sua integral dupla sobre a regido R é igual a area do conjunto R ou seja dreade R 1ldady f J dxdy Por exemplo para determinar a area da regiao retangular da Figura 33 basta calcularmos 6 4 6 4 6 6 Jy fg dedy J ady J 4 2dy 2y 1248 Ou seja a area da regido da Figura 33 é igual a 8 httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1443 120522 1937 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1543 praticar Figura 33 Cálculo de área Fonte Elaborada pela autora 120522 1937 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1643 praticar Vamos Praticar Com as integrais iteradas podemos realizar a integração de integrais duplas calculando duas integrais unidimensionais utilizando o conhecimento do cálculo integral que possuímos Assinale a alternativa correta a Sendo Feedback Incorreta b O volume do sólido determinado pelos pontos com e é 32 Feedback Incorreta c Temos que R x y 1 x 3 1 y 2 2x 4ydydx 20 R2 R 2x 4ydydx 2x 4ydydx R 3 1 2 1 2xy 2 dx 3 1 y22 1 2x 6dx 6x 20 3 1 x2 3 1 0 z x2 y2 0 x 3 0 y 2 dydx 3 0 2 0 x2 y2 y 3 dx 3 0 x2 y3 2 0 2 83dx 23 83x 323 3 0 x2 x3 3 0 ysenxydxdy 1 π 0 2 1 120522 1937 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1743 Feedback Incorreta d Utilizando o Teorema de Fubini podemos concluir que Feedback Correta e Sendo in ysenxydxdy tπ 0 2 1 cosxy dy π 0 2 1 cos2y cosydy 12sen2y seny 0 π 0 π 0 x 2dxdy 5 2 0 1 0 x 2dxdy 2 0 1 0 2 2x dx 1 0 x2 1 0 52 52y 5 2 0 2 0 R x y 0 x 5 0 y 1 x dydx 0 R2 R ey 120522 1937 Eadbr Int is Duplas Sob rd fae rd C e e e e Cy Ja aprendemos alunoa nos tdpicos anteriores a calcular uma integral dupla sobre regides retangulares Agora considere uma funcdao f de duas variaveis definida sobre uma regido limitada D que nado é retangulo Para realizar a integracéo dupla sobre esta regido D recorremos a regido retangular em que F esta definida onde a funcdo F é igual a funcdo f em De F 0 forade D httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1843 120522 1937 Eadbr Isto é se f estiver definida sobre uma regido limitada D qualquer definimos uma nova fungao F para determinar a integral dupla de f Essa funcdo F possui como dominio um retangulo R onde Dc Re é definida por Fx y fxy se a y De Fz y 0se az y RD Observe a ilustragdo a seguir y 0 X Figura 34 Relacdo entre o dominio de f e o dominio de F Fonte Elaborada pela autora Definimos a integral dupla de f em D por httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1943 120522 1937 Eadbr SJp fa ydA f fp Fa ydA desde que Fseja integravel em R Vamos classificar as regides D em dois tipos Se uma regido D for a regido entre o grafico de duas funcdes continua em zx diremos que D é do tipo Agora se D for a regido entre o grafico de duas funcgdes continua em y diremos que D é do tipo II Para calcularmos as integrais duplas de fungdes de duas variaveis definidas sobre regides do tipo ou seja regides da forma D a ya a bgix y gox com gi e ge continuas em ab utilizamos a seguinte igualdade b pgox I Sp fa yd J f fa ydyde E de modo analogo calculamos as integrais duplas de fungdes de duas variaveis definidas sobre regides do tipo ll isto é regides da forma D zyc ydhix a hox com hy e he continuas em c d como d pho S Sp fla ydA f2 V fa ydady Por exemplo se a regido D for limitada pelas pardbolas y 2x7ey 14 27 temos que esta regido do tipo I uma vez que Qa 1laeSe21 Logo podemos escrever Day1 2 12x27 y127 Na Figura 35 temos a visualizacdo grafica desta regido httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2043 120522 1937 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2143 Então a integral dupla de sobre é dada por int intD fxy dA int11 int2x21x2x2y dy dx Figura 35 Região do tipo I Fonte Elaborada pela autora fx y x 2y D xy dx 1 1 y2y1x2 y2x2 120522 1937 Eadbr 1 a1 aw 1 a x2x 2x7 1 1 3x x 227 a241de 1 5 4 3 2 x x x x 3 424 7 5 4737 27 Im 32 15 A regido D limitada pela reta y 2a e pela parabola y x pode ser vista como uma regido do tipo Il Entao podemos escrever D 2 y0 y 412y 4z Graficamente httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2243 120522 1937 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2343 Calculando a integral dupla de sobre considerando como uma região do tipo II obtemos Figura 36 Região do tipo II Fonte Elaborada pela autora fx y x2 y2 D D fx ydA dxdy D 4 0 y 1 y 2 x2 y2 120522 1937 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2443 x dy 4 0 x3 3 y2 x y x 1 y 2 dy 4 0 y 3 3 y2 y y 1 2 3 3 y2 1 2 dy 4 0 y 2 32 3 y52 y3 24 y3 2 y52 15 2y72 7 13y4 96 4 0 216 35 120522 1937 Eadbr A regidoD limitada pela reta y 2a e pela parabola y x citada anteriormente também pode ser vista como uma regido do tipo Observe a figura abaixo y 5 y 2x 4 SiR Pa fr a C4 Ad yx 2 1 0 1 2 3 4 x l q 4 pins y ey y wes Entao como regido do tipo temos que Day0 2 227 y 2z Se httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2543 120522 1937 Eadbr calcularmos a integral dupla de fzy 2y sobre D considerando D como uma regido do tipo iremos obter o mesmo resultado Ou seja 2 222 2 216 I Jp fla ydA Jo Jo 2 ydardy 3e Fonte Elaborado pela autora Como pudemos observar no Reflita se uma regiao pode ser escrita dos tipos e II bodemos calcular Sua integral da forma que acharmos mais apropriado O calculo tera a mesma resposta Assim como ja comentamos para regides retangulares quando estamos trabalhando com regides gerais a integral dupla de fz y O sobre B 2 y z R xy Be0 z fxy é o volume do solido formado pelos pontos que estdo abaixo do grafico de fa y e acima do plano xy e se fx y 1 a integral dupla de f sobre B é igual a area do conjunto B httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2643 120522 1937 Eadbr O sélido limitado entre os planos z 2y zx 2yz 0 z 0 6 um tetraedro Sabemos que podemos determinar seu volume através do calculo de integrais duplas Entdo é correto afirmar que este tetraedro possui volume igual a a 13 Feedback Correta o plano x 2y z 2 pode ser escrito como z 2 x 2y de modo que o volume do tetraedro esta sob 0 grafico da fungdo fx y 2 x 2yeacimade Day0 a 112 y 112z2 pois sendo z 00 planoxz 2y z 2 intercepta o plano xy na reta x 2y 2 entdo o volume esta limitado pelas retas x 2y4 2y 2ex 0 Essa regido 6 uma regido do tipo I entdo 1 pla2 II fz ydA 2 x 2ydydx D 0 Ja2 122 2y12 2y ayy ag de 1 3 x 1 x 22 4 1dx 2 a 0 3 3 httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2743 120522 1937 Eadbr O b 78 Feedback Incorreta o plano x 2y z 2 pode ser escrito como z 2 x 2y de modo que o volume do tetraedro esta sob o grafico da fungao fx y 2 2yeacima de Day0 a 112 y 112z2 pois sendo z 00 planox 2y z 2 intercepta o plano xy na reta x 2y 2 entdo o volume esta limitado pelas retas x 2y4 2y 2ea2 0 Essa regido 6 uma regido do tipo entdo 1 pla2 fz ydA 2 x 2ydydx D 0 Ja2 2y122 p y 7 2yayy nj ae 1 x 1 d x 2e1de 2 2 0 3 3 Oc V27 Feedback Incorreta o plano x 2y z 2 pode ser escrito como z 2 x 2y de modo que o volume do tetraedro esta sob o grafico da fungao fx y 2 2yeacima de Day0 a 112 y 112z2 pois sendo z 00 planox 2y z 2 intercepta o plano xy na reta x 2y 2 entdo o volume esta limitado pelas retas x 2y4 2y 2ea2 0 Essa regido 6 uma regido do tipo entdo 1 pla2 II fz ydA 2 x 2ydydx D 0 Ja2 httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2843 120522 1937 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2943 d 15 e e 7 2y xy dx 1 0 y2y1x2 yx2 2x 1dx x 1 0 x2 x3 3 x2 1 0 1 3 120522 1937 Eadbr t r e e cf e e e CJ Algumas integrais duplas sdo complicadas de serem determinadas quando suas regides sdo descritas como coordenadas retangulares Para esses casos definiremos um novo sistema de coordenadas no plano cartesiano as coordenadas polares Imagine caroa estudante que queremos calcular a integral dupla I Sp fz ydA onde Péa regido esbocada na Figura 38 Seria dificil calcular esta integral se escrevéssemos a regido D em httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3043 120522 1937 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3143 coordenadas retangulares então escrevemos ela em coordenadas polares Um retângulo polar é da forma relacionamos as coordenadas polares rθ de um ponto com as coordenadas retangulares através das igualdades Figura 38 Região P Fonte Elaborada pela autora P r θ a r b α θ βe r2 x2 y2 x rcosθ y rsenθ 120522 1937 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3243 Assim se é contínua no retângulo polar onde temos que Por exemplo se desejarmos calcular a integral dupla onde é a região do semiplano superior limitada por e podemos descrever a região em coordenadas retangulares como e em coordenadas polares como Temos que assim e f P 0 β α 2π fx ydA frcosθ rsenθrdrdθ P β α b a 3x 4 dA P y2 P 1 x2 y2 4 x2 y2 P P x y y 0 1 4 x2 y2 P r θ 1 r 4 0 θ π fx y 3x 4y2 frcosθ rsenθ 3rcosθ 4 r2senθ 2 3x 4 dA 3rcosθ 4 senθ rdrdθ P y2 π 0 2 1 r2 2 3 cosθ 4 senθ drdθ π 0 2 1 r2 r3 2 cosθ senθ dθ π 0 r3 r4 2r2 r1 7cosθ 15senθ dθ π 0 2 7cosθ 1 cos2θdθ 7senθ sen2θ π 0 15 2 15θ 4 15 4 π 0 15π 2 15π 2 120522 1937 Eadbr Sellecmearcis oe Ps ACESSAR Desde o ensino fundamental trabalhamos com a formula mz quando desejamos calcular a area de uma circunferéncia de raio z Podemos verificar essa formula através das integrais duplas com o auxilio das coordenadas polares httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3343 120522 1937 Eadbr Dada uma circunferéncia de centro na origem e raio z pelos que vimos no decorrer desta unidade Sua area é determinada através da integral dupla isto é area da circunferéncia dxdy onde Pazy R x y z7 Reescrevendo P em coordenadas polares obtemos Pr0 R00 270r Zz Entao As 27 PZ area da circunferéncia J rdrd0 J J rdrd6 pet rizag p27 2 2 qr 22 fo 51640 Jo db aah z As coordenadas polares facilitam o calculo de integrais duplas quando é complicado escrever a regido na qual a fungdo esta definida em coordenadas retangulares Utilizando as coordenadas polares encontramos httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3443 120522 1937 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3543 que o volume do sólido limitado pelo plano e pelo paraboloide é igual a a 12π Feedback Incorreta pois b Feedback Incorreta pois c 8π d Feedback Incorreta pois e Feedback Correta substituindo na equação do paraboloide obtemos Então temos que o plano intercepta o paraboloide em que é um círculo Assim o sólido cujo volume desejamos calcular está abaixo do paraboloide e acima da região dada por Escrevendo em coordenadas polares obtemos z 0 z 1 x2 y2 1 dA 1 rdrdθ P x2 y2 2π 0 1 0 r2 π r drdθ 2 0 1 0 r3 2 4 dθ dθ 2π 0 r2 r4 r1 r0 2π 0 1 4 θ π 1 4 2π 0 1 2 16 π 3 1 dA 1 rdrdθ P x2 y2 2π 0 1 0 r2 π r drdθ 2 0 1 0 r3 2 4 dθ 2π 0 r2 r4 r1 r0 2 3π 1 dA 1 rdrdθ P x2 y2 2π 0 1 0 r2 π r drdθ 2 0 1 0 r3 2 4 dθ 2π 0 r2 r4 r1 r0 1 π 2 z 0 1 x2 y2 z 0 1 x2 y2 P 1 x2 y2 P P r θ 0 r 1 0 θ 2π 120522 1937 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3643 Note que assim pois Então fx y 1 x2 y2 frcosθ rsenθ 1 cosθ senθ 1 cosθ senθ r2 2 r2 2 r2 2 2 1 r2 cosθ senθ 1 2 2 1 dA P x2 y2 1 rdrdθ 2π 0 1 0 r2 r drdθ 2π 0 1 0 r3 2 4 dθ 2π 0 r2 r4 r1 r0 dθ 2π 0 1 4 θ π 1 4 2π 0 1 2 120522 1937 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3743 indicações Material Complementar 120522 1937 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3843 LIVRO Cálculo Volume II Editora Cengage Learning Autor James Stewart ISBN 9788522106615 Comentário Este livro aborda todos os tópicos que vimos nesta unidade de forma ampla e detalhada contendo diversos exemplos resolvidos o que pode ajudar na compreensão da disciplina 120522 1937 Eadbr FILME O Céu de Outubro Ano 1999 ce Comentario O filme é baseado na histoéria real de um engenheiro da NASA que na adolescéncia com ajuda de um grupo de amigos desenvolveu um projeto que transformou a vida de todos do grupo a httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3943 120522 1937 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 4043 120522 1937 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 4143 referências Referências Bibliográcas GUIDORIZZI H L Um curso de Cálculo volume 2 5 ed Rio de Janeiro Grupo GEN 2010 STEWART J Cálculo volume 2 6 ed São Paulo Cengage Learning 2008 120522 1937 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 4243 120522 1937 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 4343