Revisão de Derivadas e Integrais em Cálculo Aplicado a Várias Variáveis

120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 146 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS VARIÁVEIS REVISÃO DE DERIVADAS E REVISÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS INTEGRAIS Autor Me Talita Druziani Marchiori Revisor Raimundo Almeida INICIAR 120522 1933 Eadbr Introduce Os primeiros conceitos do calculo diferencial e do calculo integral surgiram ha séculos a principio sem ligagao com os conceitos que temos atualmente Depois de um periodo matematicos puderam provar por meio de resultados validos até hoje que os conceitos do calculo diferencial e do calculo integral sao 0 inverso um do outro O calculo diferencial surgiu com problemas relacionados a retas tangentes Ja o calculo integral originouse em problemas de quadratura que uma operacao que determina a area de um quadrado equivalente a uma dada figura geométrica Porém hoje sabemos que as aplicabilidades dessas teorias estendemse a areas variadas do conhecimento como fisica quimica engenharias biologia economia dentre outras Apesar de vocé estudante ja ter estudado esses conceitos vamos revisar nesta unidade as principais definigOes e propriedades presentes no calculo diferencial e integral Alem disso estudaremos o conceito de integragdo por fracdes parciais httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 246 120522 1933 Eadbr Salientamos que como se trata da revisdo de uma matéria extensa nado conseguiremos abordar todos os conceitos presentes Com isso enriqueceria o seu estudo buscar exemplos e exercicios em outras bibliografias para completar a sua revisdo e aprofundar o seu conhecimento Esperamos que O seu aprendizado seja produtivo httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 346 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 446 Uma Breve Revisão Sobre Uma Breve Revisão Sobre as Derivadas de Funções as Derivadas de Funções Reais de uma Variável Reais de uma Variável Real Real 120522 1933 Eadbr Wi sat ay Y a B ae a A 4 0 1 mn Jf sn a ec e P ae 2 a ee Pe a 4 Ww 2 e aes 7 i y Le cr 8 2 42 t Bs hs 6 AS L a Zt 3 Fonte luckybusiness 123RF Neste topico relembraremos as principais definigdes e propriedades das derivadas de fung6ées reais de uma varidvel real No que segue representaremos por fx uma fungdo real de uma variavel real definida sobre um subconjunto X dos numeros reais Considere uma fungdo fa como uma fungdo qualquer e sua derivada fx é a nova funcgao que em um determinado ponto 2 o valor da derivada é definido por httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 546 120522 1933 Eadbr fh fz x 4m J i h0 h Se 0 limite existir Assim se 0 limite existe para x a a funcdo f dizse diferenciavel em a Consideramos a funcdo f derivavel em um intervalo aberto se esta for diferenciavel para todos os numeros do intervalo Exemplo 11 determine fx se fx 2 Solugdo pela definigao que acabamos de enunciar fa tims thf jth h0 h h0 h Como xh 2 erie 22hh40 Segue que 2 2 flhflt etha 2 ha Lt mom Re 2 i h0 h h0 h Portanto fx 2a httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 646 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 746 Usando a notação tradicional para indicar que a variável independente é e é a variável dependente então e são consideradas notações alternativas quando consideramos a derivada de em relação a y fx x y y dy dx df dx f x 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 846 reflita Reita Em muitos problemas de cálculo que envolvem curvas precisamos calcular a reta tangente em um certo ponto da curva Contudo a reta tangente a uma curva em um ponto é a reta que passa por e tem a inclinação desde que esse limite exista Isto é a inclinação da reta tangente à curva no ponto é o mesmo que a derivada de em Com isso se usarmos a forma pontoinclinação da equação de uma reta podemos escrever uma equação da reta tangente à curva no ponto como y fx Pa fa P m lim xa fx fa x a y fx Pa fa f a y fx Pa fa 120522 1933 Eadbr O processo de determinar a derivada de uma funcdo por meio do calculo de um limite na maioria das vezes um processo demorado Porém ha regras de derivagao que auxiliam em uma solucgao mais simples para o calculo Quando utilizamos tais solugées conseguimos determinar a derivada de uma fungao sem necessitar recorrer a sua definicdo A seguir enunciamos algumas dessas regras REGRA DA POTENCIA considerando que n é um numero real qualquer entao 2 nx 1 REGRA DA MULTIPLICACAO POR CONSTANTE considerando que c é uma constante e f é uma fungdo derivavel podemos dizer que a icfz cf 2 REGRA DA SOMA considerando que f e g sdo fungoées derivaveis entao gt fx gx fx 9z httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 946 120522 1933 Eadbr REGRA DO PRODUTO considerando que f e g sdo funcées diferencidveis com ga 4 0 entao fxga fxg fxg2 REGRA DO QUOCIENTE considerando que f e g forem derivaveis entdo Fx fzg Fzg ga ga REGRA DA CADEIA se g for derivavel em x e f for derivavel em gx entéo a fungdo composta h f 0g definida por hx fgx sera derivavel em z e h sera dada pelo produto hx fga92 Em muitas situagdes deparamonos com problemas de fungdes exponenciais logaritmicas e trigonométricas por isso resumimos as formulas de derivagdo para estas funcées sen xL COs 2 cosec x cosec cotg x cos v sen z cotg x cosec 2 tg secz e e 4 sec x sec x tg a In x 1 httpsambienteacademicocombricourseviewphpid9203 1046 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1146 Exemplos 1 2 derive a b c d Solução a Pelas regras da constante e da potência b Pela regra do produto temos c Pela regra do quociente d Pela regra da cadeia considerando e temos que hx 5 1 x2 fx x ex Fx 2x3 1 x2 hx sen 1 x2 x 5 h 1 t2 10 t3 x x x x f ex ex ex ex x F 2x 3 1 2x 3 1 x2 x2 x2 1 2 2 6x 2 x2 x2 1 2 fx sen x gx x2 1 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1246 Como f também é uma função chamada derivada primeira de f podemos derivála Se a derivada de f existir esta será chamada derivada segunda de f e será denotada por f Seguindo esse raciocínio a derivada enésima da função f onde n é um número inteiro positivo maior do que 1 é a derivada primeira da derivada n1 ésima de f Denotamos a derivada enésima de f por Por exemplo temos que se pois praticar Vamos Praticar Sabemos que o cálculo diferencial possui aplicabilidade em diversas áreas do conhecimento Logo dominar seus conceitos e propriedades é relevante em nossa formação acadêmica Com base na teoria que acabamos de revisar neste tópico assinale a alternativa correta x gx x 2x cos 1 h f g x2 f n x 96 30x 2 f x2 fx 8 5 7 x4 x3 x2 x 32 15 2x f x3 x2 120522 1933 Eadbr O a Com a definigdao de derivada de uma funcdo concluimos que f a 3x 1se fz 2 2 Feedback alternativa incorreta pois pela definicdo 3 3 fx lim LEDL2 jy WWI 3 352 1 h0 h0 O bSe gx 3x7 1 temos que gx 3 327 1 Feedback alternativa incorreta pois pela regra da cadeia 2 2 2 2 gx 3a71 2x 62 2 1 O cAderivadadetxz 05 édada pela funcdot x 05 Feedback alternativa incorreta pois a derivada de uma constante é sempre zero p d Temos que g 4 1 umavez quegx ha 1xzonde h4 32 eh4 4 Feedback alternativa correta pois utilizando a regra do produto e os dados fornecidos na an alternativa g4 h4 y h4 116 12 1 O 3 2 fz 2x4 32276x7e7 a2x5 e Se f x 27 e egz Azr1 7 ne httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1346 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1446 Os problemas de otimização consistem em determinar a melhor maneira de fazer algo ou seja requerem minimizar ou maximizar uma situação Como é de nosso conhecimento as derivadas nos ajudam localizar os valores de máximo e mínimo de funções Logo os problemas de otimização são uma das aplicações mais importantes do cálculo diferencial Problemas de Otimização Problemas de Otimização 120522 1933 Eadbr F aL i val 1 ie ae F Aas a aay a at c a f i ee ee Bile ee fi 2 Se p pe ae ee or ae hee oa be Tete f Le ae wrt 7 Sea ed F a eral y or a 2 on ah ae r As e Peay Va be 7 Sy 4 ary wal se ae ai OE JS 4 PSA Te neice ae A ie ee ee RRA AIEA cu Wa Siem ea eee a e a aa Figura 11 Quadro Fonte Jozef Polc 123RF Antes de resolver um problema de otimizagao vamos enunciar os principais resultados e definicgdes ja estudados por nos que envolvem a derivada primeira e segunda e fornecemnos técnicas para determinar os valores extremos de uma funcdo Teorema 11 se f tiver um maximo ou minimo local em ce se fc existir entao fc 0 httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1546 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1646 O Teorema 11 apresenta que devemos procurar por valores máximos e mínimos de nos números em que ou onde não existe Chamamos os valores tais que ou não existe de número crítico de Quando uma função é contínua considerando um intervalo fechado temos um método para determinar seus valores extremos valor de máximo e valor de mínimo em Primeiramente encontramos os valores de nos números críticos de em Depois encontramos os valores de nas extremidades a e b Então o maior valor é o valor de máximo e o menor valor é o valor de mínimo Exemplo 13 o valor máximo de em é Solução observe que é contínua no intervalo e Como existe para todos os números reais os únicos números críticos de f serão os valores para os quais Mas em que concluímos que os números críticos de f são e Ainda Portanto o valor máximo em é f c f c 0 f c c f c 0 c f f f a b a b f f a b f f x x x x 1 3 2 2 1 2 f 1 2 f 2 1 2 f x 3x 2x 1 2 x f x f x 0 f x 0 3x 2x 1 0 2 x x 1 f 2 1 f 1 2 f f 1 22 27 2 7 8 f 2 1 2 f 1 2 120522 1933 Eadbr O proximo resultado diz se f tem ou néo um maximo ou minimo local em um numero critico Chamamoso de Teste da Primeira Derivada Teorema 12 considere que c seja um numero critico de uma funcdo continua f Dessa forma podemos afirmar que a caso o sinal de f mude de positivo para negativo em c dizemos que f tem um maximo local em Cc b caso o sinal de f mude de negativo para positivo em c dizemos que f tem um minimo local em Cc c se f nao mudar de sinal em c entao f nado tem maximo ou minimo locais em c 4 a 23 2 Exemplo 14 encontre os valores maximos e minimos da fungdo fx 2 6a 9x 1 2 SolugGo note que fz 3a 1279 e fx 0 x3 x1 Ademais se a 1 fx0sela3 f x 0esex 3 fx 0 Entdo pelo Teste da Primeira Derivada f 5 um valor de maximo local de f e f 3 1 6 um valor de minimo local de f O prdéximo resultado é conhecido como Teste da Segunda Derivada Teorema 13 suponha que f seja continua nas proximidades dos valores de c a se fc 0e fc 0 entdo f tem um minimo local em c httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1746 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1846 b se e então tem um máximo local em Exemplo 15 sendo utilize o Teste da Segunda Derivada para encontrar os máximos e mínimos locais de Solução temos que Então os pontos críticos de valores onde são Contudo Logo possui um valor de mínimo local em um valor de máximo local em e um mínimo local em Agora veremos dos exemplos de problemas de otimização Exemplo 16 uma empresa possui seu lucro descrito pela função em que x representa o número de unidades produzidas Quantas unidades a empresa precisa produzir para que seu lucro seja máximo Solução observe que como a teremos a ou seja é o número crítico de Contudo e Portanto pelo Teste da Primeira Derivada a empresa precisa produzir unidades para que seu lucro seja máximo Exemplo 17 construa uma caixa fechada de base quadrada e com 200 cm³ de volume O material utilizado para a tampa e para a base deve custar R 300 para cada centímetro quadrado e o material utilizado para os lados custa R 150 para cada centímetro quadrado Com quais dimensões esta caixa possui custo total mínimo f c 0 f c 0 f c f x x 4x x4 4 3 3 2 f f x 4x 4x 8x e f x 12x 8x 8 3 2 2 f f x 0 2 0e1 f 2 0 f 0 0 f 1 0 f f 2 32 2 f 0 0 f 1 5 3 L x 0 02x 300x 200000 2 L x 0 04x 300 x 7500 L L x 0 x 7500 L x 0 x 7500 7500 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1946 Solução adotando como o comprimento em centímetros de um lado da base quadrada e o custo total do material a área da base será Adotando como a profundidade em centímetros o volume da caixa será onde Dessa forma podemos escrever que a área da tampa e da base juntas é e para os lados é Com isso Cleft x right3left 2x ext2 right15left 4xy right ou equivalentemente em que Assim Cx não existe mas como 0 não pertence ao domínio de C os únicos números críticos serão os valores de tais que ou seja Por outro lado então pelo Teste da Derivada Segunda é um mínimo local de C Com isso o custo total do material será mínimo quando o lado da base quadrada for 10 cm a profundidade for 20 cm e a área da base for 100 cm² x Cx x cm 2 2 y x y 200 cm 2 3 y 200 x2 2x2 4xy C x 6x 2 12000 x C x 12x C x 12x 12000 x2 12000 x3 x 0 x C x 0 x 10 C 10 0 x 10 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2046 praticar Vamos Praticar Na economia se unidades forem vendidas e o preço por unidade for então a receita total será sendo chamada função receita Representado por a função custo é o valor gasto para a produção de unidades Se unidades forem vendidas então o lucro total será então será chamada função lucro Certa empresa possui as funções de custo e receita dadas por e respectivamente Analise as alternativas abaixo e assinale a correta a O lucro desta empresa será máximo para Feedback alternativa incorreta pois logo e para Contudo temos que para todo e para todo em que pelo Teste da Primeira Derivada a função lucro tem um máximo em b O lucro desta empresa será máximo para Feedback alternativa incorreta pois logo e para Contudo temos que para x px Rx xpx R Cx x x Lx Rx Cx L Rx 0 5 x2 2000x Cx 800x 500000 x 1200 L x 0 5x 1200x 500000 2 L x x 1200 2 L x 0 x 20 3 L x 0 x 20 3 L x 0 x 20 3 20 3 x 800 L x 0 5x 1200x 500000 2 L x x 1200 2 L x 0 x 20 3 L x 0 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2146 todo e para todo onde pelo Teste da Primeira Derivada a função lucro tem um máximo em c O lucro desta empresa será máximo para Feedback alternativa incorreta pois logo e para Contudo temos que para todo e para todo em que pelo Teste da Primeira Derivada a função lucro tem um máximo em d O lucro desta empresa será máximo para Feedback alternativa incorreta pois logo e para Contudo temos que para todo e para todo em que pelo Teste da Primeira Derivada a função lucro tem um máximo em e O lucro desta empresa será máximo para Feedback alternativa correta pois logo e para Contudo temos que para todo e para todo em que pelo Teste da Primeira Derivada a função lucro tem um máximo em x 20 3 L x 0 x 20 3 20 3 x 36 5 L x 0 5x 1200x 500000 2 L x x 1200 2 L x 0 x 20 3 L x 0 x 20 3 L x 0 x 20 3 20 3 x 60 L x 0 5x 1200x 500000 2 L x x 1200 2 L x 0 x 20 3 L x 0 x 20 3 L x 0 x 20 3 20 3 x 20 3 L x 0 5x 1200x 500000 2 L x x 1200 2 L x 0 x 20 3 L x 0 x 20 3 L x 0 x 20 3 20 3 L x 0 5x 120 2 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2246 Uma função é chamada antiderivada da função se seja qualquer pertencente ao domínio de Como a derivada de uma constante é zero a antiderivada de uma Uma Breve Revisão Sobre Uma Breve Revisão Sobre as Integrais de Funções as Integrais de Funções Reais de uma Variável Reais de uma Variável Real Real F x f x F x f x x f 120522 1933 Eadbr funcdo nado é Unica Por exemplo Fx x e Hx x 10 sao antiderivadas da funcdo f z 2x uma vez que F x H a 2a f x Representamos 0 conjunto de todas as antiderivadas de f x utilizando o simbolo f aFae que é chamado integral indefinida de f a em que F é uma antiderivada de f Para qualquer funcdo derivavel F F x dx Fx C Da ligacdo entre o cdlculo diferencial e 0 calculo integral por meio das antiderivadas podemos listar propriedades para integracdo indefinida resultante de propriedades existentes para as derivadas REGRA DA CONSTANTE considerando qualquer constante k f kdzxkxrC REGRA DA POTENCIA considerando qualquer n 4 1f x dx a C REGRA DO LOGARITMO considerando qualquer z 0 f dz In zC REGRA DA EXPONENCIAL considerando qualquer constantek 0 f ekt dz eke C REGRA DA MULTIPLICACAO POR UMA CONSTANTE considerando qualquer constante ff fk fz dekf fa dz httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2346 120522 1933 Eadbr REGRA DA SOMADIFERENGA fz gx dv f fx dx f ga dz Exemplo 18 calcule 3 a f da x 8x72x Solucdo a Pelas regras do logaritmo e da multiplicagao por uma constante 3 1 dx3 dzr3ln 2C x x b Usando a regra da soma da diferencga da multiplicagao por uma constante da constante e da poténcia temos 3 2 3 x 8a 224 x See fo dv 8 fedex 2dx 3 4r 227 C x Muitas integrais exigem além das regras enunciadas acima métodos especiais para resolvélas Um destes 0 método da substituicdo Tal método consiste em escolhermos uma substituigdo uua para simplificar o integrando f a e expressar toda a integral em termos de u e du udz Com isso a integral deve estar f x dx gu du na forma Se possivel calcule httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2446 120522 1933 Eadbr essa integral determinando uma antiderivada G u de gu Para finalizar substituimos w por ux obtendo uma antiderivada Guz para fa de modo que fx de Gua C Por exemplo podemos calcular a integral indefinida f 5a 3 dx pelo método da substituicdo Denotando u 5a 3 temos du 5dx ou dx 15 Assim 523 de Ju du Jw du 523 4C 3 3 oO Agora considere f a uma fungdo continua no intervalo a x b Julgue que este intervalo tenha sido dividido em n partes iguais de largura Ax oe e seja x um numero qualquer pertencente ao intervalo de ordem i para qualquer i1 2 n ASoma fa1Agw fa AatfaAz conhecida como soma de Riemann Dessa forma a integral definida de f x no intervalo a x b representada pelo simbolo b t dz a httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2546 120522 1933 Eadbr é dada pelo limite da soma de Riemann sempre que n ov caso 0 limite exista A integral definida fl fz de um numero Se a 0b temos que fl fx dx f f x dx se a b temos que fl f x dx 0 Como para as integrais indefinidas existem regras de integragao que nos auxiliam a determinar as integrais definidas suponha que f e g Sao fungées continuas sendo valida a REGRA DA CONSTANTE para qualquer constante k f k dx kba REGRA DA SOMADIFERENCA f fx ga dx ih f x dx Ig x dz REGRA DA MULTIPLICACAO POR UMA CONSTANTE para qualquer constante k b b et dz k t dz a a REGRA DO INTERVALO para qualquer c a J ih fx dx f fx dx I fa da 10 8 10 Exemplo 19sendo f fx de 17e f fx dx 12temos que f fx da 5 Solucdo primeiramente devemos escrever httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2646 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2746 Então f x dx f x dx f x dx 0 10 0 8 8 10 f x dx 17 12 5 8 10 120522 1933 Eadbr ACESSAR Para finalizar este topico vamos enunciar a primeira e a segunda parte do Teorema Fundamental do Calculo Este um dos mais importantes resultados do calculo pois relaciona o conceito de integral definida ao conceito de antiderivagdo ou seja o Teorema Fundamental do Calculo relaciona o calculo diferencial e o calculo integral httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2846 120522 1933 Eadbr Teorema 14 Teorema Fundamental do Calculo Parte 1 se f for continua em ab entao a funcado g definida por gx f ft dt aab continua em ab e derivavel em ab e g fa Teorema 15 Teorema Fundamental do Calculo Parte 2 se f for continua em ab entdo b f aeFOF a em que Fé qualquer primitiva de f isto é uma funcdo tal que F f Exemplo 110 calcule a f e dz 1 8 b Js 22 1 dz Solugdo a Note que Fx e é uma antiderivada de f x e entdo pela Parte 2 do Teorema Fundamental do Calculo 3 23 fi e de F3F1 e e b Com o raciocinio do item anterior e com o auxilio das regras de integracao temos httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2946 120522 1933 Eadbr 8 2 2 J 2c01da 8 5 85 42 Podemos utilizar as integrais para solucionar muitas situagdes problemas do nosso cotidiano e do nosso meio profissional Com base na teoria sobre integrais indefinidas e definidas revisadas neste tdpico assinale a alternativa correta Oa fx 2rdzx x 2x C Ob fcosadz senz C Oc ft cos t 2 dt 4 cos t 2 C 13 5 Od f 2 1 dx 1 2 p Oe fa dzr1 AI as sow httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3046 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3146 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3246 Integração de Funções Integração de Funções Racionais por Frações Racionais por Frações Parciais Parciais 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3346 Uma função é denominada função racional se em que e são polinômios Se o grau de é menor que o grau de é chamada de função racional própria é denominada função racional imprópria se o grau de é maior ou igual que o grau de Figura 12 Fórmulas Fonte Pakpong Pongatichat 123RF fx f x Rx Qx R x Q x R R f fx R Q 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3446 Se uma função é racional imprópria podemos dividir os polinômios por até o resto ser obtido em que o grau de é menor que o grau de Com isso podemos reescrever como a soma de um polinômio e uma função racional própria ou seja Quando não conseguimos resolver a integral de uma função racional própria podemos decompôla em frações parciais usando a seguinte estratégia primeiramente fatoramos o denominador como produto de fatores lineares e quadráticos em que os fatores quadráticos não possuem raízes reais isto é são irredutíveis Na resolução dos exemplos a seguir veremos três casos desta técnica Exemplo 112 determine a b c Solução a Note que o grau do denominador é maior do que o grau do numerador logo a função é racional própria e não precisamos dividir o numerador pelo denominador f x Px Qx P Q Rx R Q f x S x Rx Qx f x S x Rx Qx Q dx x 2x1 2 2x 3x 2x 3 2 dx x 1 3 x x2 2 3 dx x 1 2 x 3x 3 f x x 2x1 2 2x 3x 2x 3 2 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3546 Observe que ou seja o polinômio pode ser decomposto em fatores lineares e nenhum fator é repetido Neste caso escrevemos Então Com isso temos que em que a igualdade de polinômios é Portanto 2x 3x 2x x 2x 1 x 2 3 2 Q x x a1 b1 a2 b2 an bn R x Q x A1 a1 x b1 A2 a2 b2 An an bn x 2x 1 2 2x 3x 2x 3 2 x 2x 1 2 x 2x 1 x 2 A1 x A2 2x 1 A3 x 2 x 2x 1 2 2 x 3 2 x 2 2 A1 A2 A3 2 A1 A2 A3 A1 12 15 e 110 A1 A2 A3 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3646 bTemos que ou seja o polinômio decompõese em fatores lineares com termos repetidos Se o fator repete vezes teremos correspondente a esse fator uma soma de frações parciais da forma Então em que dx dx dx dx x 2x 1 2 2x 3x 2x 3 2 1 2 1 x 1 5 1 2x 1 1 10 1 x 2 ln x ln 2x 1 ln x 2 C 1 2 1 10 1 10 x x x x 2 x 2 x 2 2 Qx aix bi p p A1 ai x bi A2 x ai bi 2 Ap x ai bi p x 1 3 x x 2 2 3 A1 x A2 x2 B1 x 2 B2 x 2 2 B3 x 2 3 x 1 x x 2 x 2 x x 2 x x 2 x 3 A1 3 A2 3 B1 2 2 B2 2 B3 2 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3746 Se se Para determinar e substituímos os valores já encontramos na equação acima e resolvemos o sistema de polinômios obtendo e Com isso c Neste caso em que o fator é irredutível pois não possui raízes reais isto é o polinômio é decomposto por fatores lineares e quadráticos porém nenhum fator quadrático é repetido Todo fator quadrático irredutível terá uma fração parcial da forma Então x 0 A2 18 x 2 B3 74 A1 B1 B2 316 316 A1 B1 54 B2 dx dx dx dx dx x 1 3 x x2 2 3 3 16 1 x 1 8 1 x2 3 16 1 x2 5 4 1 x22 7 4 1 x23 ln x ln x 2 C 3 16 1 8x 3 16 5 4x2 7 8x22 x 3x x x 3 3 2 x 3 2 Q x ax bx c 2 Ax B ax bx c 2 x 1 2 x 3x 3 A x Bx C x 3 2 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3846 Procedendo como nos itens anteriores obtemos que e Então Também podemos decompor por fatores lineares e quadráticos irredutíveis mas com alguns fatores quadráticos repetidos Nesse caso se for um fator quadrático irredutível que se repete p vezes o fator possui p frações parciais da forma Por exemplo para temos Note que na letra a do exemplo 112 foi possível fatorar o denominador como multiplicação de fatores lineares distintos No item b decompomos o denominador como multiplicação de fatores lineares repetidos Já no item c do exemplo 112 a fatoração do denominador continha fatores quadráticos irredutíveis sem repetição Acabamos de observar acima outra forma de fatorar um polinômio como multiplicação de fatores lineares e quadráticos irredutíveis com alguns termos quadráticos repetidos Um resultado da Álgebra garante que é sempre possível fatorar um A 1 B 3 2 3 C 0 dx dx dx ln x ln x 3 C x 1 2 x 3x 3 1 3 1 x 2 3 x x 3 2 1 3 1 3 2 Q x ax bx c 2 ax bx c 2 p A1x B1 ax bx c 2 A2x B2 ax bx c 2 2 Apx Bp ax bx c 2 p x 3x 5 2 3 A1x B1 x 3x 5 2 A2x B2 x 3x 5 2 2 A3x B3 x 3x 5 2 3 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3946 polinômio de uma dessas quatro maneiras A forma de decompor a fatoração de cada caso em frações parciais exposta nos exemplos acima vem do teorema de frações parciais praticar Vamos Praticar Sabemos que algumas integrais de funções racionais próprias precisam ser decompostas em frações parciais para serem resolvidas Observe a integral a seguir Agora assinale a alternativa correta a A função é uma função racional própria dx x4 2x 4x 1 2 x x x 1 3 2 f x x42x 4x1 2 x x x1 3 2 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 4046 Feedback alternativa incorreta pois como o grau do numerador é menor do que o grau do denominador a função f é racional imprópria b A função é uma função racional imprópria e Feedback alternativa incorreta pois c Temos que Feedback alternativa correta como temos que d Temos que e Temos que f x x42x 4x1 2 x x x1 3 2 x42x 4x1 2 x x x1 3 2 1 x1 2 x12 1 x1 x 1 x42x 4x1 2 x x x1 3 2 1 x1 2 x12 1 x1 dx x ln x 1 ln x 1 C x42x 4x1 2 x x x1 3 2 x2 2 2 x1 x 1 x42x 4x1 2 x x x1 3 2 1 x1 2 x12 1 x1 dx x ln x 1 ln x 1 C x42x 4x1 2 x x x1 3 2 x2 2 2 x1 dx ln x 1 C x42x 4x1 2 x x x1 3 2 x2 2 2 x1 dx x C x42x 4x1 2 x x x1 3 2 x2 2 2 x1 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 4146 indicações Material Complementar 120522 1933 Eadbr FILME Uma mente brilhante Ano 2001 mmf aaa Comentario o filme conta a historia de um matematico que mesmo doente com esquizofrenia venceu 0 Nobel de Economia por sua Teoria dos Jogos httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 4246 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 4346 LIVRO Cálculo James Stewart Editora Cengage Learning ISBN 8522112584 Comentário este livro aborda toda a teoria do cálculo diferencial e integral que relembramos nesta unidade Você poderá conferir muitos exemplos resolvidos o que contribuirá com seus estudos 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 4446 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 4546 referências Referências Bibliográcas GUIDORIZZI H L Um curso de Cálculo 5 ed Rio de Janeiro Grupo GEN 2001 LEITHOULD L O Cálculo com Geometria Analítica 3 ed São Paulo Harbra Ltda 1994 STEWART J Cálculo 5 ed São Paulo Cengage Learning 2006 120522 1933 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 4646